在电子设备的实际操作,随机波动(“噪音”)总是叠加的确定性电量(传达的“信号”)所需的信息。这样的波动来自传感器的基本微观现象和他们可能会限制可实现的敏感性,或如fluctuation-enhanced传感( 1),有助于改善传感器性能,特别是选择性。几种形式的随机电波动可能存在于电子设备:散粒噪声、热噪声,产生复合噪音,噪音,和 1 / f (闪烁)噪音,引用主要的( 2- - - - - - 9]。他们不同的物理起源和功率谱密度的依赖的物理参数描述设备操作,如温度、频率、偏置电流、电荷密度和材料电阻率。

特别是,理解控制的固有噪声的物理机制,电子设备,特别是传感器,可以极大地帮助设计师在选择最好的材料制造和最佳偏置点的操作。

在这里,我们关注的焦点 1 / f (闪烁)噪音,因此从它的功率谱密度的行为,这是频率成反比。这种类型的噪声主要来源于捕获和detrapping电荷载体,由于杂质(陷阱)内或附近地区的通道电流的装置。因此一般来说,其振幅与陷阱浓度成正比。

的功率谱密度 1 / f 目前噪声通常与实证Hooge近似公式( 10]: (1) 年代 我 = α H 我 2 NgydF4y2Ba f , 在哪里 α H 是Hooge常数, 我 平均偏置电流, NgydF4y2Ba 是航空公司在设备的数量, f 是频率。根据这个公式, 1 / f 噪音时应该更大的数量 NgydF4y2Ba 运营商的设备是较低的。这就是通常被观察到在普通半导体( 11, 12),如硅或砷化镓。然而,不同的行为一直在观察测量进行石墨烯样品。

单层石墨烯是一种最近分离的材料( 13由一个平面六角晶格的碳原子。这是一个零能隙半导体( 14- - - - - - 19),即使能源缺口可以介绍,例如,通过横向约束( 20.- - - - - - 22,应变 23, 24],掺杂[ 25- - - - - - 27],功能化[ 28, 29日),或引入antidots的点阵材料层( 30., 31日]。其色散关系在导带和价带之间退化点(所谓的狄拉克点,即。,中立点)都是线性的,因此石墨烯的载流子有效质量提供一个零。隔绝石墨以来,它已被大量研究工作的重点(最近扩展到更广泛的二维材料的家庭( 32- - - - - - 34),因为它拥有非常有吸引力的电,热,光,和机械性能 35- - - - - - 47]。此外,石墨烯展品非常不常见的物理现象 48- - - - - - 50),典型的相对论力学,因为它的有效质量输运方程伴随着狄拉克方程( 18, 51, 52)(波动方程描述相对论自旋1 /两个粒子)。双层石墨烯是相反的两个耦合的石墨烯层( 14, 15, 53- - - - - - 56]。双层石墨烯与伯纳尔叠加非线性色散关系零差距;然而,能源缺口很容易诱导应用正交电场,它引入了一个两层的电化学势之间的转变。

石墨烯是特别感兴趣的实现传感器由于其quasi-two-dimensional性质,导致一个非常大的表面体积比:由于传感器与分析物的相互作用主要是由于表面发生吸附、传导是大部分财产,将导致一个大的表面体积比一个大电阻的相对变化时,传感器与分析物的相互作用。

在石墨烯中,测量闪烁噪声功率谱密度函数的电荷密度(通常是调整调整门电压)显示各种不同的行为( 57- - - - - - 70年]。而在大多数单层样本观察“Λ”形的行为( 60- - - - - - 63年),类似于常见的半导体,在暂停了单层石墨烯和大多数双层样品一个“M”形(或“V”形)行为测定,与当地最低狄拉克点附近的闪烁噪声,承运人最低密度( 58, 59, 61年- - - - - - 69年),与什么相比预计将从Hooge的公式。提出了几种解释来理解这种行为( 61年, 62年, 64年- - - - - - 66年, 68年]。

一个有趣的理论( 71年]利用困的静电屏蔽运营商和石墨烯能带结构的特有的性质来解释观察到的特性。我们已经开发出一种不同的方法 72年),导致类似的结果,利用一个模型基于电荷守恒中立和质量作用定律(必须满足如果闪烁噪声的主要波动是缓慢而产生复合载体的时候)。

这里,我们扩展这个模型通用半导体的案例中,我们使用它来解释这种差异的起源之间的行为中观察到石墨烯样品和典型的常见的半导体。特别是,我们表明,最低的 1 / f 噪声在电荷中立点预计在材料(如石墨烯)电子和空穴有相同的流动,在很低的存在潜在的障碍。这实际上是暂停的情况下石墨烯或双层石墨烯(静电效应随机分布的带电杂质强烈筛选)。在常见的半导体,电子和洞一般行为是不同的 50, 73年],闪烁噪声功率谱密度的局部最小值明显要少得多,不可避免的存在是完全压制的潜在障碍。

为了联系(微观)现象,包括电荷载体的运动和捕获和再发射的陷阱(宏观)电流的终端设备,我们可以使用Ramo-Shockley定理 74年, 75年)(然后广义Pellegrini动电学定理( 71年, 76年, 77年])。我们假设散射现象发生在时间尺度速度远远超过认为捕获/ detrapping事件,以这样一种方式,能够定义一个漂流。是由当前的终端 (2) 我 = ∫ 一个 问 − v → n n x , y + v → p p x , y ⋅ F → x , y d x d y = ∫ 一个 问 μ n n x , y + μ p p x , y E → x , y ⋅ F → x , y d x d y , 在哪里 问 是元电荷的模量; v → n 和 v → p 分别是电子和空穴的漂移速度; F → x , y 是将产生的电场和坐标点吗 x , y 由一个单位的潜在应用于电极,我们要计算当前(而另一电极接地,在缺乏移动费用)( 74年]; E → x , y 电场装置中; μ n ( μ p ), n ( p )是电子的机动性和表面密度(孔);和 一个 设备的面积,等于产品的宽度 W 和长度 l 。自 F → x , y 单位电场应用潜力,因此电场比应用潜力,它的尺寸长度的倒数。实际功能的依赖关系 F → x , y 是受到联系人的详细信息和长宽比的装置。的组件 F → x , y 沿着每个电荷(因此的漂移速度 E → x , y )代表承运人的重量每一个点的运动设备导致的总电流,因此被这里类似于灵敏度系数引入et al。 78年- - - - - - 80年]。因为本研究的目的的相对重量来自不同地区的设备并不重要,我们将假设一个常数 F → x , y (等于 1 / l 和并行 E → x , y ),即。,a uniform sensitivity coefficient.

在这种近似,联系人的瞬时电流是由( 72年] (3) 我 = 1 l ∫ 一个 问 µ n n + µ p p E d x d y 。

对于三维设备,这个积分必须替换为一个积分除以体积 V , n 和 p 成为体积密度(而不是表面密度)。平均电流可以写成 (4) 我 = 问 µ n n + µ p p E W 。

如果像通常的情况( 71年),捕获和detrapping事件的影响在载体密度是迄今为止普遍对机动性和电场,我们可以表达当前由于运营商被困和detrapped波动 (5) Δ 我 = 1 l ∫ 一个 问 µ n Δ n + µ p Δ p E d x d y , 在哪里 Δ n 和 Δ p 分别是电子和空穴浓度的波动。因此,电流波动的平均电流的比值等于 (6) Δ 我 我 = 1 一个 ∫ 一个 μ n Δ n + μ p Δ p E d x d y μ n n + μ p p E ≃ μ n ∫ 一个 Δ n d x d y + μ p ∫ 一个 Δ p d x d y 一个 μ n n + μ p p = μ n Δ NgydF4y2Ba + μ p Δ P μ n NgydF4y2Ba + μ p P , 电子和空穴的总数在该地区吗 一个 被定义为 NgydF4y2Ba = ∫ 一个 n d x d y 和 P = ∫ 一个 p d x d y 分别,而变化的效应trapping-detrapping现象已经表示 Δ NgydF4y2Ba 和 Δ P 。

为了计算 Δ NgydF4y2Ba 和 Δ P ,我们使用以下方法 72年(不同于用于Ref。 71年),但会导致类似的结果)。让我们考虑一个陷阱,让我们定义 χ 数量(0或1)的电子的能级杂质影响捕获事件。在下面,我们将显示 Δ 变化的值没有俘获电子(即。,当没有电子困所有的变化 Δ 是零)。当一个电子或一个洞被困,瞬间变化的相应的载流子的数量,但是,随着时间的时间间隔超过热产生复合,必须满足质量作用定律和电中性。因此,对于一个通用的变异 Δ χ 的数量 χ 的电子陷阱( Δ χ = χ ,因为 Δ χ = 0 如果没有困,电子 Δ χ = 1 如果一个电子被困),变化 Δ NgydF4y2Ba 和 Δ P 运营商的设备必须满足 (7) NgydF4y2Ba Δ P + P Δ NgydF4y2Ba = 0 , Δ P − Δ NgydF4y2Ba − Δ χ = 0 。

第一个关系方程( 7)可以获得差异化的关系 P NgydF4y2Ba = c (即。,the mass action law with both members multiplied by the square of the area 一个 )。(同样,这可以获得注意的质量作用定律必须是有效的之前和之后都检查捕获事件。因此,这两个 Δ P + P Δ NgydF4y2Ba + NgydF4y2Ba = c 和 P NgydF4y2Ba = c 必须得到满足;减去两个方程,忽略二阶项 Δ P Δ NgydF4y2Ba 关于其他的,第一个关系方程( 7)。)的数量 c 是一个常数通常取决于半导体的类型和温度,因此,它不会改变由于捕获事件。即使在石墨烯中, c 还取决于费米能级的位置( 81年),我们可以假设其变异由于捕获事件可以忽略不计。

第二个方程的关系( 7)加强设备的电中性:假设整个设备,包括偏压电极,是中性检查事件之前,总电荷变化源于捕获事件必须是零: 问 Δ P − 问 Δ NgydF4y2Ba + Δ χ = 0 (见图 1),包括自由孔的数量变化,自由电子,电子被陷阱,所有导致总费用。

系统方程( 7)有以下解决方案: (8) Δ NgydF4y2Ba = − NgydF4y2Ba P + NgydF4y2Ba Δ χ , Δ P = P P + NgydF4y2Ba Δ χ 。

这些解决方案的数量 NgydF4y2Ba 和 P 似乎只有通过他们的比率;因此,准确的选择区域 NgydF4y2Ba 和 P 评估是无关紧要的。

我们可以看到从方程( 7)和( 8),必须满足质量作用定律和电中性唯一确定的值变化 Δ NgydF4y2Ba 和 Δ P 源于一个捕获事件:这些电子,因此洞波动是完全相关的。

用这些表达式为方程( 6),我们得到 (9) Δ 我 我 = μ n Δ NgydF4y2Ba / Δ χ + μ p Δ P / Δ χ 一个 μ n n + μ p p Δ χ = 1 一个 μ n n + μ p p μ p P − μ n NgydF4y2Ba P + NgydF4y2Ba Δ χ 。

因此,对于一个陷阱,我们有( 年代 我 是闪烁噪声功率谱密度): (10) 年代 我 我 2 = μ n Δ NgydF4y2Ba / Δ χ + μ p Δ P / Δ χ 一个 μ n n + μ p p 2 年代 χ = 1 一个 μ n n + μ p p μ p P − μ n NgydF4y2Ba P + NgydF4y2Ba 2 年代 χ , 忽视了平均值的贡献, 年代 χ 有一个洛伦兹对频率的依赖,典型的弛豫时间(自 Δ χ 是一个随机电报信号)[ 82年]。

如果我们假设许多陷阱出现在设备是相互独立的,总体噪声频谱可以获得总结他们的光谱。的组合陷阱与正确的分配时间常数的影响导致然后 1 / f 噪声( 83年, 84年]: (11) 年代 我 我 2 = η 一个 μ n Δ NgydF4y2Ba / Δ χ + μ p Δ P / Δ χ μ n n + μ p p 2 1 f γ = η 一个 1 μ n n + μ p p μ p P − μ n NgydF4y2Ba P + NgydF4y2Ba 2 1 f γ , 与 η 作为一个系数取决于浓度、分布、陷阱和属性, γ 是一个数字接近1。

我们将报告闪烁噪声功率谱密度的函数 n − p (即。,the charge density divided by − 问 ),这在实际实验的数量可以通过调优的偏置电压调整门电容耦合到设备。

从方程( 8),我们可以观察到,如果电子浓度远远大于孔,即。,当 NgydF4y2Ba ≫ P ,我们有 Δ NgydF4y2Ba ≈ − Δ χ 而 Δ P ≈ 0 ,也就是说,the variation in the trap charge is completely screened by electrons. In a similar way, when the hole concentration strongly dominates (i.e., P ≫ NgydF4y2Ba ), Δ P ≈ Δ χ 和 Δ NgydF4y2Ba ≈ 0 ,这意味着陷阱电荷变化是完全接受的洞。在中间的情况下,陷阱电荷的变化是由电子和空穴浓度的变化。特别是,在中性点(当 NgydF4y2Ba = P ),陷阱电荷是筛查半孔数量的变化和对另一半的相反的电子数量的变化: Δ NgydF4y2Ba = − Δ χ / 2 和 Δ P = Δ χ / 2 。

从方程( 11),我们观察到闪烁噪声功率谱密度 年代 我 消失的时候 μ p P − μ n NgydF4y2Ba = 0 。的行为 年代 我 这一点如果附近是对称的吗 μ n 和 μ p 一致;否则,这种对称缺席。如果 μ n = μ p 的点 年代 我 的消失, 年代 我 对称是中性点(在哪里 NgydF4y2Ba − P = 0 );这个条件获得的费米能级对应中间传导和价带之间的差距如果这样的乐队是对称的。

的数量 NgydF4y2Ba 和 P 靠,通过能量色散关系 E F ,也就是说,on the relative position of the Fermi energy with respect to the local value of the potential energy. However, the nonuniform distribution of charged dopants and impurities (including the randomly located charged traps themselves) introduces a potential disorder (i.e., a random spatial variation of the potential energy) which can substantially alter this result. In order to introduce the effect of this random spatial energy variation in our calculations, for each value E F 我们平均结果的费米能级能量的高斯分布 E F : (12) 年代 我 我 2 = η 一个 f γ ∫ − ∞ + ∞ μ n Δ NgydF4y2Ba / Δ χ E F + ε + μ p Δ P / Δ χ E F + ε μ n n E F + ε + μ p p E F + ε 2 P ε d ε = η 一个 f γ ∫ − ∞ + ∞ 1 μ n n E F + ε + μ p p E F + ε μ p P E F + ε − μ n NgydF4y2Ba E F + ε P E F + ε + NgydF4y2Ba E F + ε 2 P ε d ε , 在哪里 (13) P ε = 1 2 π σ 2 经验值 − ε 2 2 σ 2 代表了一种规范化的高斯分布与零平均和标准偏差 σ 。

标准偏差 σ 高斯是一个估计的影响潜在的配置文件,因此相对位置 E F 的费米能级的势能,代表的随机带电杂质来源的潜在障碍。因此,的价值 σ 并不仅仅取决于“强度”的障碍来源也静电筛选效率的材料,可以通过导数估计 ∂ n − p / ∂ E F (或量子电容,它正比于它( 45])。如果这个导数较大,同一带电杂质诱导一个较小的变化 E F (因此一个更小的 σ ),因为这个小的变化 E F 足以屏幕杂质的静电效应相反的移动电荷密度的变化 − 问 n − p 。

包括潜在的障碍时,我们将报告闪烁噪声功率谱密度的函数 n − p ,也就是说, n − p 平均在相同能量的高斯分布: (14) n − p = ∫ − ∞ + ∞ n E F + ε − p E F + ε P ε d ε 。

平均的潜在障碍(见方程( 12)降低了噪声频谱上的电荷密度的依赖,具有平滑作用从而增加障碍的力量。

首先,让我们分析单层和双层石墨烯(伯纳尔叠加)。在这个材料,电子和孔带近似对称的 μ n = μ p 。因此,方程( 6)成为 (15) Δ 我 我 = Δ NgydF4y2Ba + Δ P NgydF4y2Ba + P 。

可以执行类似的简化方程( 9)- ( 12);例如,方程( 11)成为 (16) 年代 我 我 2 = η 一个 1 n + p Δ NgydF4y2Ba + Δ P Δ χ 2 1 f γ = η 一个 1 n + p P − NgydF4y2Ba P + NgydF4y2Ba 2 1 f γ 。

对于石墨烯,我们计算出载体浓度 n 和 p 通过集成的产品占领的态密度和功能在整个能量范围: (17) n = ∫ 0 ∞ DOS E f E − E F d E , p = ∫ − ∞ 0 DOS E 1 − f E − E F d E , DOS是态密度,在哪里 f 因此,电子的费米狄拉克占领函数( 1 − f 孔的占领函数)。DOS反过来取决于单层石墨烯或双层石墨烯的色散关系,即。 14, 18, 53, 54]: (18) E 米 κ = ± γ κ , E b κ = ± γ 1 2 2 + Δ 2 4 + γ 2 κ 2 − γ 1 4 4 + γ 1 2 + Δ 2 γ 2 κ 2 1 / 2 , 在哪里 κ 之间的区别是波矢和狄拉克点, γ = ℏ v F (与 ℏ 普朗克常数, v F = 8.73 × 1 0 5 米 / 年代 石墨烯的费米速度), γ 1 = 0.39 电动汽车 石墨烯层间耦合, Δ (这个词可能的带隙负责开放)的区别是现场能量在两层,大约与载体的浓度成正比 n − p (更详细, Δ ≈ 1。4 × 1 0 − 18 电动汽车 米 2 × n − p )。

在数据 2- - - - - - 5,我们报告结果为石墨烯在300 K,没有潜在的障碍平均。数据 2和 3指单层石墨烯,而数字 4和 5指双层石墨烯。

在数据 2和 4我们报告的数量 Δ P / Δ χ 和 Δ NgydF4y2Ba / Δ χ (评估从方程( 8))的函数 n − p (分别为单层和双层石墨烯)。在一般情况下,电荷陷阱的变化主要是接受洞洞的主导运营商,虽然主要是接受电子电子的主导运营商。反而是对称接受电子和空穴在中性点。

在数据 3和 5我们报告的数量 年代 我 / 我 2 一个 f γ / η (评估从方程( 11))的函数 n − p (分别为单层和双层石墨烯)。因为在石墨烯 μ n = μ p ,闪烁噪声功率谱密度的行为是完全对称的中立观点。特别是,负责中立点(狄拉克点),在那里 Δ NgydF4y2Ba = − Δ χ / 2 和 Δ P = Δ χ / 2 ,电流的波动(因此噪声功率谱密度)完全消失(见方程( 16))。比较数据 3和 5,我们注意到周围的倾斜双层石墨烯的狄拉克点是更广泛的比单层石墨烯,由于他们不同的色散关系。

在数据 6和 7,我们将展示类似的结果平均单层的光谱(图 6(图)和双层 7)石墨烯在300 K /潜在的障碍。特别是,我们报告的价值 年代 我 / 我 2 一个 f γ / η (即。,the integral appearing in Equation ( 12))的函数 n − p (即。,the charge density divided by the electron charge, averaged according to Equation ( 14))。对单层和双层石墨烯,我们显示结果为以下四个不同的值 σ :10、20、30和40兆电子伏。在这两种情况下,我们观察到光谱的最小电荷中性点往往消失的力量越来越混乱:因此,闪烁噪声功率谱密度的演化的行为从一个“M”形“Λ”形。然而,正如我们可以推断相应的值 ∂ n − p / ∂ E F (负责中性点= 7 × 1 0 12 c 米 − 2 e V − 1 在单层石墨烯 44 × 1 0 12 厘米 − 2 电动汽车 − 1 在双层石墨烯),筛选潜在的波动是六倍的双层石墨烯单层石墨烯。这是一个后果不同的两种材料的色散关系,与双层石墨烯的特点是奉承狄拉克点附近的乐队( 50]。因此,对于类似的杂质分布的值 σ 应该考虑单层石墨烯,大约6倍比考虑双层石墨烯。结果,对现实的价值观紊乱,单层石墨烯通常不会表现出最低的闪烁噪声功率谱密度在中性点。相反,在充分清洁的双层石墨烯样品,一个“M”形的行为经常被观察到,在狄拉克点最低。类似的“M”形的行为也被观察到在暂停了单层石墨烯,而潜在的障碍远弱于衬底的单层石墨烯。

现在让我们继续的情况下普通的半导体,如硅和砷化镓,闪烁噪声功率谱密度的最小电荷中性点从未实验观察。

也在这种情况下,我们可以采用部分中描述的数值程序 2替换(在三维通道)地区卷。为了简化计算,达到一般的结果,我们忽视的细节材料的能带结构,假设一个恒定的有效质量,我们使用半古典的表达式为载体浓度( 85年, 86年]: (19) n = NgydF4y2Ba C 经验值 − E C − E F k B T , p = NgydF4y2Ba V 经验值 − E F − E V k B T , 在哪里 E C 是最低导带, E V 价带最大, k B 玻耳兹曼常数, T 是绝对温度。

特别是,我们执行我们的计算使用的是硅和砷化镓材料参数。

对于硅,我们考虑以下参数: NgydF4y2Ba C = 2.82 × 1 0 19 厘米 − 3 , NgydF4y2Ba V = 1.04 × 1 0 19 厘米 − 3 , E G = 1.12 电动汽车 , μ p = 450年 厘米 2 / V 年代 , μ n = 1400年 厘米 2 / V 年代 。

相反,砷化镓,我们假设如下: NgydF4y2Ba C = 4.7 × 1 0 17 厘米 − 3 , NgydF4y2Ba V = 7.0 × 1 0 18 厘米 − 3 , E G = 1.42 电动汽车 , μ p = 400年 厘米 2 / V 年代 , μ n = 8500年 厘米 2 / V 年代 。

在数据 8和 9我们报告的结果硅平均在300 K没有潜在的障碍。更多的细节,在图 8,我们显示比例 Δ P / Δ χ 和 Δ NgydF4y2Ba / Δ χ (评估根据方程( 8))的函数 n − p ,而在图 9我们报告的行为数量 年代 我 / 我 2 一个 f γ / η (评估根据方程( 11))的函数 n − p 。

在数据 10和 11砷化镓,我们报告了类似的结果在平均300 K没有潜在的障碍。

从报告的参数,我们看到相反的石墨烯,这些半导体有不同的电子和空穴的机动性。这是明显的不对称的原因中观察到的结果,更大的噪声频谱的地区运输是由电子,即。,运营商与更高的流动性。我们还可以观察到不对称在砷化镓,的电子和空穴迁移率的区别比较大。由于流动性差,谱不消失在中性点( n − p = 0 ),但在 μ p P − μ n NgydF4y2Ba = 0 。此外,关于石墨烯(,没有障碍,这消失点大幅减少频谱对hole-dominated和electron-dominated传导区域),在这里,由于频谱不对称,最小值点突出的要少得多。的确,特别是在砷化镓的情况下,从hole-dominated地区几乎无法分辨,频谱已经很低。

因此,当潜在障碍的影响,介绍了通过在高斯平均能量分布标准差 σ 根据方程( 12),光谱的局部最小值完全消失和频谱展览“Λ”形状,最大electron-dominated地区集中,流动性比较大。的行为 年代 我 / 我 2 一个 f γ / η (即。,the integral appearing in Equation ( 12))的函数 n − p (由方程( 14在数据报告) 12和 13在300 K,硅和砷化镓,分别为四个不同的值 σ :10、20、30和40兆电子伏。行为描述观察到的半导体,但更明显的砷化镓,光谱中最小的已经很难识别没有障碍。

的事实,在一个真正的三维材料是困难的,如果不是不可能的话)调节费米能级的位置统一在整个体积,进一步阻止电子和空穴电流波动的完美平衡整体设备,从而使它不可能实验观察闪烁噪声取消类似于石墨烯的描述。

利用一个模型基于电荷中立和质量作用定律,石墨烯的闪烁噪声行为相比,更为常见的半导体,如硅和砷化镓。我们得出结论,一个最小的闪烁噪声功率谱密度只能观察到电荷中性点材料中电子和空穴有高度对称的交通行为,特别是有大约相同的流动(石墨烯),且仅当潜在障碍低。当这些条件得到满足,相反的变化引起的电子和空穴浓度捕获现象相互地取消,导致目前没有波动。相反,在电子/孔不对称(普通半导体的情况下)或重要程度的潜在障碍,这样至少消失了。

我们相信,这一分析,阐明机制导致或防止减少,在适当的偏置条件,内在的设备闪烁噪声,可以用于设计低噪声设备,特别是高灵敏度传感器。