JMATH 数学杂志 2314 - 4785 2314 - 4629 Hindawi出版公司 10.1155 / 2014/978941 978941年 勘误表 勘误表“点态模拟Stečkin逼近定理” Łenski Włodzimierz 教师的数学、计算机科学和计量经济学 该大学的大山 那么Szafrana 4, 65 - 516 Zielona大山 波兰 uz.zgora.pl 2014年 14 12 2014年 2014年 23 07年 2014年 14 10 2014年 14 12 2014年 2014年 版权©2014 WłodzimierzŁenski。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们提出适当的点态最佳逼近的定义 f 这意味着的正确性证明引理5以及其他的结果。

在这篇名为《Stečkin的点态模拟逼近定理”,有了一个不正确的引理的证明5基于不当定义的点态最佳逼近 f 。在这里,我们定义提到 E n f , x ; δ X p 和 E n ∘ f , x ; δ X p 在以下方式: ( 16 ) E n f , x ; δ X p ≔ 正 ⁡ 0 ≤ k ≤ n f - - - - - - T k X p , x , δ = 正 ⁡ 0 ≤ k ≤ n 吃晚饭 ⁡ 0 < h ≤ δ 1 2 h ∫ x - - - - - - h x + h f t - - - - - - T k t p d t 1 / p 当 p < ∞ 正 ⁡ 0 ≤ k ≤ n 吃晚饭 ⁡ 0 < h ≤ δ 吃晚饭 ⁡ 0 < t ≤ h f x + t - - - - - - T k x + t 当 p = ∞ , E n ∘ f , x ; δ X p ≔ 正 ⁡ 0 ≤ k ≤ n f - - - - - - T k X p , x , δ ∘ = 正 ⁡ 0 ≤ k ≤ n 1 2 δ ∫ x - - - - - - δ x + δ f t - - - - - - T k t p d t 1 / p 当 p < ∞ 正 ⁡ 0 ≤ k ≤ n 吃晚饭 ⁡ 0 < t ≤ δ f x + t - - - - - - T k x + t 当 p = ∞ , 在哪里 T k 最佳逼近多项式的吗 f 在通常的标准 · X p , x , π = · X p 和 δ > 0 。根据上述定义,我们正确的引理5如下。

引理 5。 如果 T n 最多的三角多项式学位 n 最好的近似 f ∈ X p 关于规范 · X p , 然后也是三角多项式的程度 n 最好的近似 f ∈ X p 关于规范 · X p , x , δ 对于任何 δ ∈ 0 , π 。

证明。

的不平等 ( 22 ) E n f , · , δ X p X p ≥ E n ∘ f , · , δ X p X p = f - - - - - - T n , δ X p , · , δ ∘ X p = ∫ - - - - - - π π 1 2 δ ∫ x - - - - - - δ x + δ f t - - - - - - T n , δ t p d t d x 1 / p = ∫ - - - - - - π π 1 2 δ ∫ - - - - - - δ δ f x + t - - - - - - T n , δ x + t p d t d x 1 / p = 1 2 δ ∫ - - - - - - δ δ ∫ - - - - - - π π f x + t - - - - - - T n , δ x + t p d x d t 1 / p = 1 2 δ ∫ - - - - - - δ δ ∫ - - - - - - π π f x - - - - - - T n , δ x p d x d t 1 / p = f - - - - - - T n , δ X p ≥ f - - - - - - T n X p = E n f X p , E n ∘ f , · , δ X p X p ≤ f - - - - - - T n X p , · , δ ∘ X p E n ∘ f , · , δ X p X p = f - - - - - - T n X p = E n f X p , 在哪里 T n , δ 和 T n 最多的三角多项式学位 n 最好的近似 f ∈ X p 关于规范 · X p , x , δ ∘ 和 · X p 分别时,我们获得的关系 ( 23 ) f - - - - - - T n , δ X p = f - - - - - - T n X p = E n f X p , 那里 T n , δ = T n 对于任何 δ ∈ 0 , π 独特的三角多项式的程度 n 最好的近似 f ∈ X p 关于规范 · X p (见,例如, 1p . 96)。这样我们也可以观察到 T n 和任何 h ∈ 0 , δ ( 24 ) f - - - - - - T n X p , x , h ∘ = E n ∘ f , x , h X p ≤ E n f , x , δ X p ≤ f - - - - - - T n X p , x , δ 。 因此 ( 25 ) E n f , x , δ X p = f - - - - - - T n X p , x , δ 我们的证据是完整的。

现在,证明是正确的以及其他前题和所有其他的结果。主要是,我们有以下。

定理 2。 如果 f ∈ X p 那么,对于任何正整数 米 ≤ n 和真正的 x , ( 19 ) σ n , 米 f x - - - - - - f x ≤ K ∑ ν = 0 n F n - - - - - - 米 + ν , 米 f , x X p + F n - - - - - - 米 + ν , ν f , x X p 米 + ν + 1 + E 2 n f , x ; 0 X p , 在哪里 F n , 米 f , x X p : = ( 1 / ( 米 + 1 ) ) ∑ k = 0 米 E n ( f , x ; π / ( k + 1 ) ) X p 立即,收益率的已知结果Stečkin [ 2),明显的关系 E n f , x ; δ C C ≤ E n f C ,在那里 X p = C 当 p = ∞ 和 δ > 0 。

备注。通过我们之前的定义(见(16)) T 而不是 T k 的多项式 T 是三角多项式的程度最多吗 n 因此引理的证明5中的多项式认为在上述论文(见(16))基本上是依赖变量 x ,也就是说, T n , δ ( t ) = T n , δ , x ( t ) 。因此,不平等(22)从引理的证明5在上述论文(见(16))不是真的因为改变秩序的规范是不可能的。

一部 p . L。 Nessel r . J。 傅里叶分析和近似 1971年 瑞士巴塞尔 Birkhauser Stečkin 美国B。 对周期函数的近似de la Vallee童子鸡 数学分析 1978年 4 1 61年 74年 10.1007 / BF01904859 2 - s2.0 - 23944495847 MR0473680