2。统计方法考虑到响应变量<我nl在e-formula>
y
我
此前已知的伽马分布参数的负的形状<我nl在e-formula>
一个
和非负的参数范围<我nl在e-formula>
b
概率密度函数:
(1)
f
y
我
=
y
我
一个
−
1
e
−
y
我
/
b
Γ
一个
b
一个
,
y
我
≥
0
,
在哪里<我nl在e-formula>
E
y
我
=
一个
b
=
θ
我
和<我nl在e-formula>
Var
y
我
=
一个
b
2
=
θ
我
2
/
一个
,
θ
我
=
e
x
我
′
β
。
的对数似功能(
1)是
(2)
l
β
=
∑
我
=
1
n
一个
−
1
ln
y
我
−
y
我
b
−
一个
ln
b
−
ln
Γ
一个
。
方程(
2)是解决迭代,因为它是非线性的<我nl在e-formula>
β
使用费舍尔评分方法如下:
(3)
β
t
+
1
=
β
t
+
我
−
1
β
t
年代
β
t
,
在哪里<我nl在e-formula>
t
是迭代的学位,<我nl在e-formula>
年代
β
=
∂
l
β
/
∂
β
和<我nl在e-formula>
我
−
1
β
=
−
E
∂
2
l
β
/
∂
β
∂
β
′
−
1
。最后一步的估计系数被认为是
(4)
β
^
大中型企业
=
D
−
1
X
′
W
z
^
,
在哪里<我nl在e-formula>
D
=
X
′
W
^
X
,<我nl在e-formula>
W
^
=
诊断接头
θ
^
我
2
矩阵,<我nl在e-formula>
θ
^
我
=
经验值
x
我
′
β
^
大中型企业
,<我nl在e-formula>
z
^
被称为矢量在吗<我t一个l我c>
我我t一个l我c>th元素,<我nl在e-formula>
z
^
=
θ
^
我
+
y
我
−
θ
^
我
/
θ
^
我
2
。<我nl在e-formula>
W
^
和<我nl在e-formula>
z
^
得到费舍尔得分迭代的过程(见[
12,
18])。的协方差矩阵,矩阵的均方误差(MMSE),以及均方误差(MSE)得到Algamal和Asar [
19)和书面,分别如下:
(5)
患者的
β
^
大中型企业
=
浸
β
^
大中型企业
=
ϕ
D
−
1
,
在哪里<我nl在e-formula>
ϕ
=
1
/
n
−
p
∑
我
=
1
n
y
我
−
θ
我
2
/
θ
我
2
。
(6)
均方误差
β
^
大中型企业
=
tr
患者的
β
^
大中型企业
=
ϕ
∑
j
=
1
p
1
γ
j
,
在哪里<我nl在e-formula>
γ
j
被认为是一个<我t一个l我c>
j我t一个l我c>给定矩阵的特征值<我nl在e-formula>
D
=
X
′
W
^
X
和符号<我nl在e-formula>
X
′
的转置<我t一个l我c>
X我t一个l我c>。
γ岭估计量(GRE)被认为是
(7)
β
^
GRE考试
=
D
k
−
1
β
^
大中型企业
,
k
>
0
,
在哪里<我nl在e-formula>
D
k
=
Ι
+
k
D
−
1
和<我nl在e-formula>
k
是偏置参数。给出的MMSE和MSE GRE
(8)
患者的
β
^
GRE考试
=
浸
β
^
GRE考试
+
偏见
β
^
GRE考试
偏见
β
^
GRE考试
,
=
ϕ
D
k
−
1
D
−
1
D
k
−
1
+
k
2
D
k
−
1
D
−
1
β
β
′
D
−
1
′
D
k
−
1
′
均方误差
β
^
GRE考试
=
tr
患者的
β
^
GRE考试
,
=
ϕ
∑
j
=
1
p
γ
j
γ
j
+
k
2
+
k
2
∑
j
=
1
p
α
j
2
γ
j
+
k
2
,
在哪里<我nl在e-formula>
α
=
P
′
β
这样<我nl在e-formula>
P
矩阵的特征向量<我nl在e-formula>
D
。
γ刘估计量(GLE)是由
(9)
β
^
GLE
=
F
d
β
^
大中型企业
,
0
<
d
<
1
,
在哪里<我nl在e-formula>
F
d
=
D
+
Ι
−
1
D
+
d
Ι
和<我nl在e-formula>
d
是偏置参数。
GlE是由MMSE和MSE
(10)
患者的
β
^
GLE
=
浸
β
^
GLE
+
偏见
β
^
GLE
偏见
β
^
GLE
′
=
ϕ
F
d
D
−
1
F
d
+
1
−
d
2
D
+
Ι
−
1
β
β
′
D
+
Ι
−
1
,
均方误差
β
^
GLE
=
tr
患者的
β
^
GLE
=
ϕ
∑
j
=
1
p
γ
j
+
d
2
γ
j
γ
j
+
1
2
+
1
−
d
2
∑
j
=
1
p
α
j
2
γ
j
+
1
2
。
2.1。新伽马估计量对于已知的线性回归模型,Kibria和Lukman
17)提出了以下新的ridge-type估计量,称为Kibria-Lukman(吉隆坡)估计,这被定义为
(11)
β
^
吉隆坡
=
W
k
米
k
β
^
OLS
,
k
>
0
,
在哪里<我nl在e-formula>
W
k
=
Ι
+
k
X
′
X
−
1
−
1
,<我nl在e-formula>
米
k
=
Ι
−
k
X
′
X
−
1
,<我nl在e-formula>
β
^
OLS
=
X
′
X
−
1
X
′
Y
。
在这项研究中,我们扩展了KL GRM估计量,将估计量称为伽马KL估计量(GKL)写如下:
(12)
β
^
GKL
=
D
k
−
1
R
k
β
^
大中型企业
,
在哪里<我nl在e-formula>
R
k
=
Ι
−
k
D
−
1
。
G吉隆坡估计量的偏差和协方差矩阵形式分别得到:
(13)
偏见
β
^
GKL
=
D
k
−
1
R
k
−
Ι
β
,
在哪里<我nl在e-formula>
E
β
^
大中型企业
=
β
和
(14)
浸
β
^
GKL
=
ϕ
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
。
所以,患者和MSE的特征值定义,分别
(15)
患者的
β
^
GKL
=
浸
β
^
GKL
+
偏见
β
^
GKL
偏见
β
^
GKL
′
=
ϕ
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
+
D
k
−
1
R
k
−
Ι
β
β
′
D
k
−
1
R
k
−
Ι
′
,
均方误差
β
^
GKL
=
tr
患者的
β
^
GKL
=
ϕ
∑
j
=
1
p
γ
j
−
k
2
γ
j
γ
j
+
k
2
+
4
k
2
∑
j
=
1
p
α
j
2
γ
j
+
k
2
。
2.2。估计的理论比较一些必要的前题是比较的估计理论陈述如下。
引理1。假设<我nl在e-formula>
n
×
n
矩阵<我nl在e-formula>
F
是正定(申)<我nl在e-formula>
一个
动力传动(或<我nl在e-formula>
一个
非负);然后,<我nl在e-formula>
F
>
一个
敌我识别<我nl在e-formula>
λ
马克斯
一个
F
−
1
<
1
,在那里<我nl在e-formula>
λ
马克斯
一个
F
−
1
矩阵的最大特征值吗<我nl在e-formula>
一个
F
−
1
(
20.]。
引理2。假设<我nl在e-formula>
R
是一个<我nl在e-formula>
n
×
n
警察局和矩阵<我nl在e-formula>
α
是一个向量;然后,<我nl在e-formula>
R
−
α
α
′
是警察局敌我识别<我nl在e-formula>
α
′
R
−
1
α
<
1
(
21]。
引理3。假设<我nl在e-formula>
α
我
=
l
我
y
,<我nl在e-formula>
我
=
1、2
给定的两个线性估计<我nl在e-formula>
α
。另外,假设<我nl在e-formula>
我
=
浸
α
^
1
−
C
o
v
α
^
2
申先生。,在那里<我nl在e-formula>
浸
α
^
我
我
=
1、2
被认为是协方差矩阵的形式<我nl在e-formula>
α
^
我
和<我nl在e-formula>
b
我
=
偏见
α
^
我
=
l
我
X
−
我
α
,<我nl在e-formula>
我
=
1、2
。因此,
(16)
Δ
α
^
1
−
α
^
2
=
患者的
α
^
1
−
患者的
α
^
2
=
σ
2
我
+
b
1
b
1
′
−
b
2
b
2
′
是p
。d
。,
如果<我nl在e-formula>
b
2
′
σ
2
我
+
b
1
′
b
1
b
2
<
1
,在那里<我nl在e-formula>
患者的
α
^
我
=
浸
α
^
我
+
b
我
b
我
′
(
22]。
2.2.1。比较GKL和标定
定理1。<我nline-formula>
β
^
GKL
比<我nl在e-formula>
β
^
大中型企业
如果
(17)
β
′
D
k
−
1
R
k
−
Ι
′
ϕ
D
−
1
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
D
k
−
1
R
k
−
Ι
β
<
1。
证明。分散的区别
(18)
浸
β
^
大中型企业
−
浸
β
^
GKL
=
ϕ
D
−
1
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
。
我们观察到,<我nl在e-formula>
D
−
1
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
是正定(申)自<我nl在e-formula>
γ
j
+
k
2
−
γ
j
−
k
2
=
4
γ
j
k
>
0
,
为<我nl在e-formula>
k
>
0
。由引理
3证明已经完成。
2.2.2。比较GKL和GRE
定理2。<我nline-formula>
β
^
GKL
优于<我nl在e-formula>
β
^
GRE考试
如果
(19)
β
′
D
k
−
1
R
k
−
Ι
′
V
1
+
D
k
−
1
−
Ι
β
β
′
D
k
−
1
−
Ι
D
k
−
1
R
k
−
Ι
β
,
λ
马克斯
一个
F
−
1
<
1
,
在哪里
(20)
V
1
=
ϕ
D
k
−
1
D
−
1
D
k
−
1
′
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
,
一个
=
k
D
k
−
1
D
−
1
D
k
−
1
,
F
=
2
D
k
−
1
D
k
−
1
。
证明。
(21)
V
1
=
ϕ
D
k
−
1
D
−
1
D
k
−
1
′
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
=
ϕ
D
k
−
1
D
−
1
D
k
−
1
′
−
D
k
−
1
Ι
−
k
D
−
1
D
−
1
Ι
−
k
D
−
1
D
k
−
1
=
ϕ
k
D
−
1
F
−
一个
D
−
1
,
在哪里<我nl在e-formula>
一个
=
k
D
k
−
1
D
−
1
D
k
−
1
和<我nl在e-formula>
F
=
2
D
k
−
1
D
k
−
1
。
很明显,偏置参数<我nl在e-formula>
k
>
0
和<我nl在e-formula>
0
<
d
<
1
,<我nl在e-formula>
F
>
0
以及<我nl在e-formula>
一个
>
0
。<我nl在e-formula>
F
−
一个
>
0
如果<我nl在e-formula>
λ
马克斯
一个
F
−
1
<
1
,在那里<我nl在e-formula>
λ
马克斯
一个
F
−
1
矩阵的最大特征值的形式吗<我nl在e-formula>
一个
F
−
1
。由引理
1证明已经完成。
2.2.3。比较GKL和克林顿
定理3。<我nline-formula>
β
^
GKL
优于<我nl在e-formula>
β
^
GLE
如果
(22)
β
′
D
k
−
1
R
k
−
Ι
′
V
2
+
1
−
d
2
D
+
Ι
−
1
β
β
′
D
+
Ι
−
1
D
k
−
1
R
k
−
Ι
β
≤
1
,
在哪里<我nl在e-formula>
V
2
=
ϕ
F
d
D
−
1
F
d
′
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
。
证明。分散的区别
(23)
V
2
=
ϕ
F
d
D
−
1
F
d
′
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
。
我们观察到,<我nl在e-formula>
F
d
D
−
1
F
d
′
−
D
k
−
1
R
k
D
−
1
R
k
′
D
k
−
1
′
下,因为<我nl在e-formula>
γ
j
+
k
2
γ
j
+
d
2
−
γ
j
−
k
2
γ
j
+
1
2
>
0
为<我nl在e-formula>
k
>
0
和<我nl在e-formula>
0
<
d
<
1
。由引理
3证明已经完成。
2.2.4。参数的估计k <斜体> < /斜体>的最优值<我nl在e-formula>
k
在<我nl在e-formula>
β
^
GKL
采用KL估计量的研究Kibria和Lukman [
17)如下:
(24)
k
=
ϕ
2
β
j
2
+
ϕ
/
γ
j
。
的最优值<我nl在e-formula>
k
在(
24)取决于未知参数<我nl在e-formula>
ϕ
和<我nl在e-formula>
β
j
2
。
因此,我们把相应的无偏估计量,而不是他们。因此,
(25)
k
^
=
ϕ
^
2
β
^
大中型企业
j
2
+
ϕ
^
/
γ
j
。