raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

JPS

概率论与数理统计》杂志上

1687 - 9538<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 952 x

Hindawi出版公司

10.1155 / 2016/6212567

6212567

研究文章

离散分布的近似精度

http://orcid.org/0000 - 0002 - 9328 - 7471 森

Tamas F。 1

Rodriguez-Dagnino

拉蒙·M。

概率论和统计数据

罗兰大学

Pazmany p s。1 / C

1117年布达佩斯匈牙利 elte.hu

2016年

8<米onth>11 2016年

2016年 28<米onth>07年年 2016年 13<米onth>10 2016年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

这篇文章是一个贡献两个离散概率分布的估计偏差问题的上确界之间的距离间隔生成功能<我nl我ne- - - - - -formula> (<米米l:米n fontstyle="italic"> 0 1<米米l:米o stretchy="false"> ] 。可以测量偏差的区别<我nl我ne- - - - - -formula> k 条款或全变差的距离。我们的新边界有更好的数量级比证明之前,他们甚至在某些情况下。

OTKA K 108615

1。介绍</t我tle>处理随机组合结构需要估计的偏差两个离散概率分布之间的最大距离生成功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i></mml:mi> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。这是通常情况下在几个不一定独立随机事件,需要估计数量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的发生。在许多流行的泊松近似方法,筛方法与广义Bonferroni界限,比如图筛(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B7"> 1</xgydF4y2B一个ref>),手。他们不仅提供估计没有一个事件发生的概率,而且对的生成函数之间的区别<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和相应的泊松分布区间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i></mml:mi> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>(见[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 2</xgydF4y2B一个ref>更多细节)。这就提出了下面的问题。gydF4y2B一个让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>与生成离散概率分布函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,分别。鉴于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,估计距离<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>th条款,或总变异之间的距离<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>定义为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。gydF4y2B一个困难在于约束生成函数的区别是只有在真正的时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,而不是在整个复杂的单位圆盘,这将使其可能的应用特征函数的标准方法。gydF4y2B一个一些积极的和消极的结果实现了在过去三十年里,开始与(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 3</xgydF4y2B一个ref>];参见<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2B一个ref>。上下估计越来越近了,但最终答案仍然领先。现在注意的目的是提供新的边界,有更好的数量级比先前证明。他们甚至在某些情况下。gydF4y2Ba本文组织如下。节<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2B一个ref>我们引入必要的概念和符号和引用一些早期的结果。部分<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2B一个ref>致力于的情况吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>估计的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,而在部分<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xgydF4y2B一个ref>总变异距离是治疗。</年代ec><年代ec id="sec2"> <title>2。预赛</t我tle>两个概率生成函数的差异属于下面的类。让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示所有功能的集合<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i></mml:mi> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>另一方面,每一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>可以获得不同的两个概率生成函数,即<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以用以下方式创建。让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米o> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>(注意,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>),这样<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。然后设置<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>定义<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 在[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 2</xgydF4y2B一个ref>]表明,对于每一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>拥有合适的正的常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是足够小。事实上,每个上估计是有效的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,但它就变得微不足道了<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 32</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过初等微积分。尽管在上界和下界的乘数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是慢变<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,他们不是相同的数量级。gydF4y2B一个很容易看到<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>无法估计的重要方式,因为任意的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>存在一个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,这样<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,最大。事实上,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i></mml:mi> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,因为<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的选择<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,只要<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>估计显然成立。因此<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。gydF4y2B一个然而,如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,的一个分布,说<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,是固定的(如在泊松近似的情况下),然后可行函数的类更小;这样的界限<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>可能会降低,甚至总变异距离可以估计不同寻常。可以找到以下结果(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 2</xgydF4y2B一个ref>]。gydF4y2B一个让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个固定的离散概率分布等<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>对于每一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个正整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个足够小的正的常数。然后为每一个足够小的积极<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>存在一个离散型概率分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这样<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> C</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 如果尾巴<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>比指数轻,较低的估计减少。gydF4y2B一个而不是(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 8</xgydF4y2B一个ref>),假设<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是积极的和有限的,在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个积极的、连续的和增加功能,定期不同在无穷远处,然后呢<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个正整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个足够小的正的常数。然后为每一个足够小的积极<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>存在一个离散型概率分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这样<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> C</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 特别是,当<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>泊松分布的参数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>此前,为每一个足够小正的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>存在一个离散型概率分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这样<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>(常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不依赖于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。的参数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>只出现在边界隐含在“足够小。”)gydF4y2B一个让我们转向全变差的情况下。在[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 2</xgydF4y2B一个ref>)每一个固定<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个递增函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> ψ</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i></mml:mi> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>以这样的方式构造了吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ψ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> ψ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>对于任意的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然而,除了尾巴的情况<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>非常轻,功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被证明是慢变<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,就是有点总比没有好。例如,对于Poissonian<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,取得了以下的不平等:<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不同的方式<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。gydF4y2B一个自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米o> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,每个低估计获得固定的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>要做全变差。然而,如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不降低速度比指数,即条件(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 8</xgydF4y2B一个ref>)是满足,有一个较低的估计形式<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>用一个指数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>根据<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2B一个的尾巴<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>比指数轻,即条件(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 10</xgydF4y2B一个ref>),然后为每一个足够小的积极<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>以下低估计是有效的。<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与一个常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>根据<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。特别的情况<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是泊松,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1.76</米米l:米n><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是证明。</年代ec><年代ec id="sec3"> <title>3所示。估计不同的< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = "八" > < mml: mrow > < mml: mi > k < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >条款</t我tle>以下重要的结果可以追溯到马尔柯夫,1892<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B8"> 4</xgydF4y2B一个ref>),处理的极值性质的切比雪夫多项式的时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>;看到第二章的<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B4"> 5</xgydF4y2B一个ref>]。证明可以在找到<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B2"> 6</xgydF4y2B一个ref>]或[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B3"> 7</xgydF4y2B一个ref>]。<年代t一个te米ent我d="thm3.1"> <title>定理1。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个多项式的程度小于或等于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 使用这个结果一个上界可以被证明是没有任何限制<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>顺序相同的,左边的下界(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 5</xgydF4y2B一个ref>)<年代t一个te米ent我d="thm3.2"> <title>定理2。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle>第一个假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> ⌊</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ⌋</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 在这里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;因此小于右侧<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。由定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>然后,我们有<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>声称。gydF4y2B一个如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,然后是上界,大于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是微不足道的。事实上,在间隔,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>减少,因此上界达到其最小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。那么它的值是<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i mathvariant="normal"> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这等于右侧<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。走远<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>来<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,右边乘以<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 16</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们使用这一事实在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>是增加的;因此它不小于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2B一个最后,它很容易看到<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是减少<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,第二个不平等。</年代t一个te米ent>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 8</xgydF4y2B一个ref>),也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不能减少速度比指数,那么(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 9</xgydF4y2B一个ref>)意味着估计定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>锋利的数量级。<年代t一个te米ent我d="thm3.3"> <title>定理3。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>离散概率分布。假设<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个积极的、连续的和严格递减函数趋于零。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对于每一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</年代t一个te米ent><年代tatement id="proof2"> <title>证明。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> ⌈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> ⌉</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,并介绍<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。让我们近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>拉格朗日插值多项式<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在均匀网格<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。也就是说,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∏</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>0的间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;因此,存在一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>这样<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> !</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> !</米米l:米o><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在间隔增加<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ;</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,它等于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们有,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> !</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ;</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。此外,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;因此<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从所有这些,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。应用定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>在定理的证明一样<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>我们得到<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。调查的比例连续条件可以很容易地看到<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n><米米l:米o> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="rem3.1"> <title>备注4。</t我tle>让我们写<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>以指数形式:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是负的,连续的,并越来越多地到正无穷。然后<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。估计的定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>优于定理呢<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>只有分配的数量级<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有尾巴比指数轻;也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</年代t一个te米ent><年代tatement id="rem3.2"> <title>备注5。</t我tle>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是有界的远离零和无穷,然后上估计定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>和较低的估计(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 11</xgydF4y2B一个ref>)是适用的和他们是相同的数量级。经常使用的事实,不同的功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的订单<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>我们有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ~</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米i> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</年代t一个te米ent><年代tatement id="rem3.3"> <title>注6。</t我tle>文献[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B2"> 6</xgydF4y2B一个ref>]证明了类似的范围不同的常数,但相同的数量级。然而,他们强加条件类似于(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 10</xgydF4y2B一个ref>)序列<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,而不是<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>应用概率,那么有用。此外,估计的定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>,这是真正的没有任何限制系数,他们需要序列的指数衰减<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。</年代t一个te米ent><年代tatement id="rem3.4"> <title>注7。</t我tle>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是线性的,也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,它拥有足够大<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>),的上界定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>更适合<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>比定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>。(<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>绑定<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>显然是最好的。)</年代t一个te米ent>特别是,我们<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的泊松分布的意思<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,对于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> λ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>(见定理所以在[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B1"> 8</xgydF4y2B一个ref>]);因此<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> O</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ~</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。此外,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>最终。让我们把这个回定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>下面的估计。<年代t一个te米ent我d="coro3.1"> <title>推论8。</t我tle>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是泊松,那么,统一在吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,一个<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对于每一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是足够小。</年代t一个te米ent>注意,这个上界的顺序是一样的,下界(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq6"> 12</xgydF4y2B一个ref>)。</年代ec><年代ec id="sec4"> <title>4所示。估计的总变异距离</t我tle>再次让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>离散概率分布。正如我们所看到的,如果不了解<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,它是不可能给一个非凡的上界的总变异的距离<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq37"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然而,当<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是固定的,情况是完全不同的。<年代t一个te米ent我d="thm4.1"> <title>定理9。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>满足条件(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 23</xgydF4y2B一个ref>)。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq38"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> κ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3.861</米米l:米n><米米l:米o> ⋯</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。</年代t一个te米ent>倾向于右侧<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>只有在尾巴的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不是太重;也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> κ</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。gydF4y2B一个证明的方法将被应用在续集几次不同的参数。因此我们制定它的本质在一个单独的引理大师不平等。<年代t一个te米ent我d="lem4.1"> <title>引理10。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数;<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> B</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。假设<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> B</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> C</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq40"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> ⌈</米米l:米o><米米l:米i> C</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ⌉</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米i> C</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。很明显,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq41"> <mml:mtd> <mml:mtext> (41)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>假设我们有<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq42"> <mml:mtd> <mml:mtext> (42)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> B</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq43"> <mml:mtd> <mml:mtext> (43)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> B</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proofthm1"> <title>定理的证明< xref ref-type =“声明”掉= " thm4.1 " > < / xref >。</t我tle>从定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>,让我们运用引理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="lem4.1"> 10</xgydF4y2B一个ref>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mi> B</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。我们得到<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq44"> <mml:mtd> <mml:mtext> (44)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 6</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 特别是,我们<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的泊松分布的意思<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。正如我们所看到的(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 35</xgydF4y2B一个ref>),<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq45"> <mml:mtd> <mml:mtext> (45)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让我们把这个定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm4.1"> 9</xgydF4y2B一个ref>。写作<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在的地方<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在指数我们可以摆脱这个词<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,甚至乘数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>最终被吸收。因此,我们得到下面的估计。<年代t一个te米ent我d="coro1"> <title>推论11。</t我tle>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是泊松;然后,统一在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,一个<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq46"> <mml:mtd> <mml:mtext> (46)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是足够小。</年代t一个te米ent>这已经是类似于下界(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 16</xgydF4y2B一个ref>),是比(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 13</xgydF4y2B一个ref>)。gydF4y2B一个如果尾巴<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是subexponential,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,那么估计定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>是没有用的:它趋于无穷时<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然而,选择适当的参数主不平等,可以获得一个合理的上限:不锋利,但至少不是那么简单。<年代t一个te米ent我d="thm4.2"> <title>定理12。</t我tle>假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq47"> <mml:mtd> <mml:mtext> (47)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> u</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> p</米米l:米我><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米under> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ⟶</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle>这一次我们使用定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>。让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mi> B</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后引理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="lem4.1"> 10</xgydF4y2B一个ref>给了,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq48"> <mml:mtd> <mml:mtext> (48)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2.331</米米l:米n><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米i> e</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在右边第一项可以估计一个积极的力量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,而第二项减少低于任何积极的力量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;因此,最终会占据主导地位。</年代t一个te米ent><年代tatement id="coro2"> <title>推论13。</t我tle>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>th的时刻<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是有限的,那么<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>;因此<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq49"> <mml:mtd> <mml:mtext> (49)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> u</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> p</米米l:米我><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米under> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> o</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:mo> ⟶</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 最后,让我们处理指数衰减的情况下尾巴。让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后全变差<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以估计一个积极的力量吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在此之前的定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm4.1"> 9</xgydF4y2B一个ref>,但仅限于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> κ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。下面的定理是对所有积极有效<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。<年代t一个te米ent我d="thm4.3"> <title>定理14。</t我tle>假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq50"> <mml:mtd> <mml:mtext> (50)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 不锋利,指数的具体形式持有不感兴趣;真正重要的是,它是积极和容易<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。注意,如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>倾向于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>以指数速度(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 14</xgydF4y2B一个ref>)提供了一个下界也积极的力量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(从定理2.4的<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 2</xgydF4y2B一个ref>),<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可用于指数)。<年代t一个te米ent我d="proof5"> <title>证明。</t我tle>首先,假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1.9</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。基于定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>,应用引理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="lem4.1"> 10</xgydF4y2B一个ref>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mi> B</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>:<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq51"> <mml:mtd> <mml:mtext> (51)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让我们处理右边第一项<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq52"> <mml:mtd> <mml:mtext> (52)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 4.45</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,接下去<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq53"> <mml:mtd> <mml:mtext> (53)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 其次,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1.9</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。现在我们应用定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>。请注意,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,并设置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mi> B</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。然后我们获得<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq54"> <mml:mtd> <mml:mtext> (54)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 6</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>同样,第一项可以通过第二个,估计因为<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq55"> <mml:mtd> <mml:mtext> (55)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> κ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mn mathvariant="normal"> 7</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> κ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3.862</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 4.685</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。因此,它遵循<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq56"> <mml:mtd> <mml:mtext> (56)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n><米米l:米i> Δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1.9</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,如需要。</年代t一个te米ent></sec> <back> <sec> <title>相互竞争的利益</t我tle>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</年代ec><一个ck> <title>确认</t我tle>本研究支持了匈牙利OTKA科研基金,批准号108615 K。定理的证明<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm3.3"> 3</xgydF4y2B一个ref>是由于伽柏Halasz,作者感谢为他宝贵的帮助。</一个ck><ref-list> <ref id="B7" content-type="incollection"> <label>1</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Renyi</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <article-title> 定理的证明概率理论的一般方法和它的一些应用</一个rticle-title> <source> <italic> 选择a Renyi的论文</我t一个l我c><ye一个r> 1976年</ye一个r> <volume> 2</volu米e><publ我年代her-loc> 匈牙利布达佩斯</publ我年代her-loc> <publisher-name> Akademiai Kiado</publ我年代her-name> <fpage> 581年</fp一个ge><lp一个ge>602年年</lp一个ge></ele米ent- - - - - -c我tation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>2</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 森</年代urname> <given-names> t F。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <article-title> 偏差离散distributions-positive和消极的结果</一个rticle-title> <source> <italic> 统计与概率的信</我t一个l我c><ye一个r> 2009年</ye一个r> <volume> 79年</volu米e><我年代年代ue> 8</我年代年代ue><fp一个ge>1089年年</fp一个ge><lp一个ge>1096年年</lp一个ge><pub- - - - - -我dpub-id-type="doi"> 10.1016 / j.spl.2008.12.015</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2510773</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 61749090156</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>3</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 森</年代urname> <given-names> t F。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <article-title> Bonferroni离散分布的不平等和偏差</一个rticle-title> <source> <italic> 《应用概率</我t一个l我c><ye一个r> 1996年</ye一个r> <volume> 33</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge>115年年</fp一个ge><lp一个ge>121年年</lp一个ge><pub- - - - - -我dpub-id-type="doi"> 10.1017 / s0021900200103766</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1371958</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0030559377</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>4</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马尔可夫链</年代urname> <given-names> W。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> <name> <surname> Grossmann</年代urname> <given-names> J。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <article-title> 超级多项式,死在einem gegebenen从零abweichen moglichst wenig冯</一个rticle-title> <source> <italic> Mathematische年鉴</我t一个l我c><ye一个r> 1916年</ye一个r> <volume> 77年</volu米e><我年代年代ue> 2</我年代年代ue><fp一个ge>213年年</fp一个ge><lp一个ge>258年年</lp一个ge><pub- - - - - -我dpub-id-type="doi"> 10.1007 / bf01456902</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1511855</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 34250947533</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="book"> <label>5</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Borwein</年代urname> <given-names> P。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> <name> <surname> Erdelyi</年代urname> <given-names> T。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <source> <italic> 多项式与多项式不等式</我t一个l我c><ye一个r> 1995年</ye一个r> <volume> 161年</volu米e><publ我年代her-loc> 纽约,纽约,美国</publ我年代her-loc> <publisher-name> 施普林格</publ我年代her-name> <series> 研究生数学教材</年代eries> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-1-4612-0793-1</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1367960</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>6</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Antal</年代urname> <given-names> l</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> <name> <surname> 森</年代urname> <given-names> t F。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <article-title> 幂级数的系数可以多大?</一个rticle-title> <source> <italic> 记录数学Scientiarum Budapestinensis de罗兰多·罗兰Nominatae。切面Computatorica</我t一个l我c><ye一个r> 2011年</ye一个r> <volume> 34</volu米e><fp一个ge> 25</fp一个ge><lp一个ge>32</lp一个ge><pub- - - - - -我dpub-id-type="other"> MR2891054</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>7</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Berenhaut</年代urname> <given-names> k . S。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> <name> <surname> 巴克斯利</年代urname> <given-names> j . V。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> <name> <surname> Lyday</年代urname> <given-names> r·G。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <article-title> 偏差的离散分布和森的问题</一个rticle-title> <source> <italic> 统计与概率的信</我t一个l我c><ye一个r> 2011年</ye一个r> <volume> 81年</volu米e><我年代年代ue> 12</我年代年代ue><fp一个ge>1940年年</fp一个ge><lp一个ge>1944年年</lp一个ge><pub- - - - - -我dpub-id-type="doi"> 10.1016 / j.spl.2011.06.019</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2845911</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 80052526881</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="book"> <label>8</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿龙</年代urname> <given-names> N。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> <name> <surname> 斯宾塞</年代urname> <given-names> j . H。</g我ven- - - - - -n一个米e年代></n一个米e> </person-group> <source> <italic> 概率性方法</我t一个l我c><ye一个r> 1989年</ye一个r> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publ我年代her-loc> <publisher-name> 约翰威利& Sons</publ我年代her-name> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>