1。介绍不同范围的科学,如经济学、化学、机器人技术和工程可以制定为非线性方程组。另一方面,科学进步在这些地区更依赖这些系统的分辨率。
gydF4y2B一个有两种类型的系统方程,称为线性和非线性系统,主要有两种方法来解决他们称为数字解决方案和优化方法。文中针对方法是使用最广泛的求解非线性类型。
gydF4y2B一个因此,在本文中,我们讨论如何找到解决非线性方程组如下:
(1)米米l:米text>米ml:mtd>
F米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
F米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
ℝ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
⟶米米l:米o>
ℝ米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
是连续可微的地图和<我nl我ne-formula>
米米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
n米米l:米我>米米l:math>
。让的形式(
1gydF4y2B一个)
(2)米米l:米text>米ml:mtd>
F米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
⋮米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0。米米l:米n>米米l:mrow>
近年来,几种文中针对方法开发了解决非线性系统方程(
1gydF4y2B一个牛顿类和梯度类等)。牛顿类,例如,牛顿和拟牛顿方法,更适合的小规模系统方程和梯度类;例如,谱梯度和共轭梯度方法,可以适当应对大规模系统。有许多不同的方法将问题(
1gydF4y2B一个一个优化问题。例如,在方法(
1gydF4y2B一个],作者系统变成一个无约束最优化问题,然后解决了新的无约束问题而不是通过应用一种优化方法,制定如下:
(3)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
F米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米i>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
F米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米i>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
⋯米米l:米o>
+米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
F米米l:米我><米米l:mi>
米米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
≥米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
F米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
+米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
+米米l:米o>
⋯米米l:米o>
+米米l:米o>
F米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
≥米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
和另一种形式存在
2,
3gydF4y2B一个]。在本文中,我们考虑下面的形式:
(4)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:mfrac>
F米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
。米米l:米o>
代表了欧几里得范数。所以我们更换问题(
1gydF4y2B一个)
(5)米米l:米text>米ml:mtd>
最小值米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
ℝ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
并设置<我nl我ne-formula>
g米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
∇米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
。无疑地,最优解的问题(
5gydF4y2B一个)的零值目标函数对应全球解决方案的系统(
1gydF4y2B一个)。文中针对的方法可以分为两类,即线搜索方法和信赖域方法(
3,
4gydF4y2B一个]。线搜索方法,在当前迭代<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
如果<我nl我ne-formula>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
∇米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≠米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
定义一个搜索方向<我nl我ne-formula>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
在某种程度上,发现携带一些线搜索的步长<我nl我ne-formula>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。最受欢迎的线搜索规则Armijo规则,沃尔夫戈尔茨坦的规则,规则(
5gydF4y2B一个- - - - - -
7gydF4y2B一个]。对于一个给定的<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
线搜索生成下一个点
(6)米米l:米text>米ml:mtd>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
α米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
是一个步长搜索和获得的<我nl我ne-formula>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
是一个下降方向。传统的线搜索需要在每次迭代函数值下降单调,也就是说,
(7)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
单调规则可能极度降低收敛速度迭代时狭窄弯曲的峡谷附近被捕,这可能会导致非常短的步骤或曲折的。Grippo et al。
8gydF4y2B一个最早提出了非单调线搜索。通过结合强制函数非单调线搜索技术,太阳et al。
9gydF4y2B一个)提出了一个通用非单调线搜索规则,称为非单调<我t一个l我c>F规则,无约束最优化。求解系统方程,Ataee Tarzanagh等人在
4gydF4y2B一个在[]和Reza Peyghami Ataee Tarzanagh
10gydF4y2B一个据)开发了一种新的非单调术语
(8)米米l:米text>米ml:mtd>
T米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
η米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
R米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
η米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我><米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
−米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
最小值米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
马克斯米米l:米我>米米l:mrow>
⊂米米l:米o>
0 1米米l:米n>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。此外,<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
k米米l:米我>米米l:mrow>
Grippo非单调的术语定义的是哪一个
(9)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
马克斯米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
l米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
j米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
l米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,对于<我nl我ne-formula>
k米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
l米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
最小值米米l:米我><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|">
k米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
,在那里<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:math>
是一个正整数,<我nl我ne-formula>
η米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
是一个消失的正序满足以下条件:
(10)米米l:米text>米ml:mtd>
∑米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∞米米l:米我>米米l:munderover>
η米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
η米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>
注意,对
(11)米米l:米text>米ml:mtd>
R米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
−米米l:米o>
ε米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
他们证明了弱收敛性质
(12)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我><米米l:mtext>
正米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0。米米l:米n>米米l:mtd>
本文中的算法的主要贡献是使用函数派生值提高测序过程。我们引入一种自适应非单调技术,有很强的收敛性质,
(13)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
并且可以控制函数的凸组合值比以前的方法。数值实验显示的效率提出了线搜索技术。数值实验表明提出的新技术的效率和鲁棒性。
gydF4y2Ba本文的其余部分组织如下:在部分
2,gydF4y2Ba我们现在提出的自适应非单调规则和部分
3,gydF4y2Ba我们现在收敛性质。数值结果和结论给出了部分
4gydF4y2B一个和
5,gydF4y2Ba分别。
2。算法结构以下假设是对整个文章。
假设1。<我nline-formula>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
下面有界在水平集吗<我nl我ne-formula>
ℒ米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
ℝ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
|米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
▽米米l:米我><米米l:mi>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
是连续统一在一个开集包含水平集吗<我nl我ne-formula>
ℒ米米l:米我>米米l:math>
。
gydF4y2B一个为了达到全局收敛性,我们需要满足以下假设的搜索方向。
假设2。
(14)米米l:米text>米ml:mtd>
−米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≥米米l:米o>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1、2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
⋅米米l:米o>
是一种强制函数,我们以后把它。
假设3。矩阵<我nl我ne-formula>
J米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
均匀非奇异的<我nl我ne-formula>
ℒ米米l:米我>米米l:math>
,即,there exists a constant<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
这样
(15)米米l:米text>米ml:mtd>
米米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
F米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
X米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
J米米l:米我><米米l:msup>
x米米l:米我>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
F米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
∀米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
ℒ米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>
在下面,我们给强迫函数定义在[
9gydF4y2B一个]。
定义1。这个函数<我nl我ne-formula>
σ米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
+米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
⟶米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
+米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
是一种强制函数(<我t一个l我c>F如果任何序列函数)<我nl我ne-formula>
t米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
⊂米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
+米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
(16)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米text>
意味着米米l:米text><米米l:munder>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0。米米l:米n>米米l:mtd>
我们定义新的非单调线搜索方法如下:
(17)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
ℋ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
集<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,这
(18)米米l:米text>米ml:mtd>
ℋ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
C米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
−米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
−米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
>米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
r米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
r米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
最小值米米l:米我><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|">
k米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
r米米l:米我>米米l:mrow>
≥米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1、2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
0 1米米l:米n>米米l:mrow>
和米米l:米text><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
r米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
那
(19)米米l:米text>米ml:mtd>
米米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
c米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
<米米l:米o>
10米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
10米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≥米米l:米o>
10米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
(在哪里。]表示函数和的地板上<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
<米米l:米o>
c米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
是一个消失的正序满足以下条件:
(20)米米l:米text>米ml:mtd>
∑米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∞米米l:米我>米米l:munderover>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
μ米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
和<我nl我ne-formula>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
是强制函数<我nl我ne-formula>
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
/米米l:米o>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。所以
(21)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
ℋ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:mi>
ρ米米l:米我><米米l:msubsup>
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne-formula>
0米米l:米n><米米l:米o>
<米米l:米o>
ρ米米l:米我><米米l:mo>
<米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
。通过定义2.3。2.4和主张。在[
9gydF4y2B一个),非单调线搜索规则(
21gydF4y2B一个)很容易满足新的非单调规则(
17gydF4y2B一个)。<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:math>
更新(
19gydF4y2B一个在每个迭代中。我们现在目前的高级描述我们的算法称为自适应非单调线搜索技术(退火)。
gydF4y2B一个与变量<我nl我ne-formula>
J米米l:米我>米米l:math>
在算法
1,gydF4y2Ba我们尽量避免额外的迭代。
<大胆>算法1:< /大胆>退火(自适应非单调线搜索)。
输入:
鉴于米米l:米text><米米l:msub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
ℝ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
常数米米l:米text><米米l:mi>
ε米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
σ米米l:米我><米米l:mo>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
ρ米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
0 1米米l:米n>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
β米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
0 1米米l:米n>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
J米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
ℕ米米l:米我>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
N米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o>
ℕ米米l:米我>米米l:math>
;
输出:
x米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我>米米l:msup>
;<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我>米米l:msup>
;
开始
k米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
;
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
;米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;米米l:米o>
H米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
H米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
海赛矩阵的米米l:米text><米米l:msub>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;
而
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≥米米l:米o>
ε米米l:米我><米米l:mtext>
和米米l:米text><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
N米米l:米我>米米l:math>
做
如果
H米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
是单数米米l:米text>米ml:math>
然后
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
−米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
其他的
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
−米米l:米o>
H米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
∖米米l:米我><米米l:msub>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
∖米米l:米我><米米l:mtext>
是矩阵分裂米米l:米text>米ml:mrow>
;
如果
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
<米米l:米o>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="‖" close="‖" separators="|">
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
然后
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
−米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;
其他的
如果
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
>米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
然后
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
−米米l:米o>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
或米米l:米text><米米l:msub>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
−米米l:米o>
0.5米米l:米n><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|">
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;
结束
结束
结束
α米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
;<我nl我ne-formula>
j米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
;<我nl我ne-formula>
计算米米l:米text><米米l:msub>
f米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:msub>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
δ米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
ρ米米l:米我><米米l:msubsup>
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
和米米l:米text><米米l:msub>
ℋ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
b米米l:米我><米米l:mi>
y米米l:米我>米米l:math>
(
18);
而1
做
j米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
j米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
;
如果
f米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
ℋ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:mi>
δ米米l:米我><米米l:mtext>
或米米l:米text><米米l:mi>
j米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
=米米l:米o>
J米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
b米米l:米我><米米l:mi mathvariant="bold">
r米米l:米我><米米l:mi mathvariant="bold">
e米米l:米我><米米l:mi mathvariant="bold">
一个米米l:米我><米米l:mi mathvariant="bold">
k米米l:米我><米米l:mo>
;米米l:米o>
e米米l:米我><米米l:mi mathvariant="bold">
n米米l:米我><米米l:mtext>
d米米l:米我>米米l:math>
;
然后
α米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
β米米l:米我><米米l:mi>
α米米l:米我>米米l:math>
;<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
=米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
α米米l:米我><米米l:msub>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;米米l:米o>
计算米米l:米text><米米l:msub>
f米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
;
结束
结束
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
;米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
f米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
;米米l:米o>
ℓ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
最小值米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|">
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
米米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
;
结束
x米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我>米米l:msup>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
;<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我>米米l:msup>
:米米l:米o>
=米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我>米米l:msup>
;
结束
3所示。全局收敛性在本节中,我们使我们的算法的全局收敛性。在我们的证明,我们采用方法(
11gydF4y2B一个]。
引理1。让序列<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
是一个序列生成算法
1;gydF4y2Ba然后下面的不平等是适用的:
(22)米米l:米text>米ml:mtd>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
证明。让我们开始用归纳法证明。
gydF4y2B一个如果<我nl我ne-formula>
k米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,从(
17gydF4y2B一个),我们从<我nl我ne-formula>
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≤米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
那
(23)米米l:米text>米ml:mtd>
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22gydF4y2B一个适用于所有<我nl我ne-formula>
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,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
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。继续证明,我们考虑两种情况:
案例1:<我nl我ne-formula>
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:
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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∑米米l:米o>
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=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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问米米l:米我>米米l:mrow>
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1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
p米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
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+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
−米米l:米o>
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k米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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0米米l:米n>米米l:mrow>
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−米米l:米o>
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r米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
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通过使用<我nl我ne-formula>
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,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
问米米l:米我>米米l:mrow>
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0、1、2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
问米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
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,米米l:米o>
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0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
p米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
问米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
≤米米l:米o>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
问米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
2米米l:米n>米米l:mrow>
和<我nl我ne-formula>
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问米米l:米我>米米l:msubsup>
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k米米l:米我><米米l:mi>
p米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne-formula>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
p米米l:米我>米米l:mrow>
≥米米l:米o>
λ米米l:米我>米米l:math>
,我们有
(25)米米l:米text>米ml:mtd>
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k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
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≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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k米米l:米我>米米l:mrow>
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k米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
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0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
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0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
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∑米米l:米o>
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0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
问米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
2米米l:米n>米米l:mrow>
∑米米l:米o>
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−米米l:米o>
∑米米l:米o>
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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∑米米l:米o>
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问米米l:米我><米米l:mo>
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+米米l:米o>
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−米米l:米o>
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−米米l:米o>
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k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
−米米l:米o>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
案例2:<我nl我ne-formula>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
>米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
因为<我nl我ne-formula>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
<米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:math>
证明在第一种情况下是相同的。
现在通过使用引理
1,gydF4y2Ba我们建立一个强大的新的nonmonotonte算法全局收敛性定理。
定理1。我们假设
1gydF4y2B一个- - - - - -
3gydF4y2B一个感到满意,<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
算法所产生的序列
1gydF4y2B一个。然后<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
⊆米米l:米o>
ℒ米米l:米我>米米l:math>
和
(26)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
F米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0。米米l:米n>米米l:mtd>
证明。从引理
1,gydF4y2Ba我们知道<我nl我ne-formula>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o>
ℒ米米l:米我>米米l:math>
对所有<我nl我ne-formula>
k米米l:米我>米米l:math>
。自<我nl我ne-formula>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
上有下界的<我nl我ne-formula>
ℒ米米l:米我>米米l:math>
,引理
1gydF4y2B一个意味着
(27)米米l:米text>米ml:mtd>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
μ米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
f米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o>
1米米l:米n>米米l:mrow>
。米米l:米o>
当<我nl我ne-formula>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:math>
,我们有
(28)米米l:米text>米ml:mtd>
λ米米l:米我><米米l:mstyle displaystyle="true">
∑米米l:米o>
r米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:mrow>
∞米米l:米我>米米l:munderover>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
r米米l:米我>米米l:mrow>
<米米l:米o>
∞米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>
这
(29)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0。米米l:米n>米米l:mtd>
从定义
1,gydF4y2Ba我们有
(30)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o>
g米米l:米我><米米l:mi>
k米米l:米我><米米l:mi>
T米米l:米我>米米l:msubsup>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0。米米l:米n>米米l:mtd>
使用的假设
2,gydF4y2Ba我们得出结论
(31)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
σ米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
这意味着<我nl我ne-formula>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
g米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n>米米l:math>
。因此,通过假设
3,gydF4y2Ba完成证明。
4所示。数值实验为了评估方法的计算效率,我们专注于提供一些数值结果的算法,用退火,并比较结果与DFU-PRP [
4gydF4y2B一个]。我们测试了算法通过一组示例。我们的算法停止如果终止条件<我nl我ne-formula>
f米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o>
10米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
11米米l:米n>米米l:mrow>
是满意的。所有的测试问题是来自[
12gydF4y2B一个),并使用MATLAB进行计算。
gydF4y2B一个问题。问题8
(32)米米l:米text>米ml:mtd>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
25米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
9米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:mfrac>
T米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
问题<我t一个l我c>b。问题26
(33)米米l:米text>米ml:mtd>
1米米l:米n><米米l:米o>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
2米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
3米米l:米n><米米l:米n>
4米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
3米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
−米米l:米o>
10米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
−米米l:米o>
10米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
−米米l:米o>
10米米l:米n>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
问题<我t一个l我c>c。问题39
(34)米米l:米text>米ml:mtd>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
3米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
3米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
4米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
2、2、2、2米米l:米n>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
问题<我t一个l我c>d。问题40
(35)米米l:米text>米ml:mtd>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
3米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
x米米l:米我>米米l:mrow>
4米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
3米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
4米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:mfrac>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米n>
3米米l:米n>米米l:mfrac>
,米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米n>
4米米l:米n>米米l:mfrac>
T米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
问题<我t一个l我c>e。61题
(36)米米l:米text>米ml:mtd>
3米米l:米n><米米l:米sub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
2米米l:米n><米米l:米subsup>
x米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
7米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
4米米l:米n><米米l:米sub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
3米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
11米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0.1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
0.1米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
0.1米米l:米n>米米l:mrow>
T米米l:米我>米米l:mrow>
。米米l:米o>
问题<我t一个l我c>f。81题
(37)米米l:米text>米ml:mtd>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
3米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
4米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
5米米l:米n><米米l:米n>
2米米l:米n>米米l:msubsup>
−米米l:米o>
10米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
3米米l:米n>米米l:mrow>
−米米l:米o>
5米米l:米n><米米l:米sub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
4米米l:米n>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
5米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米n>
3米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
x米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米n>
3米米l:米n>米米l:msubsup>
+米米l:米o>
1米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o>
0米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o>
x米米l:米我>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mrow>
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意味着的总数和梯度评估函数值的数量超过10000。
gydF4y2B一个在这个表中,DFU-PRP的值方法是根据数值结果在附录表
4gydF4y2B一个]。很明显从表
1gydF4y2B一个退火算法显示比DFU-PRP算法更好的性能。
5。结论在本文中,我们提出一个结合梯度算法和牛顿的方法求解非线性方程组。我们已经考虑了一个新的组合和不同于其他文学作品。数值结果表明,发达算法比其他类似的更有效。我们将这个算法扩展到信赖域方法在我们未来的研究。
数据可用性没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突作者宣称没有利益冲突。
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