2。自回归条件持续时间模型
持续时间模型应用于问题在许多科学领域如医学、经济学、和交通调查现象的时间特征(例如持续时间)是最重要的
9 - - - - - -
13 ]。然而,在经典计量经济学技术,时间序列往往被制服的序列数据点分离时间间隔;如上所述,-蔡(
14 ),“传统”持续时间模型没有考虑时间序列的可能性维度在这些模型和相关的现象(这种现象的一个很好的例子是股票交易中讨论(
15 ,
16 ])。交通拥堵事件是典型的这种行为;交通堵塞发生在不均匀地间隔的时间间隔;经典时间建模可能没有足够的这类事件模型。
使用概念与广义自回归条件heteroskedastic GARCH模型,恩格尔和罗素
15 ]提出了自回归条件持续时间(ACD)模型来描述数据的进化到不均匀地间隔的时间间隔。让<我nl我ne-formula>
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拥塞发生时,<我nl我ne-formula>
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和<我nl我ne-formula>
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- - - - - -米米l:米o>
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拥堵持续时间事件。与到达时间是计算函数<我nl我ne-formula>
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事件发生的数量的时间吗<我nl我ne-formula>
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。让<我nl我ne-formula>
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的期望<我nl我ne-formula>
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th持续时间由<我nl我ne-formula>
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…米米l:米o>
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]米米l:米o>
与参数<我nl我ne-formula>
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1米米l:米n>米米l:mrow>
。ACD模型的基本假设是,标准化的持续时间是独立同分布
15 ]:
(2.1)
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i.d.d。米米l:米text>
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,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
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总发行结束了吗<我nl我ne-formula>
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,米米l:米o>
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)米米l:米o>
意思是等于1和参数向量<我nl我ne-formula>
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。从上面的,似乎有许多潜在的ACD模型,对不同规格的不同预期的持续时间的分布<我nl我ne-formula>
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我米米l:米我>米米l:mrow>
。
为了定义条件强度或风险函数,让<我nl我ne-formula>
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的密度函数<我nl我ne-formula>
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,让<我nl我ne-formula>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
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,相关的生存函数
(2.2)
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(米米l:米o>
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)米米l:米o>
基线风险利用风险函数表示为(
15 ]
(2.3)
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(米米l:米o>
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,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
N米米l:米我><米米l:mo>
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=米米l:米o>
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(米米l:米o>
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(米米l:米o>
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- - - - - -米米l:米o>
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N米米l:米我><米米l:mo>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
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)米米l:米o>
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(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
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。米米l:米o>
方程(
2。3 )意味着过去的历史条件影响强度乘法效应和基线风险转移(
15 ];恩格尔和罗素称这种模式为“<我t一个l我c>加速失效时间我t一个l我c>”模式从过去的信息影响时间的流逝的速度(
15 ]。这是符合大多数观察交通流理论;有时流迅速变化和时间之间的交通拥堵现象快速流动,而在其他情况下相反的适用。在这种情况下,时间流动的速度取决于过去的事件到达时间的函数<我nl我ne-formula>
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。
一个澳洲牧牛犬<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
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,米米l:米o>
问米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
模型指定条件意味着持续时间<我nl我ne-formula>
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的线性函数<我nl我ne-formula>
p米米l:米我>米米l:mrow>
滞后时间和他们<我nl我ne-formula>
问米米l:米我>米米l:mrow>
有条件的期望(
14 ]
(2.4)
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=米米l:米o>
ω米米l:米我>米米l:mrow>
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=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
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- - - - - -米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
ω米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
一次参数的分布<我nl我ne-formula>
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已指定,最大似然估计的<我nl我ne-formula>
θ米米l:米我>米米l:mrow>
可以通过使用不同的数值优化算法。当误差分布<我nl我ne-formula>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
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是指数,由此产生的模型称为EACD模型。类似地,如果<我nl我ne-formula>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
遵循一个威布尔分布,模型被称为WACD<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
p米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
问米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
模型,等等。我们专注于WACD<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
1,- 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>
模型(a)灵活的风险分布特征,(b)直接估计,和(c)可以占串行依赖在高频数据(
15 ,
17 ]。威布尔分布的参数<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
一个米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>
风险函数
(2.5)
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(米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
=米米l:米o>
k米米l:米我>米米l:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
一个米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
一个米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
和条件密度函数
15 ]
(2.6)
λ米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
∣米米l:米o>
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…米米l:米o>
,米米l:米o>
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1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
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(米米l:米o>
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(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
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1米米l:米n>米米l:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
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+米米l:米o>
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- - - - - -米米l:米o>
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)米米l:米o>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
t米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
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N米米l:米我><米米l:mo>
(米米l:米o>
t米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
)米米l:米o>
一个米米l:米我><米米l:mo>
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1米米l:米n>米米l:mrow>
一个米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
Γ米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
·米米l:米o>
)米米l:米o>
是伽玛函数。方程(
2。6 )表明,现在有条件的强度依赖于两个参数<我nl我ne-formula>
(米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
反过来,这表明,可能导致增加或减少风险功能;这使得特别长时间或多或少可能比指数取决于<我nl我ne-formula>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
少或者大于团结,分别
15 ]。威布尔ACD的日志可能是
14 ]
(2.7)
∑米米l:米o>
我米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
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(米米l:米o>
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)米米l:米o>
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(米米l:米o>
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)米米l:米o>
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一个米米l:米我><米米l:mi>
ln米米l:米我><米米l:mo>
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(米米l:米o>
Γ米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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/米米l:米o>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
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)米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o>
(米米l:米o>
Γ米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
/米米l:米o>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
指数分布的威布尔分布减少<我nl我ne-formula>
α米米l:米我>米米l:mrow>
= 1,但允许一个增加(减少)如果风险函数<我nl我ne-formula>
α米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
(<我nl我ne-formula>
α米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
)[
14 ]。
ACD模型可以修改为非线性,在高分辨率数据集非常常见。Zhang et al。
18 ]扩展ACD模型考虑到非线性和结构性突变的数据。一个阈值自回归条件持续时间(TACD)模型允许预期的持续时间变量非线性依赖过去的信息。一个积极的随机过程<我nl我ne-formula>
{米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
}米米l:米o>
遵循一个<我nl我ne-formula>
j米米l:米我>米米l:mrow>
当阈值变量th政权阈值ACD模型<我nl我ne-formula>
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- - - - - -米米l:米o>
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∈米米l:米o>
R米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
:
(2.8)
X米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
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≡米米l:米o>
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∈米米l:米o>
i.d.d。米米l:米text>
D米米l:米我><米米l:mrow>
(米米l:米o>
θ米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o>
,米米l:米o>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
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=米米l:米o>
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0米米l:米n>米米l:mrow>
(米米l:米o>
j米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
∑米米l:米o>
米米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
p米米l:米我>米米l:mrow>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
j米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
X米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
∑米米l:米o>
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
问米米l:米我>米米l:mrow>
ω米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o>
j米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在延迟参数<我nl我ne-formula>
d米米l:米我>米米l:mrow>
是一个正整数,<我nl我ne-formula>
ψ米米l:米我>米米l:mrow>
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的条件是<我nl我ne-formula>
X米米l:米我>米米l:mrow>
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,<我nl我ne-formula>
R米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
(米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>
,<我nl我ne-formula>
j米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1、2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
J米米l:米我>米米l:math>
对于一个正整数,<我nl我ne-formula>
- - - - - -米米l:米o>
∝米米l:米o>
=米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
<米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
<米米l:米o>
⋯米米l:米o>
<米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
j米米l:米我>米米l:mrow>
<米米l:米o>
∝米米l:米o>
是阈值变量(
18 ]。TACD配方的基础上,允许不同政权的时间序列数据集有不同的持久性和持续时间误差分布,使得建模更加灵活和高效。然而,在这样的模型,正确的选择机制是至关重要的,因为它的数量显著影响评估过程;Zhang et al。
18 强调计算困难估计一个制度TACD(1,1)模型对金融事务持续时间数据。进一步规范和细节ACD模型开发、评估和测试可以发现在
14 ,
16 ,
17 ]。