JPS 概率论与数理统计》杂志上 1687 - 9538 1687 - 952 x Hindawi 10.1155 / 2017/6303462 6303462 研究文章 修改削减林德利分布 http://orcid.org/0000 - 0002 - 2921 - 3056 雷耶斯 吉米 1 http://orcid.org/0000 - 0001 - 6643 - 6972 贝 Osvaldo 2 http://orcid.org/0000 - 0003 - 3726 - 5507 戈麦斯 赫克托耳W。 1 Rodriguez-Dagnino 拉蒙·M。 1 Departamento de Matematicas<一个ddr- - - - - -line> Facultad de Ciencias Basicas<一个ddr- - - - - -line> Antofagasta大学<一个ddr- - - - - -line> 安托法加斯塔公司 智利 uantof.cl 2 Departamento de Ciencias Matematicas y运动<一个ddr- - - - - -line> Facultad de Ingenieria<一个ddr- - - - - -line> 天主教大学德Temuco<一个ddr- - - - - -line> Temuco 智利 uctemuco.cl 2017年 19 02 2017年 2017年 27 09年 2016年 17 01 2017年 29日 01 2017年 19 02 2017年 2017年 版权©2017年吉米·雷耶斯et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

在本文中,我们引入一个新的分布,叫做修改削减林德利分布,它可以被看作是一个扩展的林德利分布。我们表明,这种新的分布提供了更大的灵活性比林德利峰度和偏态分布。我们时刻和一些基本性质的新分布。矩估计和极大似然估计用数值计算程序。我们进行仿真研究的最大似然估计。该模型表明性能良好的与其他相比更少的柔性模型。

SEMILLERO ua - 2016 1。介绍

林德利分布,林德利(推出了 1和的密度函数) (1) f X x = λ 2 1 + λ 1 + x e - - - - - - λ x , λ > 0 , x > 0 。 我们表示通过写作<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ l ( λ ) ,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> λ 是形状参数。相应的累积分布函数(c.d.f) (2) F X x = 1 - - - - - - 1 + λ + λ x 1 + λ e - - - - - - λ x 。 林德利的属性分布详细研究了由Ghitany et al。 2]。Jodra [ 3)使用兰伯特<我nl我ne- - - - - -formula> W 随机变量函数的生成与林德利或Poisson-Lindley分布。Ghitany et al。 4]提出电力林德利(PL)分布产生一个随机变量<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ l ( λ ) 的权力<我nl我ne- - - - - -formula> 1 / α ;也就是说,如果<我nl我ne- - - - - -formula> Y = X 1 / α 然后<我nl我ne- - - - - -formula> Y PL的分布参数吗<我nl我ne- - - - - -formula> α 和<我nl我ne- - - - - -formula> λ ,与密度函数 (3) f Y y = α λ 2 1 + λ 1 + y α e - - - - - - λ y α , α > 0 , λ > 0 , y > 0 。 我们表示通过写作<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ PL ( α , λ ) 。half-normal分布适用于拟合积极的数据。我们说一个随机变量<我nl我ne- - - - - -formula> X 遵循half-normal与尺度参数分布<我nl我ne- - - - - -formula> σ 如果是由它的密度函数 (4) f X x = 2 σ ϕ x σ , σ > 0 , x > 0 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> ϕ ( · ) 是标准正态分布的密度函数;我们表示通过写作<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ 接下来的 ( σ ) 。

张艺泷et al。 5]介绍一个新的分布适用于拟合积极数据叫做削减half-normal分布,这是一种分布与right-tails比HN重分布。它获得一个特定的情况下当形状参数<我nl我ne- - - - - -formula> 问 趋向于无穷。我们说一个随机变量<我nl我ne- - - - - -formula> X 遵循一个削减half-normal (SHN)与尺度参数分布<我nl我ne- - - - - -formula> σ 和峰态参数<我nl我ne- - - - - -formula> 问 如果是由它的密度函数 (5) f X x = 2 问 σ ∫ 0 1 u 问 ϕ x u σ d u , σ > 0 , 问 > 0 , x > 0 。 我们表示通过写作<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ SHN ( σ , 问 ) 。

研究对称分布着沉重的尾巴,雷耶斯et al。 6)引入一个修改的类的标准削减发行版,这将被修改的削减(MS)分布和描述如下:我们会说<我nl我ne- - - - - -formula> X 有女士分布参数<我nl我ne- - - - - -formula> 问 > 0 如果它可以表示为 (6) X = Z U 1 / 问 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> Z ~ N ( 0 1 ) 和<我nl我ne- - - - - -formula> U ~ 经验值 ( 2 ) 为<我nl我ne- - - - - -formula> 问 > 0 。在这里<我nl我ne- - - - - -formula> Z 和<我nl我ne- - - - - -formula> U 是独立的随机变量,用吗<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ 女士 ( 0 1 , 问 ) ;的密度函数<我nl我ne- - - - - -formula> X 比标准的重尾削减分销和结果具有较高的峰态。当<我nl我ne- - - - - -formula> 问 → ∞ 我们获得标准正态分布。密度函数的变量<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ 女士 ( 0 1 , 问 ) 是由 (7) f X x = 2 2 π ∫ 0 ∞ v 1 / 问 e - - - - - - 1 / 2 x 2 v 2 / 问 - - - - - - 2 v d v , 问 > 0 , x ∈ R , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> 问 峰度参数;看到雷耶斯et al。 6为更多的细节。使用相同的想法,雷耶斯et al。 7]扩展skew-normal模型和雷耶斯et al。 8]扩展Birnbaum-Saunders模型。Gui ( 9]介绍了削减林德利(SL)降水分布和它适用于数据和血浆铁蛋白浓度。Gui et al。 10]介绍Lindley-Poisson (LP)分布和应用生命周期数据。

本文的重点是引入一个新的分布叫做修改削减林德利(韩剧)分布。因为它的混合方法,新建分布会比其母林德利重尾分布,因此将更适合建模积极的数据集可能有沉重的尾巴和/或离群值。这个新分布非常适合造型积极数据具有非常典型的观测(异常值);火星科学实验室将在应用程序中我们可以看到,火星科学实验室分布更好的模型数据与非典型缓解癌症患者的生存时间。

本文组织如下。部分 2致力于开发实验室分布及其使用随机表示密度函数推导和推导的时刻,不对称和峰度系数。节 3火星科学实验室,讨论了推理分配使用矩量法估计和最大似然估计。我们还展示了一个说明性的例子与真实数据在生存时间。这个例子表明,拟议中的分布是一个非常合适的模型数据集。

 2。火星科学实验室分布

在本节中,我们考虑一个随机表示,密度函数(和一些图形表示),削减林德利分布和属性的修改。

2.1。随机表示

新分布的随机表示给定 (8) Y = X U 1 / 问 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ l ( λ ) 和<我nl我ne- - - - - -formula> U ~ 经验值 ( 2 ) 是独立的随机变量<我nl我ne- - - - - -formula> λ > 0 ,<我nl我ne- - - - - -formula> 问 > 0 。我们叫的分布<我nl我ne- - - - - -formula> Y 韩剧分布,我们使用的符号<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ 火星科学实验室 ( λ , 问 ) 。

 2.2。密度函数

下面的结果表明,火星科学实验室随机变量的密度函数可以使用随机生成表示( 8)。

命题1。

让<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ 米 年代 l ( λ , 问 ) 。的密度函数<我nl我ne- - - - - -formula> Y 是由 (9) f Y y = 2 λ 2 1 + λ ∫ 0 ∞ w 1 / 问 1 + y w 1 / 问 e - - - - - - λ y w 1 / 问 + 2 w d w , y > 0 与<我nl我ne- - - - - -formula> λ > 0 和<我nl我ne- - - - - -formula> 问 > 0 。

 证明。

使用随机代表( 8)和雅可比矩阵变换方法, (10) Y = X U 1 / 问 W = U ⇓ X = Y W 1 / 问 U = W ⇓ J = ∂ X ∂ Y ∂ X ∂ W ∂ U ∂ Y ∂ U ∂ W = w 1 / 问 1 问 y w 1 / 问 - - - - - - 1 0 1 = w 1 / 问 。 因此, (11) f Y , W y , w = J f X , U y w 1 / 问 , w = w 1 / 问 f X y w 1 / 问 f U w = λ 2 1 + λ w 1 / 问 1 + y w 1 / 问 e - - - - - - λ y w 1 / 问 2 e - - - - - - 2 w , y > 0 , w > 0 。 立即被边缘化,结果如下。

下列命题表明韩剧分布结果李从的混合物在尺度参数<我nl我ne- - - - - -formula> w - - - - - - 1 / 问 和形状参数<我nl我ne- - - - - -formula> λ = 2,指数分布参数。

命题2。

让<我nl我ne- - - - - -formula> Y ∣ W = w ~ l w - - - - - - 1 / 问 , λ 和<我nl我ne- - - - - -formula> W ~ E x p ( 2 ) ;然后<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ 米 年代 l ( λ , 问 ) 。

 证明。

我们可以写 (12) f Y y = ∫ 0 ∞ λ 2 1 + λ w - - - - - - 1 / 问 1 + y w - - - - - - 1 / 问 e - - - - - - λ y / w - - - - - - 1 / 问 2 e - - - - - - 2 w d w = 2 λ 2 1 + λ ∫ 0 ∞ w 1 / 问 1 + w 1 / 问 y e - - - - - - λ w 1 / 问 y + 2 w d w 。

在图 1,我们说明了韩剧分布的密度函数的行为。

 2.3。时刻 命题3。

如果<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ 米 年代 l ( λ , 问 ) ,<我nl我ne- - - - - -formula> r th的时刻<我nl我ne- - - - - -formula> Y 是由 (13) μ r = E Y r = r ! λ + r + 1 λ r λ + 1 2 r / 问 Γ 问 - - - - - - r 问 , 问 > r 。

证明。

(随机表示给定的 8),<我nl我ne- - - - - -formula> X ~ l ( λ ) 和<我nl我ne- - - - - -formula> U ~ 经验值 ( 2 ) 是独立的随机变量,我们有吗 (14) E Y r = E X U 1 / 问 r = E X r E U - - - - - - r / 问 , 的期望都是已知的。

 备注4。

在图 1这是观察到当参数<我nl我ne- - - - - -formula> λ 小于1,是单峰分布;参见图 1(一)。

 推论5。

让<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ 米 年代 l ( λ , 问 ) 。然后接下去 (15) μ 1 = E Y = λ + 2 λ λ + 1 2 1 / 问 Γ 问 - - - - - - 1 问 , 问 > 1 , (16) μ 2 = E Y 2 = 2 λ + 3 λ 2 λ + 1 2 2 / 问 Γ 问 - - - - - - 2 问 , 问 > 2 , (17) μ 3 = E Y 3 = 6 λ + 4 λ 3 λ + 1 2 3 / 问 Γ 问 - - - - - - 3 问 , 问 > 3 , (18) μ 4 = E Y 4 = 24 λ + 5 λ 4 λ + 1 2 4 / 问 Γ 问 - - - - - - 4 问 , 问 > 4 。

证明。

这是一个命题的直接结果 3。

 推论6。

让<我nl我ne- - - - - -formula> Y ~ 米 年代 l ( λ , 问 ) 。偏态系数 (19) γ 1 = 6 λ + 4 λ + 1 2 κ 3 - - - - - - 6 λ + 1 λ + 2 λ + 3 κ 1 κ 2 + 2 λ + 2 3 κ 1 3 2 λ + 1 λ + 3 κ 2 - - - - - - λ + 2 2 κ 1 2 3 / 2 , 和峰态系数 (20) γ 2 = 24 λ + 1 3 λ + 5 κ 4 + 12 λ + 1 λ + 2 κ 1 λ + 2 λ + 3 κ 1 κ 2 - - - - - - 2 λ + 4 λ + 1 κ 3 2 λ + 1 λ + 3 κ 2 - - - - - - λ + 2 2 κ 1 2 2 - - - - - - 3 λ + 2 4 κ 1 4 2 λ + 1 λ + 3 κ 2 - - - - - - λ + 2 2 κ 1 2 2 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> κ 我 = Γ 问 - - - - - - 我 / 问 ,<我nl我ne- - - - - -formula> 我 = 1、2 , 3、4 。

 证明。

结果是通过使用下面的偏斜度和峰度系数 (21) γ 1 = E Y - - - - - - E Y 3 V 一个 r Y 3 / 2 = μ 3 - - - - - - 3 μ 2 μ 1 + 2 μ 1 3 μ 2 - - - - - - μ 1 2 3 / 2 , γ 2 = E Y - - - - - - E Y 4 V 一个 r Y 2 = μ 4 - - - - - - 4 μ 1 μ 3 + 6 μ 1 2 μ 2 - - - - - - 3 μ 1 4 μ 2 - - - - - - μ 1 2 2 。

在图 2,我们说明的不对称和峰度的行为与韩剧分布的函数<我nl我ne- - - - - -formula> λ 和<我nl我ne- - - - - -formula> 问 。

 3所示。推理

在本节中,我们研究新模型的参数估计使用最大似然和时刻的方法。

3.1。矩量法估计

让<我nl我ne- - - - - -formula> Y 1 , Y 2 , … , Y n 是一个随机样本<我nl我ne- - - - - -formula> 火星科学实验室 ( λ , 问 ) 分布密度函数由( 9)。然后使用( 15)和( 16)和替换<我nl我ne- - - - - -formula> y ¯ 通过<我nl我ne- - - - - -formula> E ( Y ) 和<我nl我ne- - - - - -formula> y 2 ¯ 通过<我nl我ne- - - - - -formula> E ( Y 2 ) 我们有以下系统: (22) y ¯ = λ + 2 λ λ + 1 2 1 / 问 Γ 问 - - - - - - 1 问 , y 2 ¯ = 2 λ + 3 λ 2 λ + 1 2 2 / 问 Γ 问 - - - - - - 2 问 。 我们使用一个合适的数值方法解决方程系统<我nl我ne- - - - - -formula> λ 和<我nl我ne- - - - - -formula> 问 。因此我们得到的矩估计<我nl我ne- - - - - -formula> θ ^ 米 = ( λ ^ 米 , 问 ^ 米 ) 的<我nl我ne- - - - - -formula> θ = ( λ , 问 ) 。

在下列命题提出了这些估计量的渐近收敛。

8号提案。

让<我nl我ne- - - - - -formula> Y 1 , Y 2 , … , Y n 是一个随机样本<我nl我ne- - - - - -formula> 米 年代 l λ , 问 分布。让<我nl我ne- - - - - -formula> θ = λ , 问 和<我nl我ne- - - - - -formula> k = 1、2 , 3、4 表示<我nl我ne- - - - - -formula> μ k ( θ ) = E Y k 。如果<我nl我ne- - - - - -formula> μ 4 < ∞ 和<我nl我ne- - - - - -formula> θ ^ 米 n 估计相应的时刻,我们有什么 (23) n θ ^ 米 n - - - - - - θ ⟶ D N 2 0 , Γ θ , n ⟶ + ∞ , 在哪里 (24) Γ θ = H - - - - - - 1 θ ∑ H - - - - - - 1 θ T , ∑ = μ 我 + j - - - - - - μ 我 μ j 我 j , H θ = - - - - - - λ 2 + 4 λ + 2 λ 2 λ + 1 2 τ 1 λ + 2 τ 1 λ λ + 1 问 2 ψ 问 - - - - - - 1 问 - - - - - - 日志 ⁡ 2 - - - - - - 4 λ 2 + 20. λ + 12 λ 3 λ + 1 2 τ 2 4 λ + 3 τ 2 λ 2 λ + 1 问 2 ψ 问 - - - - - - 2 问 - - - - - - 日志 ⁡ 2 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> 一个 ( θ ) = ( μ 1 ( θ ) , μ 2 ( θ ) ) ,<我nl我ne- - - - - -formula> H ( θ ) = ∂ 一个 ( θ ) / ∂ ( θ ) ,<我nl我ne- - - - - -formula> ψ ( · ) 函数双吗<我nl我ne- - - - - -formula> τ 我 = 2 我 / 问 κ 我 ,<我nl我ne- - - - - -formula> 我 = 1、2 。

 证明。

它遵循直接使用标准的大样本理论矩估计的结果,例如,讨论在森和歌手 11]。

 3.2。最大似然估计

现在我们将讨论最大似然估计。给定一个随机样本<我nl我ne- - - - - -formula> Y 1 , … , Y n 的分布<我nl我ne- - - - - -formula> 火星科学实验室 ( λ , 问 ) 对数似然函数可以写成 (25) l λ , 问 = n 日志 ⁡ 2 + 2 n 日志 ⁡ λ - - - - - - n 日志 ⁡ λ + 1 + ∑ 我 = 1 n 日志 ⁡ G y 我 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> G ( y 我 ) = ∫ 0 ∞ u 1 / 问 ( 1 + y 我 u 1 / 问 ) e - - - - - - ( λ y 我 u 1 / 问 + 2 u ) d u 因此是由最大似然方程 (26) ∑ 我 = 1 n G 1 y 我 G y 我 = - - - - - - 2 n λ + n λ + 1 , ∑ 我 = 1 n G 2 y 我 G y 我 = 0 , 的表达式<我nl我ne- - - - - -formula> G 1 ( y 我 ) 和<我nl我ne- - - - - -formula> G 2 ( y 我 ) 应该给 (27) G 1 y 我 = ∂ ∂ λ G y 我 = - - - - - - ∫ 0 ∞ u 1 / 问 w 我 1 + w 我 e - - - - - - λ w 我 + 2 u d u , G 2 y 我 = ∂ ∂ 问 G y 我 = 1 问 2 ∫ 0 ∞ u 1 / 问 日志 ⁡ u e - - - - - - λ w 我 + 2 u λ - - - - - - 2 w 我 + λ w 我 2 - - - - - - 1 d u , 在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> w 我 = y 我 u 1 / 问 。

解决方案( 26)可以获得使用数值过程如牛顿迭代过程。

3.2.1之上。模拟研究

通过使用表示被Ghitany et al。 2生成随机数的一个随机变量<我nl我ne- - - - - -formula> l 和表示的( 8),它可以生成的随机数<我nl我ne- - - - - -formula> 火星科学实验室 ( λ , 问 ) 分布,导致以下算法:

模拟<我nl我ne- - - - - -formula> 年代 ~ 经验值 ( λ ) 。

 3.3。一个说明性的例子和一个真实的数据集

我们考虑一个数据集代表缓解时间(几个月)随机抽取的128名膀胱癌患者的报道在李和王 12]。数据如下:0.08,2.09,3.48,4.87,6.94,8.66,13.11,23.63,0.20,2.23,3.52,4.98,6.97,9.02,13.29,0.40,2.26,3.57,5.06,7.09,9.22,13.80,25.74,0.50,2.46,3.64,5.09,7.26,9.47,14.24,25.82,0.51,2.54,3.70,5.17,7.28,9.74,14.76,26.31,0.81,2.62,3.82,5.32,7.32,10.06,14.77,32.15,2.64,3.88,5.32,7.39,10.34,14.83,34.26,0.90,2.69,4.18,5.34,7.59,10.66,15.96,36.66,1.05,2.69,4.23,5.41,7.62,10.75,16.62,43.01,1.19,2.75,4.26,5.41,7.63,17.12,46.12,1.26,2.83,4.33,5.49,7.66,11.25,17.14,79.05,1.35,2.87,5.62,7.87,11.64,17.36,1.40,3.02,4.34,5.71,7.93,11.79,18.10,1.46,4.40,5.85,8.26,11.98,19.13,1.76,3.25,4.50,6.25,8.37,12.02,2.02,3.31,4.51,6.54,8.53,12.03,20.28,2.02,3.36,6.76,12.07,21.73,2.07,3.36,6.93,8.65,12.63,22.69。这个数据集提出基本的描述性统计和火星科学实验室的最大似然参数估计模型;见表 2和 3。我们比较这些结果与SL, SHN, LP和PL模型,表明相应的标准误差在括号中。

使用的结果部分 3.1矩估计,计算导致以下值(标准误差在圆括号中):<我nl我ne- - - - - -formula> λ ^ 米 = 0.446 (0.063)<我nl我ne- - - - - -formula> 问 ^ 米 = 2.024 (0.007);这些都是作为初始估计最大似然方法。

我们计算了Akaike信息准则AIC(见Akaike [ 13])和贝叶斯信息准则BIC(见施瓦兹( 14])。火星科学实验室将这些标准显示,模型提供了最适合的数据集进行了研究。

图的左边 3显示这些数据的箱线图。QQ的图块为缓解时报数据与实验室模型计算拟合参数的最大似然估计;这是显示在图 3与SL相比,SHN、LP和PL模式。图 4显示的经验c.d.f. c.d.f.火星科学实验室估计,SL, SHN, LP和PL;这也显示良好的协议与韩剧模型缓解次数据集。

 4所示。讨论

我们引入一个新的和积极支持基于分布<我nl我ne- - - - - -formula> l 分布,称为修改削减林德利分布。它生成两个独立随机变量的系数,一个是林德利分布和指数分布的其他权力。林德利分布是一个特例。时刻估计计算可用于初始化使用牛顿迭代最大似然估计。通过计算我们说明的不对称和峰度系数与更高的峰度韩剧能够容纳数据。我们给一个说明一个真实的数据集,我们表明,火星科学实验室分布数据提供了一个更好的选择比SL, SHN, LP和PL分布。

 信息披露

初步结果这手稿被描述成一个抽象的会议论文集”第二十五COMCA Congreso de Matematica Capricornio”2016。

 相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 确认

j·雷耶斯和h·w·戈麦斯的研究是由SEMILLERO ua - 2016(智利)。