JMATH 数学杂志 2314 - 4785 2314 - 4629 Hindawi 10.1155 / 2021/3273117 3273117 研究文章 Sombor指数的应用程序在一个特殊的半群类图 https://orcid.org/0000 - 0003 - 1338 - 1466 Oğuz Unal 丝绸 Vadivel R。 中学科学和数学教育的部门 教育学院 Cumhuriyet大学 中部瑟瓦斯省58140 土耳其 cumhuriyet.edu.tr 2021年 15 11 2021年 2021年 18 8 2021年 18 10 2021年 25 10 2021年 15 11 2021年 2021年 版权©2021 Seda Oğuz Unal。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

最近,古特曼介绍了一类新颖的拓扑不变量命名Sombor指数定义为<我nline-formula> 年代 O G = ∑ u v ∈ E G d u 2 + d v 2 。在这项研究中,单基因半群的Sombor指数图,这是一个重要的代数结构,计算。

 1。介绍和预赛

单基因半群图的灵感来源于零因子图。因此,在继续之前的主要主题,重点研究零因子图(见[ 1- - - - - - 4])。相对于零因子图的研究有许多作者研究交换和非交换戒指和它如何先进,DeMeyer et al。 5, 6)研究开发了交换和非交换半群与零因子图。作者在 7)利用相邻的顶点,同时仍然保持最初的想法。作者决定一个有限乘法单基因半群与0如下: (1) 年代 米 = 0 , x , x 2 , x 3 , … , x n 。

利用这个想法中定义( 5, 6),作者获得一个新的图相关的单基因半群( 7]。这张图的顶点都非零元素<我nline-formula> 年代 米 对于任何两个不同的顶点<我nline-formula> x 我 和<我nline-formula> x j 在哪里<我nline-formula> 1 ≤ 我 , j ≤ n 是相互联系的,当且仅当吗<我nline-formula> 我 + j > n 。有许多关于单基因研究半群图由Akguneşet al。(见例如[ 8- - - - - - 10])。

在化学拓扑指标已经存在了超过半个世纪 11]。在新时期,他们也被广泛研究的数学家。这些指标用于模型分子的结构特性和提供有价值的信息物理化学,材料科学、药理学、环境科学、生物学( 12]。最近,一种新的基于拓扑指数,称为Sombor指数,提出了古特曼( 13]。最初,该指数应用于化学( 14- - - - - - 18),很快吸引了数学家的兴趣( 19- - - - - - 22]。然而,最终,Sombor指数在网络科学发现应用程序也在生物学和用于建模动力学影响,社会和技术复杂的系统( 23]。看来,这个指数变得有趣也用于军事目的 24]。这一切都发生在不到一年的出版文献[ 13]。Sombor的广泛研究活动指数,它可能感兴趣的寻求更深层次的代数关系。在本文中,我们报告有关的一些结果Sombor指数与代数的一个重要的类结构,即与单基因半群。

对于一个图<我nline-formula> G ,它的边缘和顶点集合用<我nline-formula> E G 和<我nline-formula> V G ,分别。

Sombor指数发现的;古特曼( 13)是定义的vertex-degree-based拓扑指数之一 (2) 年代 O G = ∑ u v ∈ E G d u 2 + d v 2 , 因为函数<我nline-formula> F x , y = x 2 + y 2 没有利用。

另外,提醒一下,对于一个实数<我nline-formula> r 我们确定的<我nline-formula> r 最大的整数<我nline-formula> ≤ r ,通过<我nline-formula> ⌈ r ⌉ ,最小的整数<我nline-formula> ≥ r 。很明显,<我nline-formula> r − 1 < r ≤ r 和<我nline-formula> r ≤ ⌈ r ⌉ < r + 1 。然而,对于一个自然数<我nline-formula> n ,我们有 (3) n 2 = n 2 , 如果 n 是偶数, n − 1 2 , 如果 n 是奇数 。

在本文中,我们专注于确定单基因的显式公式Sombor指数半群图。

 2。一个算法

作者在 8)来简化他们的研究给了顶点的算法有关社区利用单基因的最初声明半群图。我们将使用这个算法在我们的主要定理在接下来的部分。

我 n :顶点<我nline-formula> x n 每个顶点相邻吗<我nline-formula> x 我 1 1 ≤ 我 1 ≤ n − 1 除了本身。

我 n − 1 :顶点<我nline-formula> x n − 1 每个顶点相邻吗<我nline-formula> x 我 2 2 ≤ 我 2 ≤ n − 2 除了本身和顶点<我nline-formula> x n 。

我 n − 2 :顶点<我nline-formula> x n − 2 每个顶点相邻吗<我nline-formula> x 我 3 3 ≤ 我 3 ≤ n − 3 除了本身和顶点<我nline-formula> x n 和<我nline-formula> x n − 1 。

进行这样的算法,我们得到以下结果,这取决于数量<我talic> n是奇数或偶数。

如果<我nline-formula> n 是偶数,

我 n / 2 + 2 :顶点<我nline-formula> x n / 2 + 2 不仅是相邻的顶点<我nline-formula> x n / 2 − 1 ,<我nline-formula> x n / 2 ,<我nline-formula> x n / 2 + 1 但也到顶点<我nline-formula> x n ,<我nline-formula> x n − 1 ,<我nline-formula> x n − 2 ,<我nline-formula> … ,<我nline-formula> x n / 2 + 3 。

我 n / 2 + 1 :顶点<我nline-formula> x n / 2 + 1 毗邻的不仅是单顶点吗<我nline-formula> x n / 2 但也到顶点<我nline-formula> x n ,<我nline-formula> x n − 1 ,<我nline-formula> x n − 2 、…<我nline-formula> x n / 2 + 2 。

如果<我nline-formula> n 是奇数,

我 n + 1 / 2 :顶点<我nline-formula> x n + 1 / 2 + 2 不仅是相邻的顶点<我nline-formula> x n + 1 / 2 − 2 ,<我nline-formula> x n + 1 / 2 − 1 ,<我nline-formula> x n + 1 / 2 ,<我nline-formula> x n + 1 / 2 + 1 相邻的顶点<我nline-formula> x n ,<我nline-formula> x n − 1 ,<我nline-formula> x n − 2 、…<我nline-formula> x n + 1 / 2 + 3 。

我 n + 1 / 2 + 1 :顶点<我nline-formula> x n + 1 / 2 + 1 不仅是相邻的顶点<我nline-formula> x n + 1 / 2 − 1 和<我nline-formula> x n + 1 / 2 相邻的顶点<我nline-formula> x n − 1 ,<我nline-formula> x n − 2 、…<我nline-formula> x n + 1 / 2 + 2 。

下面的引理给出顶点的度<我nline-formula> x 1 , x 2 , … , x n ∈ Γ 年代 米 是用<我nline-formula> d 1 , d 2 , … , d n 。有许多研究学位系列。关于这一点,你可以参考 7, 25在这些研究)和引用引用。事实上,在下面的引理,提到有一个排序之间的度<我nline-formula> d 1 , d 2 , … , d n 。你能达到这个引理的证明( 7),以及从上面给出的算法(见 8])。

引理1。

(4) d 1 = 1 , d 2 = 2 , … , d n / 2 = n 2 , d n / 2 + 1 = n 2 , d n / 2 + 2 = n 2 + 1 , … , d n = n − 1。

备注1。

关注引理 1,重复条件如下: (5) d n / 2 = n 2 = d n / 2 + 1 。

因此,的程度<我nline-formula> d n 用<我nline-formula> n − 1 ,尽管顶点的数量<我nline-formula> n 。

 3所示。计算Sombor指数< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = "还有M78 " > < mml: mi mathvariant =“正常”>Γ< / mml: mi > < mml: mfenced开放=”(“=”)“分隔符= " | " > < mml: mrow > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > S < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi > M < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml: mrow > < / mml: mfenced > < / mml:数学> < / inline-formula >

在本节中,我们将获得一个精确的公式Sombor指数的单基因半群图。

定理1。

对于任何一个单基因半群 年代 米 鉴于在( 1)<我talic> 的Sombor指数图 Γ 年代 米 是 (6) 年代 O Γ 年代 米 = ∑ k = 1 n / 2 − 1 ∑ 我 = k n − k − 1 n − k 2 + 我 2 + ∑ k = 1 n / 2 n − k 2 + n 2 2 , 如果 n 是偶数, ∑ k = 1 n − 1 / 2 ∑ 我 = k n − k − 1 n − k 2 + 我 2 + ∑ k = 1 n − 1 / 2 n − k 2 + n 2 2 , 如果 n 是奇数 。

证明。

因为我们的目标是制定<我nline-formula> 年代 O Γ 年代 米 度的总数而言,我们需要将之和作为不同的块,然后计算每个单独的总和。在我们的计算,我们将使用部分中给出的算法 2在这里,因为它提供了一个系统化的方法来计算顶点的度。我们还将利用方程( 3)和( 4)和评论 1

如果<我nline-formula> n 是奇数, (7) 年代 O Γ 年代 米 = d n 2 + d 1 2 + d n 2 + d 2 2 + d n 2 + d 3 2 + ⋯ + d n 2 + d n − 2 2 + d n 2 + d n − 1 2 + + d n − 1 2 + d 2 2 + d n − 1 2 + d 3 2 + ⋯ + d n − 1 2 + d n − 2 2 + + ⋯ + + d n + 1 / 2 + 2 2 + d n + 1 / 2 − 2 2 + d n + 1 / 2 + 2 2 + d n + 1 / 2 − 1 2 + d n + 1 / 2 + 2 2 + d n + 1 / 2 2 + d n + 1 / 2 + 2 2 + d n + 1 / 2 + 1 2 + d n + 1 / 2 + 1 2 + d n + 1 / 2 − 1 2 + d n + 1 / 2 + 1 2 + d n + 1 / 2 2 。

结果,Sombor指数<我nline-formula> Γ 年代 米 写如下之和: (8) 年代 O Γ 年代 米 = ∑ 我 j ∈ E G d 我 2 + d j 2 = 年代 O n + 年代 O n − 1 + ⋯ + 年代 O n + 1 / 2 + 2 + 年代 O n + 1 / 2 + 1 。

在计算Sombor指数求和,最后我们将编写最小的程度,所以我们会得到第二个总,这将为我们提供易于操作。顺便说一下,在做这些计算,我们使用方程<我nline-formula> n / 2 = n − 1 / 2 在( 2)的情况<我nline-formula> n 是奇数。 (9) 年代 O n = n − 1 2 + 1 2 + n − 1 2 + 2 2 + n − 1 2 + 3 2 + ⋯ + n − 1 2 + n 2 2 + ⋯ + + n − 1 2 + n − 2 2 + n − 1 2 + n 2 2 = ∑ 我 = 1 n − 2 n − 我 2 + 我 2 + n − 1 2 + n − 1 2 2 。

如果类似的操作应用<我nline-formula> 年代 O n 应用于<我nline-formula> 年代 O n − 1 ,我们获得 (10) 年代 O n − 1 = ∑ 我 = 2 n − 3 n − 我 2 + 我 2 + n − 2 2 + n − 1 2 2 , 年代 O n + 1 / 2 + 2 = n + 3 2 2 + n − 3 2 2 + n + 3 2 2 + n − 1 2 2 + n + 3 2 2 + n − 1 2 2 + n + 3 2 2 + n + 1 2 2 , 最后, (11) 年代 O n + 1 / 2 + 1 = n + 1 2 2 + n − 1 2 2 + n + 1 2 2 + n − 1 2 2 。

因此, (12) 年代 O n + 年代 O n − 1 + ⋯ + 年代 O n + 1 / 2 + 2 + 年代 O n + 1 / 2 + 1 = ∑ k = 1 n − 1 / 2 ∑ 我 = k n − k − 1 n − k 2 + 我 2 + ∑ k = 1 n − 1 / 2 n − k 2 + n 2 2 。

如果我们遵循同样的步骤<我nline-formula> n 很奇怪,我们将得到以下金额如果<我nline-formula> n 是: (13) 年代 O n + 年代 O n − 1 + ⋯ + 年代 O n / 2 + 2 + 年代 O n / 2 + 1 = ∑ k = 1 n / 2 − 1 ∑ 我 = k n − k − 1 n − k 2 + 我 2 + ∑ k = 1 n / 2 n − k 2 + n 2 2 。

推论1。

在[ 26, 27),作者表现出Sombor指数可以是整数在几个图结构。在单基因半群的图表,它被认为是不可能Sombor指数的一个整数值根据给出的公式定理 1。

我们会给下面的例子加强定理 1。

例1。

考虑到单基因半群<我nline-formula> 年代 米 6 下面和Sombor指数的计算<我nline-formula> Γ 年代 米 6 图通过应用规则给出了定理 1: (14) 年代 米 6 = x , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ∪ 0 。

单基因半群的图表,用灵感来自定义零因子图,也包含0元素。因为的顶点<我nline-formula> x 我 和<我nline-formula> x j 被任意单基因的半群,可以相互连接,也就是说,条件的充分必要条件<我nline-formula> x 我 x j = 0 是<我nline-formula> 我 + j > n 。本着这一信息,<我nline-formula> 年代 米 6 图在图给出 1。 (15) 年代 O Γ 年代 米 6 = ∑ k = 1 2 ∑ 我 = k 5 − k 6 − k 2 + 我 2 + ∑ k = 1 3 6 − k 2 + 3 2 = 5 2 + 1 2 + 5 2 + 2 2 + 5 2 + 3 2 + 5 2 + 4 2 + 4 2 + 2 2 + 4 2 + 3 2 + 5 2 + 3 2 + 4 2 + 3 2 + 3 2 + 3 2 。

年代 米 6 单基因半群图。

在下面的示例中,Sombor指数相应的hydrogen-suppressed分子图,相当于<我nline-formula> Γ 年代 米 4 单基因半群图,计算。

例2。

Sombor指数单基因的半群<我nline-formula> 年代 米 4 下面给出的计算方法是通过应用定理 1。 (16) 年代 米 4 = x , x 2 , x 3 , x 4 ∪ 0 。

的<我nline-formula> 年代 米 4 图在图给出 2。 (17) 年代 O Γ 年代 米 4 = ∑ k = 1 ∑ 我 = 1 2 4 − k 2 + 我 2 + ∑ k = 1 2 4 − k 2 + 2 2 = 3 2 + 1 2 + 3 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 。

可以看到,单基因半群的Sombor指数图可以很轻易与给定的公式计算公式 1。

年代 米 4 单基因半群图(对应hydrogen-suppressed分子图)。

 数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

 的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

 确认

作者想表达他的感谢教授伊万古特曼博士为他宝贵的支持和专业知识在本文的研究阶段。

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