JMATH 数学杂志 2314 - 4785 2314 - 4629 Hindawi 10.1155 / 2020/7052349 7052349 研究文章 萎缩的投影算法与错误Costerro有界的线性映射 https://orcid.org/0000 - 0002 - 7868 - 1147 戈登 约瑟夫·弗兰克 吉尔 珀L 数学系 南京航空航天大学 南京211106 中国 nuaa.edu.cn 2020年 29日 4 2020年 2020年 09年 01 2020年 25 03 2020年 31日 03 2020年 29日 4 2020年 2020年 版权©2020年约瑟夫·弗兰克·戈登。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

本文的目的是介绍和分析投影收缩算法与错误的有限集costerro有界的线性映射的设置一致凸的光滑的巴拿赫空间。这里,在有限维或紧性限制或误差项为零,序列的强极限点在这些映射的迭代计划一致凸的光滑的巴拿赫空间进行了研究。本文扩展了Ezearn和Prempeh扩张映射的结果真正的希尔伯特空间。

 1。介绍

定点理论是一个吸引人的话题,有很多数学和工程学的应用在各个领域。在许多情况下,你可能需要找到一个映射的公共不动点的一个家庭。在实践中,可能需要修改,将问题转化为一个定点的问题(见,例如,皮卡德( 1]和Lindelof [ 2])。定点问题的更多信息和它的应用程序特定类型的线性和非线性问题,有兴趣的读者应该是指唐代和张 3(平衡问题),Solodov和Svaiter 4(近点算法),高桥( 5, 6(凸优化和最小化问题),布卢姆和Oettli 7)(变分不等式)。

在实践中,找到一个确切的封闭形式的解决方案一个定点的问题几乎是一个艰巨的任务。出于这个原因,这是特别重要的发展的可行的近似不动点的迭代计划或方法特定的地图,最值得注意的是,扩张映射类型的映射。例如,Halpern [ 8,曼 9],石川[ 10)研究和开发了一个近似迭代计划扩张映射的不动点希尔伯特空间在一定条件下。在他们的方案中,强收敛总是保证所有闭凸子集的希尔伯特空间。Haugazeau [ 11)最初提出的投影法后由Solodov Svaiter [ 4]。一种投影法的相关性和本文称为核心 缩小投影方法和错误,这是由高桥et al。 12和Yasunori所使用的 13]。强收敛结果总是保证所有闭凸子集的希尔伯特空间在一定条件下。

在[ 14],Ezearn和Prempeh改善Yasunori的有界性要求的结果 13]关于缩小投影算法共同扩张映射的不动点真正的希尔伯特空间。在他们的研究结果,他们表明,有界性要求Yasunori的结果可能会被删除。也就是说,迭代序列的收敛Yasunori的论文中给出的方案,即误差项 ε 0 = 0 是独立的有界闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。删除的有界性,Ezearn Prempeh进一步提供了一个更好的估计算法的迭代序列的收敛结果特别是在有限维闭凸集时,进一步表明,紧凑,他们估计不涉及子集的直径。

本文结果表明,迭代序列的强极限点 x n n ≥ 1 提出了在迭代计划1总是存在于一个有限维空间。时,它还表明,空间不是有限维,强大的极限点 x n n ≥ 1 保证当闭凸子集紧凑。最后,强大的极限点 x n n ≥ 1 也存在当误差项( ε 0 )是零不管闭凸子集的紧性和空间的维数。

定义1。

(正常对偶映射,看到lun ( 15])。让 X 巴拿赫空间与规范 ⋅ ,让 X ∗ 的对偶空间 X 。表示 ⋅ , ⋅ 二元性的产品。正常化对偶映射 J 从 X 来 X ∗ 被定义为 (1) J x ≔ f ∈ X ∗ : f ∗ 2 = x 2 = x , f = f x , 对所有 x ∈ X 。哈恩巴拿赫定理保证 J x ≠ ∅ 对于每一个 x ∈ X 。对于本文的目的,兴趣主要位于时的情况 J x 所有单值吗 x ∈ X ,相当于声明 X 是一个光滑的巴拿赫空间。

在这篇文章中, ℜ 表示一个复数的实部 F T 是用来表示一组映射的不动点吗 T (即, F T = x ∈ C : T x = x )。

研究本文中定义的映射。

 定义2。

(costerro有界的线性映射)。让 X 是一个严格凸反射性的空间和光滑 C 一个封闭的凸子集 X 。一个映射 T : C ⟶ X 据说如果costerro有界的线性映射 (2) T x ≤ x , 这样,当 z ∈ F T ,然后 (3) ℜ z , J T x − J x ≥ 0 , ∀ x , z ∈ C 。

立即的例子,这种映射的缩放因子 (4) T x = 一个 x , 的比例因子 一个 位于封闭的单位圆盘。

为了国家的迭代计划,下面的函数定义。

 定义3。

(广义投影功能,看到阿尔伯 16])。让 X 是一个光滑的巴拿赫空间,让 X ∗ 的对偶空间 X 。广义投影功能 ϕ ⋅ , ⋅ : X × X ⟶ ℝ 被定义为 (5) ϕ y , x = y 2 − 2 ℜ y , J x + x 2 , 对所有 x , y ∈ X ,在那里 J 正常化对偶映射来自哪里 X 来 X ∗ 。很明显从广义投影功能的定义 ϕ ⋅ , ⋅ 满足如下不等式: (6) y − x 2 ≤ ϕ y , x ≤ y + x 2 , 对所有 x , y ∈ X 。

注意,普遍投影功能 ϕ ⋅ , ⋅ 是连续的。

下一个函数是在建立了迭代计划通过以下定理。

 定理1。

(广义投影,见李( 17])。让 X 是一个均匀凸光滑的巴拿赫空间,让 C ≠ ∅ 是一个封闭的凸子集 X 。然后,对于每一个 x ∈ X 有一个独特的存在 y ∈ C 这样 (7) Λ x , C = ϕ y , x = 正 z ∈ C ϕ z , x 。

独特的观点 y 满足方程( 7)是普遍的投影 x 在 C 。也就是说,投影算符 Π C : X ⟶ C 通过设置定义 (8) Π C x = y , 在哪里 y 是唯一的吗 C 满足方程( 7)。

 备注1。

在定理 1请注意,如果 X 是一个希尔伯特空间呢 ϕ y , x = y − x 2 。因此,(普遍)投影 Π C 定义在方程( 8)伴随着度量投影 C 希尔伯特空间的设置。反过来不一定是真正的一般巴拿赫空间。

迭代计划说明如下。

迭代计划1所示。让 X 是一个均匀凸光滑的巴拿赫空间,让 C ≠ ∅ (不一定是有界)是一个封闭的凸子集 X 。让 T k k = 1 米 是有限集costerro从有界的线性映射 C 来 X 与 F ≔ ∩ k = 1 米 F T k ≠ ∅ 。让 α n , k n ≥ 1 和 ε n n ≥ 1 是真正非负序列满足下列条件:

α n , k n ≥ 1 ⊂ 0 1

∑ k = 1 米 α n , k = 1

α k ≔ lim 正 n ⟶ ∞ α n , k > 0

ε 0 ≔ lim 吃晚饭 n ⟶ ∞ ε n < ∞

对所有 1 ≤ k ≤ 米 和 n ≥ 1 。

然后,对于任意的 u ∈ X 与假设 x 1 ∈ C 1 ≔ C 和 ϕ x 1 , u < ε 1 2 ,序列 x n n ≥ 1 迭代定义由以下方案: (9) ℬ n = z ∈ C : ∑ k = 1 米 α n , k ϕ z , T k x n ≤ ϕ z , x n , C n + 1 = ℬ n ∩ C n , x n + 1 ∈ C n + 1 , ϕ x n + 1 , u ≤ Λ u , C n + 1 + ε n + 1 2 , 对所有 n ≥ 1 。

 2。预赛

的不平等 ℜ z , J T x − J x ≥ 0 在定义 2可以写同样的规范。这是实现通过基本引理的Ezearn [ 18]。这里给出的证据是为了完整性。

定理2。

(见,例如,Ezearn [ 18])。让 X 是一个光滑的巴拿赫空间,让 x ∈ X \ 0 和任何 y ∈ X 。然后, (10) 1 x ℜ y , J x = lim α ⟶ 0 x + α y − x α , 对所有 α > 0 。

 引理1。

(见Ezearn [ 18])。让 X 是一个光滑的巴拿赫空间 x 1 , x 2 , … , x 米 , y ∈ X 在哪里 米 ∈ ℕ 。然后, (11) ∑ k = 1 米 x k 2 ≤ ∑ k = 1 米 x k x k + α y , 对所有 α ∈ 0 , 问 ( 问 ∈ ℝ > 0 )当且仅当 (12) ℜ y , J x 1 + J x 2 + ⋯ + J x 米 ≥ 0。

证明。

如果 α = 0 轻松,那么引理证明,因此,假定 α ≠ 0 (不失一般性,它也同样认为 x k ≠ 0 )。现在,如果 ℜ ∑ k = 1 米 y , J x k ≥ 0 ,然后 (13) ∑ k = 1 米 x k 2 = ℜ ∑ k = 1 米 x k , J x k ≤ ℜ ∑ k = 1 米 x k + α y , J x k ≤ ∑ k = 1 米 x k + α y x k 。

相反,如果 ∑ k = 1 米 x k 2 ≤ ∑ k = 1 米 x k x k + α y 对于每一个 α ∈ 0 , 问 ( 问 ∈ ℝ > 0 ),然后 (14) 0 ≤ 1 α ∑ k = 1 米 x k x k + α y − x k = ∑ k = 1 米 x k x k + α y − x k α 。

以限制为 α ⟶ 0 由定理,然后 2方程( 14)成为 (15) 1 x k ℜ ∑ k = 1 米 y , J x k ≥ 0。

自 x k ≠ 0 ,然后 ℜ ∑ k = 1 米 y , J x k ≥ 0 因此证明。

 推论1。

的不平等 ℜ z , J T x − J x ≥ 0 相当于 (16) T x 2 + x 2 ≤ T x T x + α z + x x − α z , 对所有 α ≥ 0 。

 证明。

通过考虑引理 1时的情况 米 = 2 的不平等 (17) ℜ z , J x 1 − J x 2 = ℜ z , J x 1 + J − x 2 ≥ 0 , 相当于下列条件: (18) ∑ k = 1 2 x k 2 ≤ ∑ k = 1 2 x k x k + α y , x 1 2 + x 2 2 ≤ x 1 x 1 + α y + x 2 x 2 + α y 。

现在,取代 x 1 与 T x , y 与 z , x 2 与 − x 推论证明了。

下面,costerro有界的线性映射的一个重要的例子是鉴于称为Ezearn扩张映射的映射。Ezearn在他的论文( 18),已定义的某些密切相关的映射(命名类型III变分扩张映射)。

 推论2。

(Ezearn扩张映射)。让 C 是一个严格凸闭凸子集的光滑的反射性的空间 X 。然后,下面是一个非平凡costerro有界的线性映射的例子: (19) T x 2 + T y 2 + x 2 − y 2 ≤ T x T x + α T y + x x − α y , 对所有 x , y ∈ C 和所有 α ≥ 0 。

 证明。

为 α = 0 方程( 19)减少如下: (20) T x 2 + T y 2 + x 2 − y 2 ≤ T x 2 + x 2 , T y 2 ≤ y 2 , T y ≤ y , 满足的第一部分定义呢 2。显示的第二部分定义 2,如果 y ∈ F T ,在那里 F T 指的是固定的点集 T ,然后方程( 19)降低了以下评估: (21) T x 2 + y 2 + x 2 − y 2 ≤ T x T x + α y + x x − α y , T x 2 + x 2 ≤ T x T x + α y + x x − α y , 的必然结果 1相当于 ℜ y , J T x − J x ≥ 0 。因此证明。

 引理2。

(见,例如,Ezearn [ 18])。让 C n n ≥ 1 是一个非空的闭凸子集序列一致凸的光滑的巴拿赫空间 X 这样 C n + 1 ⊂ C n 。进一步假设 C ∞ = ∩ n ≥ 1 C n 非空的。然后,广义预测的序列 Π C n x n ≥ 1 强烈收敛 Π C ∞ x 对于任何 x ∈ X 。

 命题1。

(seeAlber [ 19),阿尔伯和帝国 20.],Kamimura和高桥 21])。让 X 是一个真正的一致凸的巴拿赫空间和光滑 C ≠ ∅ 是一个封闭的凸子集 X 。然后,下面的不平等是适用的: (22) ϕ y , Π C x + ϕ Π C x , x ≤ ϕ y , x , 对所有 y ∈ C 和 x ∈ X 。

 命题2。

在二元性配对(连续性)。让 X 巴拿赫空间,让 X ∗ 的对偶空间 X 。表示 ⋅ , ⋅ 二元性的产品。现在,对于 x n n ≥ 1 ⊂ X 和 f n n ≥ 1 ⊂ X ∗ 假设的下列条件:

x n ⇀ x 和 f n ⟶ f

x n ⇀ x 和 f n ⇀ ∗ f

然后, lim n ⟶ ∞ x n , f n = x , f 。

 引理3。

(弱star-continuity在光滑的空间)。让 X 是一个真正的光滑的巴拿赫空间。然后, J : X ⟶ X ∗ norm-to-weak明星是连续的,在哪里 J 是规范化对偶映射。

 引理4。

(见Kamimura和高桥 21])。让 X 一致凸和光滑的巴拿赫空间,让 x n 和 y n 两个序列在 X 这样,要么 x n 或 y n 是有界的。如果 lim n ⟶ ∞ ϕ x n , y n = 0 ,然后 lim n ⟶ ∞ x n − y n = 0 。

 3所示。主要结果

本文的主要结果的证明在这一节中,给出完成的定理 3。以下推论和前题要援助到达结论的主要结果。

推论3。

如果序列 x n n ≥ 1 有很强的极限点,说什么 x ,然后 x ∈ F = ∩ k = 1 米 F T k 。

 证明。

不失一般性,它假定序列 x n n ≥ 1 = x 1 , x 2 , x 3 , … 子序列收敛于吗 x 。现在,对于 n ≥ 1 ,因为集 C n 形成一个递减序列集, C n + 1 ⊂ C n ,然后从迭代方案1, x n + 1 ∈ C n + 1 ⊂ C n ,在那里 x n + 1 n ≥ 1 = x 2 , x 3 , x 4 , … 。因此,可以看出 (23) ∑ k = 1 米 α n , k ϕ x n + 1 , T k x n ≤ ϕ x n + 1 , x n 。

因此,在极限 n ⟶ ∞ 上面的不平等,得到如下: (24) lim n ⟶ ∞ ∑ k = 1 米 α n , k ϕ x n + 1 , T k x n ≤ lim n ⟶ ∞ ϕ x n + 1 , x n 。

由命题 2和引理 3, lim n ⟶ ∞ ϕ x n + 1 , x n ⟶ 0 结果,得到如下: (25) lim n ⟶ ∞ ∑ k = 1 米 α n , k ϕ x n + 1 , T k x n ≤ 0。

由于普遍的功能 ϕ ⋅ , ⋅ 是负的,下确界的极限 α n , k 是所有非零 k 下面是获得: (26) lim n ⟶ ∞ ϕ x n + 1 , T k x n = 0 , 对所有 k ∈ 1 , … , 米 。

通过引理 4, (27) lim n ⟶ ∞ x n + 1 − T k x n = 0 , 对所有 k ∈ 1 , … , 米 证明这一推论,由于规范功能的连续性和映射 T k 。

 引理5。

对所有 n ≥ 1 ,集 ℬ n 和 C n 在迭代计划1闭凸集。

 证明。

因为 C 1 ≔ C 是一个封闭的凸集的假设,这足以证明吗 ℬ n 是一个封闭的凸集的 n 。引理的证明关闭方面,如果 z j j ≥ 1 ⊂ ℬ n 收敛于 z ∈ C ,然后通过全面功能的连续性 ϕ ⋅ , ⋅ 下面是获得: (28) ∑ k = 1 米 α n , k ϕ z , T k x n = lim j ⟶ ∞ ∑ k = 1 米 α n , k ϕ z j , T k x n ≤ lim j ⟶ ∞ ϕ z j , x n = ϕ z , x n , 结果, z ∈ ℬ n 。

最后,证明了凸性,让 u , v ∈ ℬ n 和 t ∈ 0 1 。首先,请注意,每当 z ∈ ℬ n ,然后获得不平等: (29) ∑ k = 1 米 α n , k ϕ z , T k x n ≤ ϕ z , x n , 这可以扩展和观察到相当于吗 (30) ∑ k = 1 米 α n , k T k x n 2 − x n 2 ≤ 2 ℜ ∑ k = 1 米 α n , k z , J T k x n − J x n 。

所以通过替换 z = u 和乘 t 并将它添加到 z ≔ v 乘以 1 − t 下面是获得: (31) ∑ k = 1 米 α n , k T k x n 2 − x n 2 = t ∑ k = 1 米 α n , k T k x n 2 − x n 2 + 1 − t ∑ k = 1 米 α n , k T k x n 2 − x n 2 ≤ 2 t ℜ ∑ k = 1 米 α n , k u , J T k x n − J x n + 2 1 − t ℜ ∑ k = 1 米 α n , k v , J T k x n − J x n = 2 ℜ ∑ k = 1 米 α n , k t u + 1 − t v , J T k x n − J x n , 得出 (32) ∑ k = 1 米 α n , k ϕ t u + 1 − t v , T k x n ≤ ϕ t u + 1 − t v , x n 。

因此, ℬ n 是凸的。

现在,定义 (33) C ∞ ≔ ∩ n ≥ 1 C n 。

引理6。

一组 C ∞ 是一个封闭的凸集包含吗 F 。因此,序列 Π C n x n ≥ 1 强烈的普遍预测是收敛的 Π C ∞ x 对于任意的 x 在均匀凸光滑的巴拿赫空间 X 。

 证明。

通过感应,可以看出集 C n 都是闭凸子集引理的帮助 5和的定义 C n + 1 在迭代方案1。此外,通过包容,这些集 C n 形成一个集序列的减少。也就是说, C n + 1 ⊂ C n 对所有 n ≥ 1 。所以, C ∞ 是否为空或非空的。 C ∞ ⊃ F 由感应声称。

通过迭代方案1中的假设,它是观察到 F ⊂ C = C 1 和 x 1 是给定的。现在,假设 F ⊂ C 米 对所有 米 ≤ n 和选择任意 z ∈ F 。然后,获得以下评估: (34) ∑ k = 1 米 α n , k ϕ z , T k x n = ∑ k = 1 米 α n , k z 2 + T k x n 2 − 2 ℜ z , J T k x n = ∑ k = 1 米 α n , k z 2 + ∑ k = 1 米 α n , k T k x n 2 − 2 ℜ ∑ k = 1 米 α n , k z , J T k x n ≤ ∑ k = 1 米 α n , k z 2 + ∑ k = 1 米 α n , k x n 2 − 2 ℜ ∑ k = 1 米 α n , k z , J x n = z 2 + x n 2 − 2 ℜ z , J x n = ϕ z , x n , 事实上,映射在哪里costerro在第三步是使用有界的线性映射。因此,它是显示 z ∈ C n + 1 。从引理 2,得出结论 Π C n x n ≥ 1 强烈收敛 Π C ∞ x 。

 引理7。

序列 x n n ≥ 1 满足不等式 (35) x n , Π C n u ≤ ε n 2 。

证明。

自 Λ u , C n ≔ 正 x ∈ C n ϕ x , u = ϕ Π C n u , u ,然后每 ε n > 0 , x n ∈ C n 发现这样 (36) ϕ x n , u ≤ Λ C n , u + ε n 2 = ϕ Π C n u , u + ε n 2 , 这意味着 (37) ϕ x n , u − ϕ Π C n u , u ≤ ε n 2 。

然而,命题 1意味着 (38) ϕ x n , Π C u ≤ ϕ x n , u − ϕ Π C u , u , 所以除了方程( 37),获得下列不等式: (39) ϕ x n , Π C n u ≤ ε n 2 , 这就完成了证明。

本文的主要结果是由下面的定理。

定理3。

(主要结果)。让 X 是一个均匀凸光滑的巴拿赫空间和假设有下列情形之一的:

的空间 X 有限维。

凸集 C 紧凑。

ε 0 = 0 。

然后, ω x n n ≥ 1 ≠ ∅ 和 ω x n n ≥ 1 ⊆ ∩ k = 1 米 F T k ,在那里 ω 表示(强)限制的迭代序列 x n n ≥ 1 。

 证明。

第一次观察到 x n n ≥ 1 是一个有界序列。事实上,由引理 7, (40) ϕ x n , Π C n u = x n 2 − 2 ℜ x n , J Π C n u + Π C n u 2 ≤ ε n 2 , 它简化了 (41) x n 2 + Π C n u 2 − 2 x n Π C n u = x n − Π C n u 2 ≤ ε n 2 。

因此, x n ≤ Π C n u + ε n 。通过引理 6和迭代方案1中的条件,它 x n n ≥ 1 是一个有界序列。

考虑下面的情况下在定理 3。

(我):考虑到 x n n ≥ 1 是有界的, X 是有限维的,那么由Bolzano-Weierstrass定理, x n n ≥ 1 有一个极限值,说什么 z 和推论 3, z ∈ F 因此,子序列 x n n ≥ 1 强烈收敛 z ∈ F 。

例(2):考虑到 C 紧凑,因为在度量空间,密实度意味着顺序密实度,呢 x n n ≥ 1 作为一个有界序列有一个极限值,说 z 和推论 3, z ∈ F 因此,子序列 x n n ≥ 1 强烈收敛 z ∈ F 。

例(3):考虑到 ε 0 = 0 由引理,然后 7, (42) lim n ⟶ ∞ x n − Π C n u = 0。

标准函数的连续性和引理 6,获得 x n n ≥ 1 ⟶ Π C ∞ u 和结果 Π C ∞ u ∈ F 因为它是唯一的序列的极限点 x n n ≥ 1 。

 备注2。

我们还要注意,无限维度,我们也可以认为序列 x n n ≥ 1 以来疲软的极限点一致凸的光滑的巴拿赫是一个反射性的空间。

 数据可用性

没有数据被用作研究而言。

 的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

 确认

作者感谢同事校对。

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