JMATH 数学杂志 2314 - 4785 2314 - 4629 Hindawi 10.1155 / 2021/6698615 6698615 研究文章 三阶两点边值问题的数值解与重心有理插值的搭配方法 https://orcid.org/0000 - 0002 - 3990 - 378 x 通用电气 钱 https://orcid.org/0000 - 0003 - 4528 - 445 x 张 小平 李 金 学校的科学 山东建筑大学 济南250101 中国 sdjzu.edu.cn 2021年 18 2 2021年 2021年 19 11 2020年 26 1 2021年 4 2 2021年 18 2 2021年 2021年 版权©2021张黔通用电气和小平。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

数值解的一种三阶边值问题进行了探讨。重心有理插值的搭配方法,矩阵形式的三阶两点边值问题,得到了收敛性和误差分析。此外,据报道,一些数值例子证实了理论分析。

 工业大学合作的合作教育项目 201801123024 1。介绍

微分方程可以充分发挥数学不同学科的优势。微分方程的理论与实际问题相结合可以建立实际问题的模型。许多工程和物理问题可以转化为微分方程的初边值问题。在这些问题中,只有几个简单的案例分析可以解决,最需要解决的工程问题数值方法。与多项式插值相比,有理函数插值具有较高的插值精度,可以有效地克服插值的不稳定( 1- - - - - - 4]。重心有理插值不仅具有特殊的分布式节点上插值精度高但也有等距节点的插值精度高( 5- - - - - - 7]。这种方法已被用于解决某些问题,如沃尔泰拉积分方程( 2, 8, 9),延迟沃尔泰拉积分微分的方程( 10, 11[],平面弹性问题 12[],非线性问题 13],热传导方程[ 14],等等 15- - - - - - 17]。

三阶微分方程已经广泛应用在很多科学领域和重要的理论价值,应用数学和物理学等。因此,三阶边值问题已经受到了许多学者的广泛关注( 18- - - - - - 20.]。在本文中,我们考虑三阶两点边值问题的数值解, (1) u ‴ x + p u ” x + 问 u ′ x + r u x = f x , 一个 < x < b , (2) u 一个 = 一个 , u ′ 一个 = B , u ′ b = C , 或 u 一个 = 一个 , u ′ 一个 = B , u ” 一个 = C , 重心有理插值的搭配方法。

重心有理插值搭配方法意味着使用重心插值多项式找到函数的微分矩阵每个离散点;因此,微分方程的解可以通过矩阵运算。重心有理插值具有良好的数值稳定性和近似精度高,和重心有理插值公式有一个紧凑的计算公式的衍生品。因此,搭配重心有理插值方法是一种有效的方法求解微分方程的边值问题。

 2。公式的重心插值搭配方法

离散化区间<我nline-formula> 一个 , b 成<我nline-formula> n 统一的部分<我nline-formula> h = b − 一个 / n ,假设<我nline-formula> u 1 , u 2 , … , u n 是一个未知函数的函数值<我nline-formula> u 在离散的节点<我nline-formula> x 1 , x 2 , … , x n 。

对于任何<我nline-formula> 0 ≤ d ≤ n ,<我nline-formula> P x 我 , 我 = 0 1 , … , n − d 是在点的插值函数<我nline-formula> x 我 , x 我 + 1 , … , x 我 + d ;然后,我们有<我nline-formula> P 我 x k = f x k , k = 我 , 我 + 1 , … , 我 + d , (3) r x = ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x P 我 x ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x , 在哪里 (4) λ 我 x = − 1 我 x − x 我 ⋯ x − x 我 + d 。

通过改变多项式<我nline-formula> P 我 x 拉格朗日插值形式 (5) P 我 x = ∑ k = 我 我 + d ∏ j = 我 , j ≠ k 我 + d x − x j x k − x j f k 并结合( 4)和( 5)在一起,我们得到的 (6) ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x P 我 x = ∑ 我 = 0 n − d − 1 我 ∑ k = 我 我 + d 1 x − x k ∏ j = 我 , j ≠ k 我 + d 1 x k − x j f k = ∑ k = 0 n w k x − x k f k , 在哪里<我nline-formula> w k = ∑ 我 ∈ J k − 1 我 ∏ j = 我 , j ≠ k 我 + d 1 / x k − x j , J k = 我 ∈ 我 ; k − d ≤ 我 ≤ k 。

然后,我们得到 (7) r x = ∑ j = 0 n w j / x − x j f j ∑ j = 0 n w j / x − x j , 它的基函数在哪里吗 (8) l j x = w j / x − x j ∑ k = 0 n w k / x − x k 。

等距点的权函数 (9) w j = − 1 n − j C n j 。

第二类切比雪夫点, (10) x j = 因为 j π n , j = 0 1 , … , n , 权函数是 (11) w j = − 1 j δ j , δ j = 1 2 , j = 0 , n , 1 , 否则。

由公式( 8),<我talic> 米th阶的导数<我nline-formula> u x 在节点<我nline-formula> x 1 , x 2 , … , x n 可以表示为 (12) u 米 x j := u 我 米 = d 米 u x j d x 米 = ∑ k = 1 n l k 米 x j u k = ∑ k = 1 n D 我 j 米 u k , 米 = 1、2 , … , 然后( 12)可以写成矩阵形式 (13) u 米 = D 米 u , 在哪里<我nline-formula> u 米 = u 1 米 , u 2 米 , … , u n 米 T 和<我nline-formula> u = u 1 , u 2 , … , u n T 。

通过使用重心插值函数 (14) u n x = ∑ j = 0 n l j x u j , 方程( 1)可以用数值形式 (15) ∑ j = 0 n u j l j ” ′ x + p ∑ j = 0 n u j l j ” x + 问 ∑ j = 0 n u j l j ′ x + r ∑ j = 0 n u j l j x = f x 。

通过使用的符号微分矩阵,( 15)也可以表示为 (16) ∑ j = 0 n D 我 j 3 u j + p ∑ j = 0 n D 我 j 2 u j + 问 ∑ j = 0 n D 我 j 1 u j + r ∑ j = 0 n δ 我 j u j = f x 我 , 我 = 1、2 , … , n , 或者简单的矩阵形式 (17) D 3 + p D 2 + 问 D 1 + r 我 u = f 。

边界条件( 2)可分为 (18) u 1 = 一个 , u ′ x 1 = ∑ j = 0 n D 1 j 1 u j = B , u ′ x n = ∑ j = 0 n D n j 1 u j = C , 或 u 1 = 一个 , u ′ x 1 = ∑ j = 0 n D 1 j 1 u j = B , u ” x 1 = ∑ j = 0 n D 1 j 2 u j = C , 在哪里<我nline-formula> D k = D 我 j k n + 1 × n + 1 , (19) D 我 j 1 = w 我 x 我 − x j , 我 ≠ j , − ∑ k ≠ 我 D 我 k 1 , 我 = j , D 我 j 2 = 2 D 我 我 1 D 我 j 1 − D 我 j 1 x 我 − x j , 我 ≠ j , − ∑ k ≠ 我 D 我 k 2 , 我 = j , D 我 j 3 = 3 D 我 我 2 D 我 j 1 − D 我 j 2 x 我 − x j , 我 ≠ j , − ∑ k ≠ 我 D 我 k 3 , 我 = j 。 u = u 0 , u 1 , … , u n T , f = f x 0 , f x 1 , … , f x n T 。

3所示。收敛性和误差分析

在本节中,我们将考虑误差的等距问题插值节点: (20) x 我 = 一个 + b − 一个 n 我 , 我 = 0 1 , … , n 。

让<我nline-formula> u x 的解决方案( 1);对于任何<我nline-formula> 0 ≤ d ≤ n ,假设<我nline-formula> P x 我 , 我 = 0 1 , … , n − d ,重心插值函数在点<我nline-formula> x 我 , x 我 + 1 , … , x 我 + d ;然后,我们有<我nline-formula> P 我 x k = f x k , k = 我 , 我 + 1 , … , 我 + d , (21) r x = ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x P 我 x ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x , 在哪里 (22) λ 我 x = − 1 我 x − x 我 ⋯ x − x 我 + d 。

然后,误差函数被定义为 (23) e x := u x − P x = x − x 我 ⋯ x − x 我 + d x 我 , x 我 + 1 , … , x 我 + d , x f , 和 (24) e x = ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x u x − P 我 x ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x = 一个 x B x = O h d + 1 , 在哪里<我nline-formula> 一个 x : = ∑ 我 = 0 n − d − 1 我 x 我 , … , x 我 + d , x f 和 B x : = ∑ 我 = 0 n − d λ 我 x 。

以数值的形式, (25) ∑ j = 0 n u j l j ” ′ x + p ∑ j = 0 n u j l j ” x + 问 ∑ j = 0 n u j l j ′ x + r ∑ j = 0 n u j l j x = f x , 并结合( 24)和( 1),我们得到 (26) e ” ′ x + p e ” x + 问 e ′ x + r e x = R f x , 在哪里<我nline-formula> R f x = f x − f x k , k = 0、1、2 , … , n 。

引理1。

为<我nline-formula> e x 中定义的( 23),我们有 (27) e x ≤ C h d + 1 , u ∈ C d + 2 一个 , b , e ′ x ≤ C h d , u ∈ C d + 2 一个 , b , e ” x ≤ C h d − 1 , u ∈ C d + 3 一个 , b , d ≥ 1 , e ” ′ x ≤ C h d − 2 , u ∈ C d + 4 一个 , b , d ≥ 2。

让<我nline-formula> u x 的解决方案( 1),<我nline-formula> u n x 是数值解;然后,我们有 (28) u n ” ′ x k + p u n ” x k + 问 u n ′ x k + r u n x k = f x k , k = 0、1、2 , … , … n … , 和 (29) lim n ⟶ ∞ u n x = u x 。

结果可以在[ 1]。

根据引理 1,我们可以得到下面的定理。

定理1。

让<我nline-formula> f x ∈ C 一个 , b ,<我nline-formula> T u x : = u ” ′ x + p u ” x + 问 u ′ x + r u x ,<我nline-formula> u n x : T u n x = f x , u n ∗ x : T u n ∗ x = f ∗ x ;然后,我们有 (30) u n x − u n ∗ x ≤ C h d − 2 。

证明。

让<我nline-formula> l : = D 3 + p D 2 + 问 D 1 + r 我 (31) = D 00 3 + p D 00 2 + 问 D 00 1 + r D 01 3 + p D 01 2 + 问 D 01 1 ⋯ D 0 n 3 + p D 0 n 2 + 问 D 0 n 1 D 10 3 + p D 10 2 + 问 D 10 1 D 11 3 + p D 11 2 + 问 D 11 1 + r ⋯ D 1 n 3 + p D 1 n 2 + 问 D 1 n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ D n 0 3 + p D n 0 2 + 问 D n 0 1 D n 1 3 + p D n 1 2 + 问 D n 1 1 ⋯ D n n 3 + p D n n 2 + 问 D n n 1 + r 。

添加第二列,第三列,…,列<我talic> n列1, (32) l = r D 01 3 + p D 01 2 + 问 D 01 1 ⋯ D 0 n 3 + p D 0 n 2 + 问 D 0 n 1 r D 11 3 + p D 11 2 + 问 D 11 1 + r ⋯ D 1 n 3 + p D 1 n 2 + 问 D 1 n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ r D n 1 3 + p D n 1 2 + 问 D n 1 1 ⋯ D n n 3 + p D n n 2 + 问 D n n 1 + r 。

然后,我们有<我nline-formula> l ≠ 0 与<我nline-formula> r ≠ 0 ,<我nline-formula> u n x = ∑ j = 0 n l j x f j , 和 u n ∗ x = ∑ j = 0 n l j x f j ∗ ,在那里<我nline-formula> U n = f x 0 , f x 1 , … , f x n T 和 U n ∗ = f ∗ x 0 , f ∗ x 1 , … , f ∗ x n T 。

通过 (33) U n − U n ∗ = l − 1 l U n − F n ∗ , 这意味着 (34) u n x − u n ∗ x = ∑ 米 j x T e x , 在哪里<我nline-formula> 米 j x 矩阵的元素是什么<我nline-formula> l − 1 ,我们有 (35) u n x − u n ∗ x ≤ ∑ 米 j x T e x ≤ C h d − 2 。

完成证明。

 4所示。数值例子

作为一个例子,我们考虑的两点边值问题: (36) y ” ′ + y = f x , − 1 < x < 1 , (37) y − 1 = 0 , y 1 = 0 , y ′ − 1 = 0。

对于这个问题,我们可以找到一个函数<我nline-formula> f x 这样的分析解决方案 (38) y = 1 − x 2 1 + x e λ x , 在哪里<我nline-formula> λ 是一个自由选择的参数。

用( 38)( 36),我们得到 (39) f x = − 6 − 6 λ 1 + 3 x + 3 λ 2 1 − 2 x − 3 x 2 + λ 3 1 + x − x 2 − x 3 + 1 − x 2 1 + x e λ x 。

为不同的值<我nline-formula> d 和不同数量的节点,我们可以计算相应的相对误差和收敛速度;一些数据如表所示 1和 2。

错误和等距节点具有不同的收敛速度<我nline-formula> d 。

λ = 2
n d = 2 d = 3 d = 4 d = 5
错误 h α 错误 h α 错误 h α 错误 h α
10 7.1976<我talic> e+ 00 4.6412<我talic> e+ 00 2.4217<我talic> e+ 00 1.1522<我talic> e+ 00
20. 3.5555<我talic> e+ 00 1.0175 1.2336<我talic> e+ 00 1.9117 3.6419<我talic> e−01 2.7333 9.9594<我talic> e−02 3.5322
40 1.4588<我talic> e+ 00 1.2853 2.6378<我talic> e−01 2.2254 4.1431<我talic> e−02 3.1359 6.0309<我talic> e−03 4.0456
80年 5.5050<我talic> e−01 1.4060 5.1045<我talic> e−02 2.3695 4.1384<我talic> e−03 3.3236 3.1073<我talic> e−04 4.2786
160年 2.0058<我talic> e−01 1.4566 9.4229<我talic> e−03 2.4375 3.8810<我talic> e−04 3.4146 1.4799<我talic> e−05年 4.3921
320年 7.1879<我talic> e−02 1.4806 1.7004<我talic> e−03 2.4703 3.5301<我talic> e−05年 3.4586 6.7836<我talic> e−07年 4.4473
640年 2.5569<我talic> e−02 1.4912 3.0357<我talic> e−04 2.4858 3.1616<我talic> e−06 3.4810 3.1718<我talic> e−08年 4.4187
1280年 9.0650<我talic> e−03 1.4960 5.3912<我talic> e−05年 2.4933 2.8666<我talic> e−07年 3.4632 1.2685<我talic> e−08年 1.3222

错误和切比雪夫点具有不同的收敛速度<我nline-formula> d 。

λ = 2
n d = 2 d = 3 d = 4 d = 5
错误 h α 错误 h α 错误 h α 错误 h α
10 2.4329<我talic> e+ 00 1.3897<我talic> e+ 00 2.5216<我talic> e−01 1.1033<我talic> e−01
20. 8.8604<我talic> e−01 1.4572 1.3680<我talic> e−02 6.6665 4.5076<我talic> e−03 5.8058 1.5195<我talic> e−03 6.1821
40 1.8242<我talic> e−01 2.2801 2.8639<我talic> e−03 2.2561 1.4419<我talic> e−04 4.9664 7.2659<我talic> e−06 7.7082
80年 3.2188<我talic> e−02 2.5026 1.7517<我talic> e−04 4.0311 3.0543<我talic> e−06 5.5610 1.0125<我talic> e−07年 6.1652
160年 5.2215<我talic> e−03 2.6240 8.5892<我talic> e−06 4.3501 5.9098<我talic> e−08年 5.6916 1.0071<我talic> e−06 - - - - - -
320年 8.0770<我talic> e−04 2.6926 2.9760<我talic> e−07年 4.8511 1.9760<我talic> e−06 - - - - - - 2.2948<我talic> e−05年 - - - - - -
640年 1.2077<我talic> e−04 2.7416 2.8632<我talic> e−06 - - - - - - 6.856<我talic> e−05年 - - - - - - 1.0211<我talic> e−03 - - - - - -
1280年 1.7925<我talic> e−05年 2.7522 7.4861<我talic> e−05年 - - - - - - 1.2910<我talic> e−02 - - - - - - 9.6669<我talic> e−02 - - - - - -

在表 1,用不同的等距节点的收敛速度<我nline-formula> d 是<我nline-formula> O h d − 2 ;在表 2的收敛速度与不同的第二类切比雪夫点<我nline-formula> d 是<我nline-formula> O h d + 2 , d ≥ 2 。

为不同的值<我nline-formula> λ 和不同数量的节点,我们可以计算相应的相对误差;一些数据如表所示 3和 4。

错误和等距节点具有不同的收敛速度<我nline-formula> λ 。

d = 4
n λ = − 5 λ = 1 λ = 5 λ = 20.
错误 h α 错误 h α 错误 h α 错误 h α
10 3.6809<我talic> e+ 01 2.2939<我talic> e−01 2.1508<我talic> e+ 2 3.0238<我talic> e+ 08年
20. 1.3259<我talic> e+ 01 1.4731 2.6894<我talic> e−02 3.0925 6.1838<我talic> e+ 01 1.7983 8.0305<我talic> e+ 08年 - - - - - -
40 2.2319<我talic> e+ 00 2.5707 2.7208<我talic> e−03 3.3052 9.5448<我talic> e+ 00 2.6957 6.7632<我talic> e+ 08年 2.4778<我talic> e−01
80年 2.6875<我talic> e−01 3.0539 2.5675<我talic> e−04 3.4056 1.1054<我talic> e+ 00 3.1101 1.6623<我talic> e+ 08年 2.0246
160年 2.7599<我talic> e−02 3.2835 2.3416<我talic> e−05年 3.4548 1.1147<我talic> e−01 3.3098 2.4028<我talic> e+ 7 2.7904
320年 2.6249<我talic> e−03 3.3943 2.1009<我talic> e−06 3.4784 1.0509<我talic> e−02 3.4070 2.7001<我talic> e+ 06 3.1536

错误和切比雪夫点具有不同的收敛速度<我nline-formula> λ 。

d = 4
n λ = − 5 λ = 1 λ = 5 λ = 20.
错误 h α 错误 h α 错误 h α 错误 h α
10 1.0975<我talic> e+ 01 1.8992<我talic> e−02 4.4245<我talic> e+ 01 1.3431 e_01
20. 1.5012<我talic> e−01 6.1919 2.6112<我talic> e−04 6.1845 1.3603<我talic> e+ 00 5.0235 2.5740<我talic> e+ 08年 2.3835
40 5.5289<我talic> e−03 4.7630 8.0762<我talic> e−06 5.0149 4.7712<我talic> e−02 4.8334 1.4800<我talic> e+ 7 4.1204
80年 1.1729<我talic> e−04 5.5589 1.6777<我talic> e−07年 5.5891 1.0350<我talic> e−03 5.5267 3.5715<我talic> e+ 05 5.3729
160年 2.2528<我talic> e−06 5.7022 1.8130<我talic> e−08年 3.2100 2.3528<我talic> e−05年 5.4591 8.3139<我talic> e+ 03 5.4249
320年 1.3043<我talic> e−05年 - - - - - - 2.5236<我talic> e−06 - - - - - - 2.4682<我talic> e−06 3.2529 2.1982<我talic> e+ 2 5.2411

从表 3和 4,我们可以发现,不同的价值观<我nline-formula> λ ,收敛速度可以达到<我nline-formula> O h d + 2 d ≥ 2 对等距和nonequidistant节点。

 5。结论

摘要重心合理搭配方法求解三阶两点边值方程,和误差函数的收敛速度<我nline-formula> O h d − 2 也获得了。常系数和变系数的两点边值方程,数值结果表明,收敛速度可以达到<我nline-formula> O h d − 2 对等距节点和第二类切比雪夫点<我nline-formula> d ≥ 2 , 所以重心合理搭配方法是一种有效的方法。与其他方法相比,这种方法的优点是,矩阵方程可以很容易地获得,程序简单,计算精度高,可以通过使用一些点。

 数据可用性

的数据支持本研究的发现可以从相应的作者在合理的请求。

 的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 确认

工业大学合作的支持合作教育项目(201801123024)。

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