1。介绍
马尔可夫过程的遍历理论近年来获得了相当可观的注意。与我们关注subgeometric遍历性,松散来说,是一种收敛速度比普通的遍历性但低于几何遍历性,更需要研究尤其是对连续马尔可夫过程(
1]。正是因为这一原因,本研究开发的兴趣。
MeyngydF4y2Ba和Tweedie
2]首创的研究依赖漂移<我nl我ne-formula>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
不可约马尔可夫过程。然后康纳堡(
3)发现,依赖Foster-Lyapunov标准不仅可以使用确定的各态历经性质马尔可夫过程<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
但也推断出大范围收敛率<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
。这项研究集中在过程<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
子样品在某个确定的时间。在[
3]这项研究的结果被用于控制链的分类。遍历性依赖上下文中的漂移条件确定的时间指数研究了许多作者,在他们(
4,
5]。Yuksel和Meyn
4”他们的研究结果应用于随机稳定在一个擦除通道。“Zurkowski的动机的
5)研究其可能的应用网络控制和事件触发控制系统。虽然我们不能忽视我们的研究等领域的实际应用随机网络的稳定性,呈现这样的应用程序超出了我们的工作范围。
gydF4y2B一个康纳和堡(
3]和Yuksel Meyn [
4]研究了遍历性与漂移条件形式<我nl我ne-formula>
P米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
β米米l:米我><米米l:mi>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
对于一些确定性的函数<我nl我ne-formula>
n米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和一个常数<我nl我ne-formula>
β米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
(米米l:米o>
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
。根据定理2.1 (2)(
6一个确定性的函数序列<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
存在,<我nl我ne-formula>
V米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,满足Foster-Lyapunov漂移条件:
(1)米米l:米text>
P米米l:米我><米米l:msub>
V米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:mi>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
,米米l:米o>
一个娇小的组<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
B米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和一个常数<我nl我ne-formula>
b米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
这样<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
是有界的<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
。
gydF4y2B一个事实证明,这不仅对每个Foster-Lyapunov条件适用<我nl我ne-formula>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
也为一个序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
离散时间马尔可夫链<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(
5]。结果Zurkowski [
5严重依赖康纳的工作和堡(
3],Meyn和Tweedie [
7],和Tuominen Tweedie [
6]。
gydF4y2B一个本研究遵循的工作依赖政府先前的研究调查时间随机漂移条件结果subgeometric遍历性中国十冶公司的一个简单的,读者友好的方式。在前面的作者康纳和堡(
3]研究依赖几何李雅普诺夫漂移条件一般马尔可夫链子样品在某一确定的时间。随机时间依赖漂移研究然后由Yuksel Meyn [
4]和Zurkowski [
5一般离散马尔可夫链和链,分别。工作在这个研究利用上述研究的结果与关注subgeometric可数状态空间的遍历性<我nl我ne-formula>
问米米l:米我>米米l:mrow>
流程。
gydF4y2B一个本文组织如下。节
2,我们有预赛部分介绍基本的符号,定义和定理。主要结果是利用部分
3这主要是关心subgeometric遍历性率<我nl我ne-formula>
r米米l:米我>米米l:mrow>
,在<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
规范。部分
4本研究的结论。
年代ec>
2。预赛
让<我nl我ne-formula>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
=米米l:米o>
{米米l:米o>
0 1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
}米米l:米o>
,让<我nl我ne-formula>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
=米米l:米o>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
。我们让<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
表示连续时间马尔可夫链(中国十冶公司)可数状态空间<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
B米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
)米米l:米o>
。连续时间马尔可夫过程的转换函数是用<我nl我ne-formula>
P米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
=米米l:米o>
P米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
j米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
,这里以后<我nl我ne-formula>
1米米l:米n>米米l:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
指标集的函数吗<我nl我ne-formula>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
P米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
E米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
分别表示连锁条件下的概率和期望<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
我米米l:米我>米米l:math>
。
<年代ec id="sec2.1">
2.1。第一次打次
给定一个子集<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
我们让
(2)米米l:米text>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
正米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
{米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
δ米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
是第一个时间<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
推迟了一个常数<我nl我ne-formula>
δ米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
。在当<我nl我ne-formula>
δ米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
我们有<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
。我们也有
(3)米米l:米text>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
=米米l:米o>
正米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
{米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
J米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
:米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
作为第一个打时间的设置<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
在第一跳<我nl我ne-formula>
J米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
的过程。我们也注意到,<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
=米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
如果<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
∉米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:math>
。如果<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
是一个单体组成的国家吗<我nl我ne-formula>
我米米l:米我>米米l:mrow>
,那么我们写<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
为<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
等同于<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
为<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
。
年代ec>
2.2。< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M49 " > < mml: mrow > < mml: mi mathvariant = "脚本" > l < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >遍历性
为<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:math>
,这样<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mtext>
th米米l:米text>
时刻用<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
l米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
和<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
l米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
。通过定义马尔可夫过程<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
据说是<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
遍历(或遍历学位<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
)如果<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
l米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
对于一些(然后)有限的非空的<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
。在遍历度,更多的研究<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
遍历性相关话题,感兴趣的读者可以参考毛(
8)和引用。
年代ec>
2.3。几何遍历性
根据(
3),<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
据说如果存在一个函数几何遍历性<我nl我ne-formula>
V米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和常量<我nl我ne-formula>
γ米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
(米米l:米o>
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
R米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
这样,对于任何<我nl我ne-formula>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
∥米米l:米o>
P米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
·米米l:米o>
)米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
π米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
·米米l:米o>
)米米l:米o>
∥米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
R米米l:米我><米米l:mi>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
,相当于一个规模函数的存在<我nl我ne-formula>
V米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,一个小<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
和常量<我nl我ne-formula>
λ米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
(米米l:米o>
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
b米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
,这样<我nl我ne-formula>
P米米l:米我><米米l:mi>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mi>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
。
年代ec>
2.4。Subgeometric率函数
让函数<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
,在那里<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
可衡量的增加功能的家庭吗<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
令人满意的<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
日志米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
/米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
↓米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
作为<我nl我ne-formula>
t米米l:米我><米米l:mo>
↑米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
。让<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
表示积极功能的类<我nl我ne-formula>
r米米l:米我>米米l:mrow>
¯米米l:米o>
:米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
这样,对于一些<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
我们有
(4)米米l:米text>
0米米l:米n><米米l:米o>
<米米l:米o>
lim米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:munder>
正米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
¯米米l:米o>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
lim米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:munder>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
¯米米l:米o>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>
然后<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
被称为subgeometric率函数的类(
9]。事实上(
4)意味着函数的等价类的<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
类的功能<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
。类中的函数的例子<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
率<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
=米米l:米o>
经验值米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
(米米l:米o>
年代米米l:米我><米米l:msup>
t米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
/米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
)米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
α米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
年代米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,最近才在文学讨论。不失一般性,我们假设<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
每当<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
。
gydF4y2B一个的属性<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
根据(
4),在这项研究中经常使用
(5)米米l:米text>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
y米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
y米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∀米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
y米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
,米米l:米o>
(6)米米l:米text>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
一个米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
⟶米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
作为米米l:米text>
x米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
为米米l:米text>
每一个米米l:米text>
一个米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
。米米l:米o>
2.5。调制的时刻
充分条件<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
遍历性涉及调制的时刻第一次。subgeometric率函数<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
由(
4),一个函数<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,一个子集<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
和一个常数<我nl我ne-formula>
δ米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,我们定义了调制的时刻<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
通过
(7)米米l:米text>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
,米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>
类似于调制的时刻第一次<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
作为(
7)以上,调制的时刻第一次<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
,即<我nl我ne-formula>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,定义如下。subgeometric率函数<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
,一个函数<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,一个子集<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
,然后
(8)米米l:米text>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∶米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
,米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>
2.6。Subgeometric率遍历性
让<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
;然后遍历链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
据说subgeometric遍历的顺序<我nl我ne-formula>
r米米l:米我>米米l:mrow>
在<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
规范或只是<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
如果所有遍历<我nl我ne-formula>
x米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
;然后
(9)米米l:米text>
lim米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
+米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
∥米米l:米o>
P米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
·米米l:米o>
)米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
π米米l:米我><米米l:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em">
(米米l:米o>
·米米l:米o>
)米米l:米o>
∥米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
π米米l:米我>米米l:mrow>
是独特的不变分布的过程(签署)测量<我nl我ne-formula>
σ米米l:米我>米米l:mrow>
,在那里<我nl我ne-formula>
∥米米l:米o>
σ米米l:米我>米米l:mrow>
∥米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
|米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mo>
|米米l:米o>
≤米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
|米米l:米o>
σ米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
|米米l:米o>
和<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
是可测函数。
gydF4y2B一个众所周知,(
9)当且仅当Foster-Lyapunov(或只是李雅普诺夫)漂移情况。正是因为这一原因,李雅普诺夫漂移条件发挥非常重要的作用在我们的研究中。李雅普诺夫漂移条件提供界限返回时间访问集从而主张一些控制马尔可夫过程动力学通过专注于打击时报在一个特定的集合。
gydF4y2Ba我们意识到技术,依靠小集的一些以前的研究可能不可用时间随机漂移设置因为少量<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
不一定是小<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
。然而,我们也知道,对于一个<我nl我ne-formula>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
不可约的过程,所有的有限的子集<我nl我ne-formula>
X米米l:米我>米米l:mrow>
是娇小的,一套可以关闭娇小的总是存在(
10),这表明我们的工作将局限于处理娇小的集。然后通过定理5.5.7 Meyn Tweedie [
7我们知道如果马尔可夫链<我nl我ne-formula>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
不可约和非周期,然后每一个娇小的小。因此所有的娇小的集在这项研究中被认为是小因为所有连锁店都假定<我nl我ne-formula>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
不可约和非周期。
gydF4y2B一个根据上述定义和符号我们准备状态以下subgeometric率约遍历性的命题<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历性和<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历性。
<年代t一个tement id="prop1">
命题1(见命题2.11 [< xref ref-type =“bibr”掉= " B11 " > < / xref > 11])。
让<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是一个不可约马尔可夫过程,和假设,对于一些<我nl我ne-formula>
ε米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
和一些函数<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
在<我nl我ne-formula>
X米米l:米我>米米l:mrow>
,一个<我nl我ne-formula>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
<米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,尽管<我nl我ne-formula>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
和<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
年代米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:math>
。如果存在一个娇小的集合<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
和一个常数<我nl我ne-formula>
δ米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
这样
(10)米米l:米text>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
δ米米l:米我><米米l:mo class="right">
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mtd>
然后<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
遍历。
年代t一个tement>
命题2(见定理3.3刘et al。(< xref ref-type =“bibr”掉= " B4 " > < / xref > 12])。
一个不可约马尔可夫链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是subgeometrically遍历速度<我nl我ne-formula>
r米米l:米我>米米l:mrow>
总变差中规范当且仅当对一些(然后)有限的子集<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊂米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
一个人
(11)米米l:米text>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>
命题3(定理3.2刘et al。(< xref ref-type =“bibr”掉= " B4 " > < / xref > 12])。
对于一些有限的非空的集合<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
当且仅当有限集合<我nl我ne-formula>
B米米l:米我>米米l:mrow>
和任何<我nl我ne-formula>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
,然后<我nl我ne-formula>
G米米l:米我>米米l:mrow>
B米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
。
年代t一个tement>
本研究在不减少的序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
:米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
}米米l:米o>
与<我nl我ne-formula>
T米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
被认为是类似于序列假设Spieksma [2.1
13),重申如下。递归定义<我nl我ne-formula>
T米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
和<我nl我ne-formula>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
正米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
{米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
:米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
≠米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
}米米l:米o>
,如果<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
不是一个吸收状态(例如,<我nl我ne-formula>
问米米l:米我><米米l:msub>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
≠米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
)。我们把<我nl我ne-formula>
T米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:math>
如果<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
是一个吸收状态;然后,我们有<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
。在这个意义上的序列<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
是一个不减少的停车时间序列代表连续跳。
年代ec>
3所示。主要结果
本节中给出的内容在subgeometric率的遍历性<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
,在那里<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
被认为是一个不可约和非周期中国十冶公司。结果给出了定理
4,
6,
7。定理
4定理3.1的修改版(
12),而定理
6是一个连续的命题5.1.2 Zurkowski [
5]。最后我们有定理
7它遵循从定理2.16的
11]。
<年代t一个tement id="thm3.1">
定理4。
让<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是一个不可约和非周期链。进一步假设一些(然后任何)有限的非空的集合<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
存在一个函数<我nl我ne-formula>
V米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和一个常数<我nl我ne-formula>
b米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:math>
这样,越来越序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
N米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
}米米l:米o>
,
(12)米米l:米text>
∑米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
,米米l:米o>
∀米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我><米米l:mo>
;米米l:米o>
然后对任何<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历。
年代t一个tement>
证明。
值得意识到链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
也非周期和不可约<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
是娇小的,因此小<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
是有界的<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
。让<我nl我ne-formula>
ζ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
最小值米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
{米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
:米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
。我们知道<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
B米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
ζ米米l:米我>米米l:mrow>
B米米l:米我>米米l:mrow>
∀米米l:米o>
B米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
B米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
,因为链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
能错过的一些访问链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
集<我nl我ne-formula>
B米米l:米我>米米l:mrow>
,因此,对于任何一个<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
,我们有
(13)米米l:米text>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
E米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
E米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ζ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
这意味着
(14)米米l:米text>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
E米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ζ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
=米米l:米o>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mtd>
对于任何<我nl我ne-formula>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:math>
。我们得到了(
14)由于等价的<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
和假设<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
因此满足submultiplicative属性(
5)。采用命题
3我们得到了(
14)意味着<我nl我ne-formula>
G米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
对于任何<我nl我ne-formula>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
。然后,通过命题
2,一组<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
是<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
定期的;因此我们得出结论:链<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历。
年代t一个tement>
值得注意的是,在实践中,漂移条件定理
4以上是不容易验证,因为它涉及到未知信息<我nl我ne-formula>
E米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
。实际上更有利的漂移条件所推论
5。这是毛(
8调查)<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
遍历性时<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
被限制为<我nl我ne-formula>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
;然后刘et al。
12扩展的结果时的情况<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
。在随机时间依赖漂移函数,我们国家以下推论2.1推论的修改版本的刘et al。
12]。
<年代t一个tement id="coro1">
推论5。
让<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
与<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
。然后链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
遍历性(例如,<我nl我ne-formula>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
)当且仅当对一些有限的非空的集合<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
和越来越序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
存在<我nl我ne-formula>
⌊米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
⌋米米l:米o>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
有限的非负函数<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
⌊米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
⌋米米l:米o>
和一个常数<我nl我ne-formula>
b米米l:米我>米米l:mrow>
这样<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≥米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
l米米l:米我>米米l:mrow>
^米米l:米o>
]米米l:米o>
和
(15)米米l:米text>
∑米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
(米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
^米米l:米o>
+米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
为<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
⌊米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
⌋米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,在那里<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
^米米l:米o>
=米米l:米o>
l米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
⌊米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
⌋米米l:米o>
和<我nl我ne-formula>
⌊米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
⌋米米l:米o>
表示整数部分功能,即小于或等于最大整数<我nl我ne-formula>
l米米l:米我>米米l:mrow>
。
年代t一个tement>
证明。
这个推论的证明类似于推论的证明2.1刘et al。
12)和遵循自然。
年代t一个tement>
的话。我t一个l我c>在特定情况下的必然结果
5据说,链式subgeometrically遍历速度<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
=米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我>米米l:mrow>
∨米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,对于一些<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
全变差,规范当且仅当我们有非负函数<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
在<我nl我ne-formula>
X米米l:米我>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊂米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
和<我nl我ne-formula>
b米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:math>
这样<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
≥米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,
(16)米米l:米text>
∑米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
(米米l:米o>
l米米l:米我>米米l:mrow>
^米米l:米o>
+米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
为<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:math>
和任何<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:math>
。
gydF4y2B一个李雅普诺夫定理中漂移
4和推论
5这是的
(17)米米l:米text>
∑米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
j米米l:米我>米米l:mrow>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
j米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mi>
W米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
我米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
,米米l:米o>
∀米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
V米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
W米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和<我nl我ne-formula>
λ米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:math>
是这里,在本文的其余部分用于方便。我们注意到的<我nl我ne-formula>
问米米l:米我>米米l:mrow>
矩阵<我nl我ne-formula>
问米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
(米米l:米o>
问米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
j米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
实值函数<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
在<我nl我ne-formula>
X米米l:米我>米米l:mrow>
我们有<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
问米米l:米我><米米l:mi>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
(米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
∶米米l:米o>
=米米l:米o>
∑米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
j米米l:米我>米米l:mrow>
V米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,米米l:米o>
∀米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
。
gydF4y2B一个定理
6它遵循处理subgeometric收敛速度的<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
遍历链,当<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
不是一个全变差。总而言之我们会处理<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
规律的娇小的子集<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊂米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
。
<年代t一个tement id="thm3.2">
定理6。
假设<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是一个<我nl我ne-formula>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
不可约和非周期马尔可夫链。进一步假设有功能<我nl我ne-formula>
V米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,在那里<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
在小型有界集吗<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
,不断<我nl我ne-formula>
ε米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
b米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
这样,越来越序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
}米米l:米o>
,
(18)米米l:米text>
E米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∣米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:msub>
T米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
;米米l:米o>
然后<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历。
年代t一个tement>
证明。
对所有<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
停止所有的时间<我nl我ne-formula>
T米米l:米我>米米l:mrow>
Dynkin不等式,我们得到的
(19)米米l:米text>
E米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
T米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∣米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:mi>
E米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
T米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
]米米l:米o>
;米米l:米o>
然后对所有<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:math>
我们得到了
(20)米米l:米text>
E米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∣米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:mi>
E米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mtd>
因为<我nl我ne-formula>
V米米l:米我>米米l:mrow>
是有界的<我nl我ne-formula>
C米米l:米我>米米l:mrow>
。又如定理
4我们有<我nl我ne-formula>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
B米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
ζ米米l:米我>米米l:mrow>
B米米l:米我>米米l:mrow>
,尽管<我nl我ne-formula>
B米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
B米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
(米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
,在那里<我nl我ne-formula>
ζ米米l:米我>米米l:mrow>
B米米l:米我>米米l:mrow>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
最小值米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
{米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
δ米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
B米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
}米米l:米o>
采样达到时间是连锁店吗<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
。然后<我nl我ne-formula>
为米米l:米text>
所有米米l:米text>
我米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:math>
(21)米米l:米text>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
u米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
u米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
~米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
˘米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
˘米米l:米o>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∣米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
<米米l:米o>
V米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mtd>
这意味着<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历性的链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
。
年代t一个tement>
这个方程
(22)米米l:米text>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∫米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
~米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
d米米l:米我><米米l:mi>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
=米米l:米o>
E米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
∑米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
ξ米米l:米我>米米l:mrow>
˘米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
˘米米l:米o>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
从公式(15)(
14第五节),当然最明显的符号的变化。
gydF4y2B一个下面的定理推广的结果<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
在遍历性定理
6可以建立结合命题的结果吗
1(例如,<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历性)与定理
4(例如,<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
遍历性)。这个定理是类似于[命题5.1.4
5和定理2.8
15]。
<年代t一个tement id="thm3.3">
定理7(借用了定理2.16 [< xref ref-type =“bibr”掉= " B11 " > < / xref > 11])。
让<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是一个不可约和非周期链。进一步假设一些(然后任何)有限的非空的集合<我nl我ne-formula>
C米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
存在一个函数<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
和常量<我nl我ne-formula>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
这样,越来越序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
}米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
E米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
)米米l:米o>
]米米l:米o>
≤米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
,尽管<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:math>
和<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
年代米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:math>
。然后,对一些<我nl我ne-formula>
r米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Λ米米l:米我>米米l:math>
和一个常数<我nl我ne-formula>
δ米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,
(23)米米l:米text>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
一个米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我><米米l:mi>
d米米l:米我><米米l:mo>
吃晚饭米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
G米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
δ米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
。米米l:米o>
然后<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是subgeometrically遍历速度<我nl我ne-formula>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
(米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
∨米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
在<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
(米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
∨米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
规范,功能<我nl我ne-formula>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
Ψ米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
:米米l:米o>
X米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
是一对年轻逆函数。
年代t一个tement>
链的漂移条件定理
7不容易找到,但给出了一个更简单的方法来验证漂移(
11推论2.17]。这是重申如下推论。
<年代t一个tement id="coro2">
推论8。
让链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
那么在定理
7为一个固定的常数<我nl我ne-formula>
α米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
(米米l:米o>
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>
和积极的常量<我nl我ne-formula>
c米米l:米我>米米l:mrow>
η米米l:米我>米米l:mrow>
这样,越来越序列的停止时间<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
Z米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
}米米l:米o>
,
(24)米米l:米text>
∑米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
V米米l:米我>米米l:mrow>
η米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
≤米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
c米米l:米我>米米l:mrow>
η米米l:米我>米米l:mrow>
V米米l:米我>米米l:mrow>
η米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:msub>
1米米l:米n>米米l:mrow>
{米米l:米o>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
C米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
,米米l:米o>
η米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
(米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o class="right">
]米米l:米o>
对于每一个<我nl我ne-formula>
p米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
(米米l:米o>
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
;然后链<我nl我ne-formula>
Φ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是subgeometrically遍历速度<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:msup>
)米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
p米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
/米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
日志米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:msup>
)米米l:米o>
b米米l:米我>米米l:mrow>
∨米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,在<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
(米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
p米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
日志米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
V米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
b米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
∨米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
规范。
年代t一个tement>
4所示。结论
通过这项研究,我们已经成功地依赖政府subgeometric率时间随机遍历性分析为中国十冶公司Foster-Lyapunov漂移条件。然而仍有更多的工作要做更多的研究尤其是在应用程序可能铺平道路。我们依赖的研究如康纳和堡(
3]他们工作的结果应用于“驯服”连锁(技术上来说任何链subgeometric漂移<我nl我ne-formula>
ϕ米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
~米米l:米o>
c米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我><米米l:msup>
(米米l:米o>
ln米米l:米我><米米l:mo>
米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
]米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
)。还研究连续时间马尔可夫链的可数状态空间控制(
11)是应用于折扣和奖励平均最优标准。因此我们未来的研究将着眼于做任何可能的改进研究,提炼我们的结果和确定应用程序的结果。确实利息相同的发展等研究领域的“控制和优化理论”,“信息理论”和“排队论”。
年代ec>
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
年代ec>
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