多个比较大量的线性组合的意思是一般的许多应用程序的兴趣。如果一个推论统计程序依赖的数量比较,它可能是很挑战比较的数量增加。另外,通常我们可能无法让所有方差的假设意味着是相等的。许多作者提出了多重比较各种方法意味着在过去。矫正人员( 1)提出了一个方法为所有的线性组合构造同时置信区间意味着同时控制错误。因为同时矫正的方法构造置信区间的所有可能的线性组合方法,他的方法有其自身的优势在处理大量的比较方法的线性组合。据悉,有三个主要的假设正确矫正人员同时置信区间的构造。样本是独立的(1),(2)人群通常是分布式的,和(3)人口有一个平等的方差。第三个假设,通常称为方差齐性,是最脆弱的。方差齐性的违反常常导致通货膨胀的familywise错误率(fw)。矫正人员所指出的( 2),他的方法具有一定的鲁棒性,当组样本大小是相同的,即使方差不相等。然而,弗兰克-威廉姆斯已经失控的情况下方差和样本大小是不平等的。迄今没有显式公式可用在所有的线性组合意味着同时置信区间的不平等的方差。

比较两个的问题意味着不平等的人口差异被称为Behrens-Fisher问题[ 3]。Dunnett [ 4, 5]凡德尔莫维内尔和[ 6基于仿真的结果公布在评估不同的成对的意思是在不平等的方差的情况下比较过程。金( 7]Behrens-Fisher问题提出了一个实用的解决方案使用两个均值向量的几何椭圆体的信心。威尔科克斯( 8通过削减意味着]Behrens-Fisher问题解决。克里斯腾森和加入 9]I型相比Behrens-Fisher错误率和功率水平的问题。Fouladi和Yockey 10)进行了蒙特卡洛研究评估的性能测试手段的条件下正常和异常。胡佛( 11)讨论与异构群行为干预效果的临床试验。本文的方法在所有的线性组合构造同时置信区间均值与不平等的方差。由于没有限制的线性组合的数量意味着该方法可用于情况的比较大量的线性组合的方法被认为是必要的。同时提出了置信区间,我们参考广义菸害的置信区间,有一个明确的格式,类似于古典同行。平等意味着方差的假设不再需要。此外,这些同时成为古典菸害置信区间的置信区间当所有人口方差和样本大小是相等的。最重要的是,提出同时置信区间保持弗兰克-威廉姆斯方差和样本大小的所有配置。

假设我们有 我 人群,让 ( μ 我 , σ 我 2 ) 是人口的真正的均值和方差 我 。让 ( n 我 , D 我 , 年代 我 2 ) 样本,样本均值和样本方差的 我 人口。在之间的方差相等 我 人群中, σ 我 2 ≡ σ 2 ,同时矫正置信区间 所有方法的线性组合 ∑ 我 = 1 我 c 我 μ 我 是由: (2.1) ∑ 我 = 1 我 c 我 D 我 ± 我 ⋅ F α , 我 , N - - - - - - 我 均方误差 ⋅ ∑ 我 = 1 我 c 我 2 n 我 , 均方误差在哪里 均方误差 = ∑ 我 = 1 我 ( n 我 - - - - - - 1 ) 年代 我 2 / ( N - - - - - - 我 ) 常见的混合估计方差来自哪里 我 人群; F α , 我 , N - - - - - - 我 是上面的 α th分位数的 F 分布与自由度 我 , N - - - - - - 我 ; N = ∑ 我 = 1 我 n 我 是总样本量。如果 我 常量 c 1 , c 2 , … , c 我 满足 ∑ 我 = 1 我 c 我 = 0 ,同时矫正的置信区间 所有合同 ∑ 我 = 1 我 c 我 μ 我 是由: (2.2) ∑ 我 = 1 我 c 我 D 我 ± ( 我 - - - - - - 1 ) ⋅ F α , 我 - - - - - - 1 , N - - - - - - 我 均方误差 ⋅ ∑ 我 = 1 我 c 我 2 n 我 。 如果成对比较感兴趣的,我们可以设置一条 ( c 我 , c j ) 是 ( 1 , - - - - - - 1 ) 和休息 c 我 s是零。这是一个特殊情况的对比。注意,菸害的间隔是有用的在处理大量的线性组合的意思。当观察的总数和数量确定的数量,数量 F α , 我 , N - - - - - - 我 保持不变,不管同时置信区间的数量。Bonferroni方法,置信区间的宽度往往是更广泛的意思是增加的线性组合。假设我们有10个种群每个样本大小10。如果我们有100个并发置信区间线性组合的手段, F 矫正的方法 10 × F 0.05,10100 - - - - - - 10 = 1.9635 。如果我们应用Bonferroni的方法 | t ( 0.05 / 200100年 - - - - - - 10 ) | = 3.6118 。这意味着菸害的宽度的间隔可能比Bonferroni的宽度短的间隔。有一个破坏点,菸害的间隔可能比Bonferroni的间隔短的线性组合的数量变大。这个警报菸害的普遍看法的间隔比Bonfferoni保守的间隔。

我们现在考虑的问题构建同步间隔没有假设方差相等。让 一个 我 = σ 我 2 / ∑ 我 = 1 我 σ 我 2 和定义 (2.3) R 1 = ∑ 我 = 1 我 一个 我 ( D 我 - - - - - - μ 我 σ 我 / n 我 ) 2 = ∑ 我 = 1 我 一个 我 Y 我 , R 2 = ∑ 我 = 1 我 一个 我 n 我 - - - - - - 1 ( n 我 - - - - - - 1 ) 年代 我 2 σ 我 2 = ∑ 我 = 1 我 一个 我 n 我 - - - - - - 1 Z 我 。

请注意, Y 我 ~ χ 1 2 和 Z 我 ~ χ ( n 我 - - - - - - 1 ) 2 。因此, R 1 和 R 2 的线性组合 χ 2 变量与 E ( R 1 ) = E ( R 2 ) = 1 。

寻找的确切分布的线性组合 χ 2 被称为Satterthwaite变量的问题,是相当困难的。Satterthwaite试图作为一个近似这种类型的变量 χ ν 2 随机变量除以它的自由度 ν (见[ 12])。这种程度的自由 ν 然后通过矩估计的方法来解决。正如卡塞拉和伯杰( 12),为一个变量 Y ~ χ ν 2 / ν ,我们有 E ( Y ) = 1 。因此 (2.4) ν = 2 ( E Y ) 2 Var ⁡ ( Y ) = 2 Var ⁡ ( Y ) 。

然后我们组 R 1 ~ χ ν 1 2 / ν 1 , R 2 ~ χ ν 2 2 / ν 2 ,在那里 ν 1 和 ν 2 的各自的自由度是吗 R 1 和 R 2 。通过上面的结果我们可以估计 ν 1 和 ν 2 。首先,我们考虑 ν 1 ,可以发现 (2.5) ν 1 = 2 ∑ 我 = 1 我 一个 我 2 Var ⁡ ( Y 我 ) = 1 ∑ 我 = 1 我 一个 我 2 = ( ∑ 我 = 1 我 σ 我 2 ) 2 ∑ 我 = 1 我 σ 我 4 。 一个自然的估计 ν 1 是由 ν ̂ 1 = ( ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 ) 2 / ∑ 我 = 1 我 年代 我 4 。为 ν 2 ,我们有 (2.6) ν 2 = 2 ∑ 我 = 1 我 ( 一个 我 2 / ( n 我 - - - - - - 1 ) 2 ) Var ⁡ ( Z 我 ) = 1 ∑ 我 = 1 我 一个 我 2 / ( n 我 - - - - - - 1 ) = ( ∑ 我 = 1 我 σ 我 2 ) 2 ∑ 我 = 1 我 σ 我 4 / ( n 我 - - - - - - 1 ) 。

它可以估计 ν ̂ 2 和 ν ̂ 2 = ( ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 ) 2 / ∑ 我 = 1 我 年代 我 4 / n 我 - - - - - - 1 。此外,请注意, R 1 是独立于 R 2 因此, R = R 1 / R 2 约了 F 分布与自由度 ν 1 和 ν 2 。事实证明, R = R 1 / R 2 有一个非常简单的表单 (2.7) R = R 1 R 2 = ∑ 我 = 1 我 n 我 ( D 我 - - - - - - μ 我 ) 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 ~ F ν 1 , ν 2 。 注意,如果 我 数量相等的方差, σ 我 2 ≡ σ 2 ,我们有 ν 1 = 我 ;另外,如果所有人群有相同的样本大小,也就是说, n 我 ≡ n ,然后 ν 2 = N - - - - - - 我 。

推导出广义菸害的间隔我们需要以下引理(见[投影 13)页231 - 232)。为 我 实数 z 1 , z 2 , … , z 我 和所有 一个 = ( 一个 1 , 一个 2 , … , 一个 我 ) ∈ ℜ 我 为了满足如下不等式: (2.8) ∑ 我 = 1 我 一个 我 y 我 - - - - - - r ( ∑ 我 = 1 我 一个 我 2 ) 1 / 2 ≤ ∑ 我 = 1 我 一个 我 z 我 ≤ ∑ 我 = 1 我 一个 我 y 我 + r ( ∑ 我 = 1 我 一个 我 2 ) 1 / 2 , 充分必要条件 ∑ 我 = 1 我 ( z 我 - - - - - - y 我 ) 2 ≤ r 2 。然后,我们选择 z 我 = n 我 μ 我 ,让 z = ( z 1 , z 2 , … , z 我 ) 满足 ∑ 我 = 1 我 ( z 我 - - - - - - n 我 D 我 ) 2 ≤ F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 构成的内部 我 维球体中心的点 ( n 1 D 1 , n 2 D 2 , … , n 我 D 我 ) 半径为 F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 。通过应用向量的投影引理 一个 ,在那里 一个 = ( c 1 / n 1 , c 2 / n 2 , … , c 我 / n 我 ) ,我们有 (2.9) { ∑ 我 = 1 我 ( n 我 D 我 - - - - - - n 我 μ 我 ) 2 ≤ F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 } = { ∑ 我 = 1 我 c 我 n 我 n 我 μ 我 ∈ ∑ 我 = 1 我 c 我 n 我 n 我 D 我 ± F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 ∑ 我 = 1 我 c 我 2 n 我 } = { ∑ 我 = 1 我 c 我 μ 我 ∈ ∑ 我 = 1 我 c 我 D 我 ± F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 ∑ 我 = 1 我 c 我 2 n 我 } 。 选择 F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 , 1 - - - - - - α 分位数的 F 分布与 ν ̂ 1 和 ν ̂ 2 自由度,基于结果( 2。7),我们有 (2.10) P { ∑ 我 = 1 我 ( n 我 D 我 - - - - - - n 我 μ 我 ) 2 ≤ F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 } = 1 - - - - - - α 。

应用投影引理这个概率可以旋转给下列广义 1 - - - - - - α 同时置信区间为 ∑ 我 = 1 我 c 我 μ 我 , (2.11) ∑ 我 = 1 我 c 我 D 我 ± F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 ∑ 我 = 1 我 c 我 2 n 我 。 对总体均值 μ 我 及其两两差异 μ 我 - - - - - - μ j 广义菸害的置信区间 (2.12) D 我 ± F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 1 n 我 , (2.13) D 我 - - - - - - D j ± F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ∑ 我 = 1 我 年代 我 2 1 n 我 + 1 n j , 在哪里 1 ≤ 我 ≠ j ≤ 我 。通过比较( 2。1)和( 2.11),可以看出,广义菸害的置信区间非常类似于古典同行。

多重比较的错误被称为错误的概率拒绝零假设中的至少一个的家庭。的有效性提出了广义菸害的置信区间很大程度上在于成功地控制了弗兰克-威廉姆斯在给定的名义水平 α 。

有两个主要因素,人口样本大小和差异,影响性能的菸害的置信区间。我们将展示通过模拟弗兰克-威廉姆斯将膨胀情况人群差异是不平等的。

各种配置选择方差和样本大小的广义菸害的性能评估方法。为此,选择组的数量 我 = 4 。不失一般性,我们使用所有人口意味着0,也就是说, ( μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 ) = ( 0,0 , 0,0 ) 。样品的规格大小和差异表 1。

尽管菸害的间隔适用于在所有线性组合推理,为简单起见,我们只专注于两种推论:总体均值及其两两差异。对于每个配置我们5000模拟运行,每次运行95%进行矫正的间隔和广义菸害的间隔在两个总体均值和成对意味着差异计算。然后我们得到了覆盖率,提出区间包含真正的意思,都等于0。

表 1基于这两种方法的报告覆盖率。注意,经验弗兰克-威廉姆斯将1 -覆盖率。显然,在平等的方差的情况下,这两种方法给非常相似的覆盖平衡的设计或不平衡设计。在不平等的方差的情况下,矫正的方法滴的覆盖率。然而,它的弗兰克-威廉姆斯仍然停留在名义上,也就是说, α = 0.05 平衡设计。这证实了菸害的概念,他的方法是健壮的异方差性当从人群样本大小是相等的。我们注意到弗兰克-威廉姆斯是膨胀当样本大小不同的人群。它可以从表中找到 1,当 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 ) = ( 0.3,0.3,0.1,0.1 ) ,样本大小 ( n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ) = ( 5、5 , 10、10 ) , ( 5、5 , 20、20 ) , ( 10、10、20、20 ) , ( 10、10、50、50 ) FWERs是12.3%、27%、11.6%和26.5%,分别。当 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 ) = ( 3,3 , 1,- 1 ) ,样本大小 ( n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ) = ( 5、5 , 10、10 ) , ( 5、5 , 20、20 ) , ( 10、10、20、20 ) , ( 10、10、50、50 ) FWERs是12.8%,23.5%,12.95%,和27.45%,分别。注意,这些FWERs都显著大于名义水平 α = 0.0 5 % 。可以看出,大样本大小的差异越大,相应的弗兰克-威廉姆斯。另一方面,广义矫正方法的性能更强劲。同样的配置设置,基于广义FWERs菸害的区间在0.025%和0.038%之间。虽然保守,但它停留在名义水平 α = 0.05 。

这也将是有趣的,看看不同的宽间隔的两种类型。比较( 2。1)和( 2.12),你会发现它们之间的差异是由于以下两项: (3.1) 问 1 = F α , 我 , N - - - - - - 我 ⋅ 我 ⋅ 均方误差 , 问 2 = F α , ν ̂ 1 , ν ̂ 2 ⋅ ∑ 年代 我 2 。

的平均 问 1 和 问 2 从5000年提出了模拟运行表 2。

可以看出他们非常接近彼此的平等的方差。然而,在不平等的方差的情况下, 问 1 变得乐观地小于 问 2 弗兰克-威廉姆斯的,从而导致通货膨胀。最后,菸害的间隔是源于这一事实 F 统计 (3.2) F = ∑ 我 = 1 我 ( D 我 - - - - - - μ 我 ) 2 / 我 均方误差 , 遵循 F 我 , N - - - - - - 我 分布在一个假设的数量。当违反了这些假设,菸害的间隔的性能取决于上面 F 统计分布偏离 F 我 , N - - - - - - 我 。广义菸害的间隔,弗兰克-威廉姆斯在很大程度上取决于准确 R 1 / R 2 接近 F ν 1 , ν 2 。图 1阴谋的经验分布函数 R 1 / R 2 和 F 统计( 2.13),连同他们的指定 F 分布。我们选择以下四个不同配置的方差和样本大小,对应于同方差的/异方差的和平衡的/不平衡的情况下: (1)

( σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 ) = ( 1,- 1 , 1,- 1 ) , ( n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ) = ( 10、10、10、10 ) , ( 10、10、50、50 ) ,

配置(1)表示的方差相等4意味着相同或不同的样本大小。配置(2)显示为4意味着平等或不平等的方差不同的样本大小。我们计算的经验分布函数 R 1 / R 2 ,可以看出,他们几乎是重叠的 F ν 1 , ν 2 在所有四个情况下配置的方差和样本大小(1 (a)在图4 (a) 1)。法国电力公司(edf)之间的重叠 R 1 / R 2 和 F ν 1 , ν 2 建议的一个很好的近似 F 分配的比例 R 1 和 R 2 。此外,法国电力公司的 F 统计分布也匹配 F 我 , N - - - - - - 我 (1 (b) 3 (b)在图 1),除了不平衡异方差的情况下矫正的方法失败(在图4 (b) 1)。这就解释了为什么弗兰克-威廉姆斯膨胀的不平等的方差。

最后一个评论,上面的模拟结果表明,广义菸害的宽度间隔往往是更广泛的比菸害的间隔。这是我们的总体印象,但并不总是正确。模拟,时不时的,我们观察到窄广义菸害的间隔。从数据分析我们将看到这个功能在下一节的例子。

所罗门et al。 14]研究孕妇吸烟行为。他们检查了妇女在怀孕期间戒烟的决心。他们采访了349名女性在首次产前访问,所有人都怀孕时吸烟,和被分为四组:思考之前(PC),沉思(C),准备(P)和动作(A)。他们的目的是看看这些学科的后续吸烟行为过程中怀孕,但有一个重要的考虑因素是这些女性怀孕时吸烟。意味着,样本大小和标准偏差这四个组,每天吸烟的怀孕时,给出了表 4。指出最小的样本大小是37岁,我们不需要担心常态假设即使利息计算的反应或整数。

表 3介绍了 95年 % 菸害的间隔和广义菸害间隔四组的方式和他们之间的分歧。因为样本大小和方差相当不同,广义菸害间隔更可靠。

一个可能会让一些推论联合置信水平 95年 % 。例如,女性准备(P)组的平均每天的香烟数量从26.09到31.51,这似乎是最常见的吸烟者。之间没有显著差异发现组P和组电脑,因为他们的差异有一个置信区间 ( - - - - - - 8.87,0.87 ) 这包括0。也是相当有趣的注意,广义菸害的间隔甚至比菸害窄间隔。

等等,矫正方法是一种常用的方法,使同时推断所有的线性组合的意思。菸害的间隔是对所有可能的线性组合意味着,这带来了好处如果大量的线性组合意味着需要比较。平等的方差的假设意味着需要控制错误。当这个假设是违反了该方法可以方便地用于构建同时置信区间,第一类误差控制在预定的名义水平。仿真结果表明,提出的弗兰克-威廉姆斯同时置信区间是保存完好的名义水平和方差相等的假设可以简单地忽略。