信号采集系统的效率概念的引入大大提高了压缩感知(CS)的 1]。计算机科学是一门技术,使通过sub-Nyquist信号同步采集和压缩采样传感降低的成本数据,通信和存储。可以恢复原始信号 ℓ 1 最小化,提供信号是可怕地稀少。重建的二阶统计压缩测量可能不需要原始信号频谱稀疏的重建和没有条件。这种技术被称为协方差压缩传感(CCS) ( 2]。结构信息出现在统计期间捕获域压缩等常见的半正定厄米托普利兹(HT)信号协方差矩阵的结构。这些信息使大范围的重建固定CCS (WSS)信号的统计数据,以及技术已经扩展到非平稳的信号使用在线CCS ( 3]。压缩被认为是使用一个线性执行稀疏的统治者(LSR) [ 2, 3),使随后的复苏托普利兹协方差矩阵的采样延迟至少一次,CCS发展的问题导致了超定方程组,可以解决最小二乘法获得原始信号的协方差值。

许多信号处理方法和技术只需要信号的二阶统计的知识而不是信号本身。例子是功率谱估计( 4[],频偏估计 5, 6],direction-of-arrival估计在阵列信号处理 7]。信号的功率谱显示了分配权力作为频率的函数。功率谱估计有很多实际应用,比如在语音分析估计谱可以帮助确定声道的共振峰,在医学诊断和脑电图频谱估计有助于睡眠障碍的研究,例如,以及多普勒雷达、地震学和地球物理学。在这个工作中,功率谱估计是实现基于CCS计算或恢复自相关函数(简单地称为协方差)为离散时间信号压缩测量。然后,快速傅里叶变换(FFT)的恢复协方差值被发现后的功率谱后者构成了傅里叶变换对信号自相关。最近,CCS发现应用程序在宽带频谱感知认知无线电(CR) ( 4, 8- - - - - - 10]。符合这CR方向,OFDM信号的传感sub-Nyquist样品也被目标( 11]。在CR,部分波段的宽带频谱扫描搜索未使用的频带传输开发的可能性。因此,感知整个频带的功率谱是必需的。目前工作股票这种方法的许多方面,但更普遍的针对离散时间信号的功率谱估计的功率谱密度(PSD)估计量的标准周期图及其修改变量的类型( 12]。这CCS-related问题可以制定使用协方差匹配,在本质上,由一个线性参数化的协方差矩阵的估计从压缩测量 13, 14];也就是说,协方差矩阵被认为是一组HT矩阵的线性组合。由这些组成张成的子空间协方差矩阵被称为子空间,它抓住了结构从可压缩信号协方差重建所需的信息。

不失一般性,本文考虑的信号是假定为实值。两个不同的基地的协方差子空间使用和测试通过模拟获得原始信号的协方差值,随后,Blackman-Tukey谱估计应用于功率谱。性能测量的归一化均方谱估计误差。使用任何优势带来的两个基地展示了对精度和计算复杂度。方法介绍,允许减少使用傅里叶计算复杂度的基础上没有显著降低估计精度。进一步,实现尽可能高的压缩,最小稀疏的统治者是用于压缩( 2),结果表明,两种不同的最小稀疏的统治者对CCS过程产生不同的影响虽然同样的压缩比。还测试了几个压缩比范围。

最近,各种协方差矩阵估计方法介绍了压缩测量。在[ 15),一个算法恢复的高维信号的协方差矩阵随机压缩预测基于投影梯度法。同样,压缩投影主成分分析(PCA)算法提出了在 16],在[工作 17, 18]分析了偏见的影响对投影矩阵的协方差矩阵。上述压缩协方差矩阵估计方法进行应用,如高光谱成像( 15]。这些方法扩展到功率谱估计的背景下仍然是一个为未来的研究主题。然而,预计目前的最小二乘CCS方法更符合功率谱估计,尤其是当使用协方差的傅里叶基础子空间,允许扣除的信号谱组件中途计算,从而减少了计算负担。另一个相关的工作合作的实现压缩功率谱估计( 19]利用渠道多样性占收到用户信号衰落无线传感器通信。类似的分布式处理功率谱估计的方法可以在找到 20.]。工作( 21)提出了一种基于CCS sub-Nyquist宽带频谱感知方法快速宽带频谱感知,适用于快速光谱检测CR。然而,准确的功率谱密度估计不是这个粗粒度的主要要求传感方法。

最好的作者的知识,最相关的文献中至今工作的功率谱估计方法是( 4)一个解决问题的方法也同样基于sub-Nyquist抽样没有稀疏约束的要求。解决方案( 4)发现通过求解最小二乘问题,使用一个光敏电阻采样来实现两个目标。这些是谱估计和频谱检测,后者在CR很常见的应用程序。目前的工作只处理谱估计和有以下贡献。首先,Blackman-Tukey寡妇使用协方差的方法来实现更精确的频谱估计,同时实现最小二乘CCS。其次,最重要的是,CCS-related方法称为改进alpha-based方法是设计,其性能均方估计误差的方法,原始CCS的方法,减少了计算复杂度的优势。

为了现在的功率谱估计中使用的实验方法基于CCS,最小二乘理论的CCS首先解释道。

在这部作品中,CCS问题是制定恢复为真正的随机信号向量的协方差 x ∈ R N 从向量中 y ∈ R 米 这是一个压缩版的吗 x 根据 (1) y = Φ x , 在哪里 Φ 是 米 × N 压缩或采样矩阵。通常情况下, 米 < < N 而且可能有几个可用的实现 y 。给出了压缩比 米 / N 。我们认为稀疏矩阵的压缩 Φ 最多一个非零项,通常是单位价值,在每一行或列。

的协方差矩阵 x ,包含二阶统计,给出 (2) Σ = E x x T 。

它被认为是一种普遍HT矩阵的线性组合 Σ 年代 元素的集合 我 = Σ 0 , Σ 1 , ⋯ , Σ 年代 − 1 ⊂ R N × N 和可以写成 (3) Σ = ∑ 年代 = 0 年代 − 1 α 年代 Σ 年代 , 在哪里 α 年代 是真实的标量。

因为向量的元素 x 从WSS样品过程中,半正定HT的结构吗 Σ 允许这种压缩。子空间 我 叫做子空间协方差,是一组线性无关的HT矩阵。的元素 我 构成基础协方差的分解方程( 3)是独一无二的和一个标量的知识 α 年代 导致的决心 Σ 。的不平等 年代 ≤ 2 N − 1 必须满足的 我 是线性无关的,因为 Σ 年代 HT和 α 年代 是真实的。

压缩向量的协方差矩阵 y 是 (4) Σ ¯ = E y y T 。

用方程( 1)和( 2在方程() 4)的结果 (5) Σ ¯ = ΦΣΦ T = ∑ 年代 = 0 年代 − 1 α 年代 Σ ¯ 年代 , 在哪里 (6) Σ ¯ 年代 = ΦΣ 年代 Φ T 。

这表明 Σ ¯ 是一个线性组合的埃尔米特矩阵(但不一定是托普利兹)在一组 我 ¯ = Σ ¯ 0 , Σ ¯ 1 , ⋯ , Σ ¯ 年代 − 1 ⊂ R 米 × 米 。

如果压缩保存所有相关信息 我 ¯ 是线性无关的 α 年代 可以通过应用方程( 6),那么( 5)。此后, Σ 可以找到从方程( 3)。然而,如果压缩强,线性独立 我 ¯ 可能会丢失的协方差呢 x 不能完全恢复。这种方法找到 α 年代 被称为协方差匹配( 13, 14),它会导致一个超定的方程组(由方程( 5),可以通过最小二乘法解决。由于矩阵 Σ ¯ 是 米 × 米 ,这个方程组 米 2 方程,只 年代 未知数,通常 年代 ≤ 2 N − 1 这通常是一个超定的方程组。(详细数学证明的解决方案 2),通过一个明确的例子( 22]。流程图显示的算法步骤顺序LS-CCS方法显示在图 1。

的最小二乘解的估计 Σ ,用 Σ ∧ LS 到达,( 2),是 (7) Σ ∧ LS = vec − 1 年代 Φ ⊗ Φ 年代 __ σ ^ y 。

方程( 7)数学总结图 1,操作员 vec − 1 表示一个向量的放置成一个方阵, ⊗ 克罗内克积,伪逆的匕首__表示。向量 σ ^ y 是估计的 σ y 向量化的(相反的过程吗 vec − 1 )的矩阵 Σ ¯ ,矩阵 年代 的向量 σ 年代 作为其列。向量 σ 年代 的向量化矩阵 Σ 年代 。

注意,该方程解( 7)需要估计的协方差压缩信号的测量 y 是可用的。不同的评估方法的影响压缩信号的协方差 Σ ¯ 在整个CCS过程导致的恢复 Σ 研究了在 22]。

非参数功率谱估计不需要先验信息的信号模型,谱估计是完全由观测数据治理。PSD是离散时间傅里叶变换(DTFT)为信号的协方差。的协方差序列 N 元向量 x 的第一列是托普利兹协方差矩阵给出了吗 (11) c x = c x 0 , c x 1 , ⋯ , c x N − 1 。

获得估计 c ^ x 上面的原始信号的协方差序列 x 从压缩测量 y 通过应用LS-CCS,我们需要估计的协方差 c ^ y 压缩信号的 y 在方程( 7)。在[ 22),三种方法检测了协方差估计的结果在协方差无偏估计方法给最好的结果。然而,对于频谱估计的应用程序,我们使用的有偏见的协方差估计 (12) c ^ y τ = 1 米 ∑ n = 1 T y n y n − τ , 在哪里 T 术语的数量总和, τ 是滞后, T = 米 − τ 。

的估计方程( 12),虽然有偏见,是优于其他的估计,因为它是半正定与协方差的无偏估计( 23, 24]。原始信号协方差估计是基于压缩信号协方差估计通过CCS过程。FFT协方差的无偏估计会表现出负一些频率而PSD应该积极的频率。因此,协方差无偏估计是不相关的任何可能的谱估计( 24]。在任何情况下,小滞后的协方差估计更可靠的比大滞后,因为总结术语的数量较小的后者协方差值不准确。Blackman-Tukey方法非参数谱估计窗口加权协方差,large-lag值少。可以通过应用Bartlett或三角形的窗口 w B τ 原始信号的CCS-estimated协方差值。巴特利特窗口是由 (13) w B τ = N − τ N , τ ≤ N , 0 , 否则 。

估计发现PSD DTFT的估计协方差: (14) P 年代 ^ D ω = ∑ τ = − N − 1 N − 1 c ^ x τ e − j ω τ , P 年代 ^ D 英国电信 ω = ∑ τ = − N − 1 N − 1 c ^ x τ w B τ e − j ω τ , 在哪里 P 年代 ^ D 英国电信 ω 是Blackman-Tukey谱估计。在目前的工作,协方差值和PSD是真实的,甚至各自参数的函数。自然,如使用的窗口Bartlett窗口也是一个滞后的偶函数。

在FFT模拟,而不是DTFT,和补零的协方差值应用于得到更好的情节当插值FFT值。许多实现随机信号向量 x 用于计算功率谱和系综平均是( 12]。

上述过程的评估 c ^ x 从 y 通过CCS,然后应用傅里叶变换称为压缩功率谱估计( 13]。Blackman-Tukey版本的这个过程的流程图如图 2。限制原始信号的协方差矩阵,一般来说,HT和半正定意味着子空间协方差是托普利兹子空间。一个可以使用的任何两个基地部分中解释这个子空间 2。然而,傅里叶基础允许真正的标量 α 年代 表示频率的功率谱 2 π 年代 / 2 N − 1 以一个简单的方式。这傅里叶变换的结果变得清晰时检查方程( 3), Σ 年代 由方程( 10)。这个方法将被称为alpha-based功率谱估计的方法。在这种情况下,没有必要应用方程( 3)(步骤6的图 1)找到CCS-estimated找到PSD的协方差矩阵,这将是如果使用标准的基础。因此,alpha-based方法保存 N 2 2 N − 1 乘法。这计算优势,然而,降低是以牺牲性能。原因是没有机会减少错误high-lag协方差值的影响 α 年代 被直接代表光谱系数。

在这项工作中,手段规避降低alpha-based的谱估计方法的性能提出了为了受益于随后的减少计算复杂度。可能会提高性能,如果压缩信号估计协方差由Bartlett或三角窗窗口的应用最小二乘法。图 3的流程图alpha-based和改进alpha-based功率谱估计方法。提出的改进的功效alpha-based方法证明在以下部分结果。

在MATLAB进行仿真。一个length-21实值信号向量 x 来自-0.8参数的一阶自回归随机过程。过程的自相关函数将被给出了 2。7 0.8 τ 。压缩这 x 向量,两个length-20最小光敏电阻与压缩比第一次使用 米 / N = 8 / 21 。这两个光敏电阻是由集 K 1 = 0 , 1 , 4 , 6 , 10 , 15 , 18 , 20. 和 K 2 = 0 , 1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 17 , 20. 。还测试了是第三nonminimal LSR所具有更高的压缩比 米 / N = 11 / 21 ,是由一组表示 K 3 = 0 , 1 , 3 , 4 , 6 , 10 , 12 , 15 , 17 , 18 , 20. 。压缩向量 y 通常是由噪声的观察。零均值高斯白噪声添加到压缩测量。添加噪声的标准差(SD)计算从所需的信噪比 (15) SD = 压缩 信号 权力 10 0.1 × 信噪比 dB 。

LS-CCS然后应用恢复成原始的协方差,然后计算出估计功率谱通过应用FFT操作。有偏见的方法用于估计的协方差压缩信号,和协方差估计的原始值由Bartlett窗口的窗口前计算的光谱。元素的数量 x 相关的协方差和功率谱向量是41或( 2 N − 1 )。的标准和傅里叶基地托普利兹协方差子空间进行测试,发现频谱时产生相同的结果在这两种情况下计算估计或恢复原来的协方差。谱估计的性能指标实现的光谱归一化均方误差 (16) NMSE dB = 10 日志 10 PSD 英国电信 − P 年代 ∧ D 英国电信 2 PSD 英国电信 2 , 在哪里 PSD 英国电信 和 P 年代 ^ D 英国电信 是真正的,估计Blackman-Tukey length-41功率谱向量,分别。

所有仿真结果(数据 4- - - - - - 9)平均超过20实现最初的基于“增大化现实”技术的随机向量 x ,对于每一个实现,结果ensemble-averaged超过1000分占吵闹的压缩观测。图 4显示了NMSE与信噪比谱估计时由LS-CCS三个光敏电阻使用。虽然 K 1 和 K 2 都是最小的光敏电阻, K 1 明显表现更好。由于更高的压缩比,从而减少压缩 K 3 这LSR给NMSE最少。

当使用傅里叶基础,计算 α 年代 可以被认为是光谱成分,即alpha-based章节中讨论的方法吗 3。然而,这导致表现不佳相比,使用 α 年代 恢复的协方差,然后窗口FFT。如果 α 年代 被直接代表光谱系数,就没有机会窗口提高谱估计的协方差值。图 5澄清这个问题alpha-based降低性能的方法比原始LS-CCS方法。这是一个阴谋NMSE与信噪比的频谱估计的两种方法使用傅里叶基础和两个不同的压缩比。注意到,当压缩是少,也就是说,更高的压缩比,两种方法之间的差异谱估计减少,因为, α 年代 成为一个更好的光谱系数。

作为讨论的部分 3在实验方法上,提出了改善alpha-based方法测试,发现给LS-CCS方法可比的结果除了被计算效率更高。改进的性能源于窗口压缩信号估计协方差用Bartlett窗口图的流程图 3所示。这次尝试的结果如图所示 6。是一块NMSE与信噪比使用傅里叶基础和alpha-based光敏电阻最小的方法。性能显著提高,当压缩信号协方差估计窗口的。然而,恢复原始信号协方差的方法仍然是更好的。的性能改进alpha-based方法预计将增加更高的压缩比。图 7是NMSE与压缩比的情节 米 / N 三种方法的Blackman-Tukey LS-CCS, alpha-based方法和改进alpha-based方法都使用傅里叶基础和两个噪声场景: 信噪比 = 30. dB 和 信噪比 = 5 dB 。图中的五个压缩比认为是8/21,9/21,13/21,15/21,19/21。的 K 1 使用光敏电阻率8/21,然后,大比例情况下都是通过随机将标记添加到光敏电阻实现的。这是随后的过程( 4)来实现大的压缩比。很明显从图改进alpha-based方法性能比较与原CCS很好方法,保证简单alpha-based显著提高方法。稍微降低性能的新方法相比原来的CCS方法是获得优势的平衡计算复杂度较低。因此,设计方法优于( 4)而获得的优势减少计算负担。

图 8显示了压缩的Blackman-Tukey估计功率谱测量LS-CCS使用傅里叶基础和原始信号协方差的复苏。采用压缩比是11/21 K 3 光敏电阻和信噪比是30 dB。光滑的频谱是由60 0然后插值补零。图 9显示真实的和在这些条件下恢复原始信号协方差值。

基于“增大化现实”技术的随机信号的功率谱估计是实现使用LS-CCS恢复从压缩测量信号协方差,计算Blackman-Tukey谱估计。不同的压缩最小光敏电阻具有相同压缩比不一定执行类似。标准和协方差的傅里叶基地子空间产生相同的性能。当使用傅里叶基地时,谱估计的协方差值恢复了更好(更少)均方谱估计误差比alpha-based方法增加计算复杂度为代价的。然而,目前的工作提出了一种改进的方法通过窗口compressed-signal LS-CCS过程所需的协方差估计。的均方谱估计误差,提出了改善alpha-based方法性能接近协方差估计的频谱恢复的方法通过LS-CCS和减少计算复杂度的额外优势。