二次规划是一种特殊形式的非线性规划的特点;即二次形式的目标函数和约束函数是线性形式( 1]。虽然二次规划是非线性规划的一部分,完成仍采用一些线性规划解决问题的方法,其中一个是沃尔夫的方法。该方法将二次规划问题转化为一个线性规划问题。沃尔夫( 2)修改了单纯形法求解二次规划问题通过添加条件Karush-Kuhn-Tucker(马)和改变二次形式的目标函数为线性形式。

间隔二次规划是一个经典的二次规划的发展,利用区间分析理论由摩尔( 3]。这种开发的目标是适应情况下含有不确定性,也就是说,当某些数据值是未知的,但是数据是在一个区间的值上限和下限是已知的。的特殊特征区间系数二次规划问题的目标函数和约束函数的区间形式。

研究二次规划与区间系数由刘和王 4]。然而,目标函数的系数二次形式的发展模式还没有间隔的形式。此外,李,田 5)广义模型( 4假设二次系数)的目标函数在区间形式。参考文献( 4, 5)利用对偶理论创建一个间隔系数求解二次规划的方法。二次规划模型与区间系数转化为两种典型的二次规划模型的特点,被称为最好的最佳和最差最优问题。完成方法开发了基于区间系数解决线性规划的方法,已经被一些研究者讨论( 6- - - - - - 10]。

本文将讨论扩展沃尔夫间隔系数求解二次规划的方法。因此,本文将重点讨论如何将区间系数的二次规划转化成线性规划与间隔系数。此外,间隔系数的线性规划已获得从转换将被使用的方法解决 8]。

本文组织如下。部分 2讨论了区间算术运算。节 3一般形式的线性规划与间隔系数表示。节 4二次规划的一般形式与间隔系数表示。沃尔夫方法的扩展作为一个间隔系数求解二次规划的方法讨论了部分 5,而部分 6讨论了数值例子和部分 7提供了一些结论。

的基本定义和属性区间数和区间运算可以看到在摩尔 3],Alefeld和赫兹伯格[ 11],汉森( 12]。

线性规划问题的一般形式区间系数定义如下: (2) 米 一个 x 我 米 我 z e z _ = ∑ j = 1 n c j 我 , c j 年代 x j 受 (2 b) ∑ j = 1 n 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 x j ≤ b 我 我 , b 我 年代 , 我 = 1、2 , … , 米 (2 c) x j ≥ 0 , j = 1、2 , … , n , 在哪里 x j ∈ R , ( c j 我 , c j 年代 ] , ( b 我 我 , b 我 年代 ] , ( 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 ] ∈ 我 ( R ) 。

模型( 2)- ( 2摄氏度)是解决通过区间系数的线性规划转化成两个经典的线性规划模型的特点,即最好的最佳和最坏的最优问题。最好的最优问题的性质最好的版本在目标函数和约束函数最大可行的面积。另一方面,最坏的最优问题有一个特点,是最糟糕版本的目标函数和约束函数的最小可行区域。

这个和斋月 8)提供一个规则来确定最佳和最差最优区间系数问题的线性规划问题。线性规划的约束区间系数的不等号(≤)( 2 b)最大可行区域的特征和最小可行的区域是由下面的定理。

线性规划的目标函数与间隔系数最大化的情况下( 2)特征的最好和最糟糕的版本版本目标函数表示在接下来的定理。

二次规划的一般形式与间隔系数引入的李,田 5)定义如下: (3) 米 一个 x 我 米 我 z e z _ = ∑ j = 1 n c j 我 , c j 年代 x j + 1 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n 问 j k 我 , 问 j k 年代 x j x k 受 (3 b) ∑ j = 1 n 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 x j ≤ b 我 我 , b 我 年代 , 我 = 1、2 , … , 米 (3 c) x j ≥ 0 , j = 1、2 , … , n , 在哪里 x j ∈ R , c j 我 , c j 年代 , ( 问 我 j 我 , 问 我 j 年代 ] , ( b 我 我 , b 我 年代 ] , ( 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 ] ∈ 我 ( R ) , ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ( 问 j k 我 , 问 j k 年代 ] x j x k 是半负定, 我 ( R ) 所有区间数的集合在 R 。

模型所示( 3)- ( 3 c)是一个模型的泛化( 4]。目标函数的系数和约束的二次规划间隔系数模型( 3)- ( 3 c)有一个区间的形式。这个想法解决沃尔夫模型扩展的方法。这种方法着重于如何将二次规划间隔系数( 3)- ( 3 c)与区间系数线性规划( 2)- ( 2摄氏度)。此外,线性规划与间隔系数从转换是获得使用的方法 8]。

沃尔夫的扩展方法是本文的主要结果。沃尔夫的根本区别扩展方法和方法( 5),沃尔夫的扩展方法,二次规划模型与区间与区间系数系数转化为线性规划,同时,在 5),间隔系数的二次规划模型。

沃尔夫方法求解二次规划问题的一个方法通过将二次规划问题转化为一个线性规划问题。沃尔夫( 2)修改了单纯形法求解二次规划问题通过添加要求Karush-Kuhn-Tucker(马)和改变二次目标函数转化为一个线性目标函数。

沃尔夫的扩展方法是用于解决区间系数的二次规划问题。沃尔夫步骤扩展的方法声明如下。

形式的拉格朗日函数的问题( 3)- ( 3 c)是 (4) l x , y , r , λ , μ = ∑ j = 1 n c j 我 , c j 年代 x j + 1 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n 问 j k 我 , 问 j k 年代 x j x k - - - - - - ∑ 我 = 1 米 λ 我 ∑ j = 1 n 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 x j - - - - - - b 我 我 , b 我 年代 + y 我 2 - - - - - - ∑ j = 1 n μ j - - - - - - x j + r j 2 , 在哪里 λ 我 , 我 = 1、2 , … , 米 , μ j , j = 1、2 , … , n 拉格朗日乘数法, l ( x , y , r , λ , μ ) 是拉格朗日函数和区间系数。

函数的局部最小值点 l 获得了第一个偏导数的函数 l 对变量和等同为零(马必要条件)(见[ 13, 14])。 (5) ∂ l ∂ x 我 = c j 我 , c j 年代 + ∑ k = 1 n 问 j k 我 , 问 j k 年代 x k - - - - - - ∑ 我 = 1 米 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 λ 我 + μ j = 0 , j = 1、2 , … , n , (5 b) ∂ l ∂ y 我 = - - - - - - 2 λ 我 y 我 = 0 , 我 = 1、2 , … , 米 , (5 c) ∂ l ∂ r 我 = - - - - - - 2 μ j r j = 0 , j = 1、2 , … , n , (5 d) ∂ l ∂ λ 我 = ∑ j = 1 n 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 x j + y 我 2 - - - - - - b 我 我 , b 我 年代 = 0 , 我 = 1、2 , … , 米 , (5 e) ∂ l ∂ μ 我 = x j - - - - - - r j 2 = 0 , j = 1、2 , … , n , (5) x j , λ 我 , μ j , y 我 , r j ≥ 0 , 我 = 1、2 , … , 米 , j = 1、2 , … , n 。 结果简化( 5)- ( 5 f)是 (6) - - - - - - ∑ k = 1 n 问 j k 我 , 问 j k 年代 x k + ∑ 我 = 1 米 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 λ 我 - - - - - - μ j = c j 我 , c j 年代 , j = 1、2 , … , n , (6 b) ∑ j = 1 n 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 x j + 年代 我 = b 我 我 , b 我 年代 , 我 = 1、2 , … , 米 , (6) x j , λ 我 , μ j , 年代 我 ≥ 0 , j = 1、2 , … , n , 我 = 1、2 , … , 米 和满足互补条件, (6 d) μ j x j = 0 , j = 1、2 , … , n , λ 我 年代 我 = 0 , 我 = 1、2 , … , 米 。 添加人工变量 v j , j = 1、2 , … , n ,( 6最初的基础,如下: (7) - - - - - - ∑ k = 1 n 问 j k 我 , 问 j k 年代 x k + ∑ 我 = 1 米 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 λ 我 - - - - - - μ j + v j = c j 我 , c j 年代 。 此外,创建带有区间系数的线性规划,目标函数是最小化人工变量的数量 v j , j = 1、2 , … , n 和约束条件是( 7),( 6 b),( 6摄氏度)和( 6 d)从马的必要条件。 (8) 米 我 n 我 米 我 z e z _ = v 1 + v 2 + ⋯ + v n 主题, (8 b) - - - - - - ∑ k = 1 n 问 j k 我 , 问 j k 年代 x k + ∑ 我 = 1 米 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 λ 我 - - - - - - μ j + v j = c j 我 , c j 年代 , j = 1、2 , … , n (8) ∑ j = 1 n 一个 我 j 我 , 一个 我 j 年代 x j + 年代 我 = b 我 我 , b 我 年代 , 我 = 1、2 , … , 米 (8 d) x j , λ 我 , μ j , 年代 我 , v j ≥ 0 , j = 1、2 , … , n , 我 = 1、2 , … , 米 满足互补条件, (8 e) μ j x j = 0 , j = 1、2 , … , n , λ 我 年代 我 = 0 , 我 = 1、2 , … , 米 , 在哪里 v j ≥ 0 是人工变量。

模型所示( 8)- ( 8 e间隔系数)是线性规划的补充添加的条件。该模型转换的结果从区间系数的二次规划模型,沃尔夫方法的扩展。

下一步,间隔系数线性规划模型( 8)- ( 8 e),被转换为两个线性规划解决案件的特殊特征,即最好的和最坏的最优问题。转换过程可以用算法 6如下。

算法 6表明,最好的和最坏的最优问题是线性规划模型添加补充条件。因此,这两个问题都可以通过单纯形法解决。

考虑下面的例子的二次规划区间系数在《李,田 5]。 (11) 米 我 n 我 米 我 z e z = - - - - - - 10 , - - - - - - 6 x 1 + 2、3 x 2 + - - - - - - 1,- 1 x 1 x 2 + 4、10 x 1 2 + 10年,20年 x 2 2 受 (b) 11日 1、2 x 1 + 3 x 2 ≤ 1,10 (11 c) - - - - - - 2、8 x 1 + 4、6 x 2 ≤ 4、6 (d) 11日 x 1 , x 2 ≥ 0 。 据李,田 5模型的解决方案),( 11个)- ( 11 c),最好的优化问题 z 年代 = - - - - - - 0.9 , x 1 = 0.3 , x 2 = 0 最严重的优化问题 z 我 = - - - - - - 6.25 , x 1 = 1,25 , x 2 = 0 和最优值 z _ = ( z 我 , z 年代 ] = ( - - - - - - 6.25 , - - - - - - 0.9 ] 。

本文只最大化问题,最小化问题将转化为最大化问题,简单的过程将一个最小化问题转化为最大化问题,反之亦然。简单的目标函数最小化问题乘以−1将它转化为最大化问题,反之亦然。 (12) 米 一个 x 我 米 我 z e z = 6、10 x 1 + - - - - - - 3 , - - - - - - 2 x 2 + - - - - - - 1,- 1 x 1 x 2 + - - - - - - 10 , - - - - - - 4 x 1 2 + - - - - - - 20. , - - - - - - 10 x 2 2 受 (12 b) 1、2 x 1 + 3 x 2 ≤ 1,10 (12 c) - - - - - - 2、8 x 1 + 4、6 x 2 ≤ 4、6 (12 d) x 1 , x 2 ≥ 0 。 我们沃尔夫方法的扩展申请转换与间隔系数模型(二次规划( 12个一个)- ( 12 d)与区间系数线性规划模型。我们有 (13) 米 我 n 我 米 我 z e z = v 1 + v 2 受 (13) 8、20 x 1 + - - - - - - 1,- 1 x 2 + 1、2 λ 1 + - - - - - - 2、8 λ 2 - - - - - - μ 1 + v 1 = 6、10 (13 c) - - - - - - 1,- 1 x 1 + 20、40 x 2 + 3,3 λ 1 + 4、6 λ 2 - - - - - - μ 2 + v 2 = - - - - - - 3 , - - - - - - 2 (13 d) 1、2 x 1 + 3 x 2 ≤ 1,10 (13 e) - - - - - - 2、8 x 1 + 4、6 x 2 ≤ 4、6 (13) x 1 , x 2 ≥ 0 。 我们应用算法 6转变区间系数线性规划模型( 13)- ( 13 f)为两个经典的线性规划模型与特色,即最优和最差的优化问题。转换的结果如表所示 1。

所以,二次规划的最优值与区间系数模型相结合,得到最优值从最坏的和最好的最优问题;也就是说, z _ = ( z 我 , z 年代 ] = ( 0.9,6.25 ] 。这个解决方案提供了相同的值通过李和田( 5]。

沃尔夫提出的扩展方法。沃尔夫方法的扩展由转换间隔系数的二次规划模型与区间系数线性规划模型。此外,间隔系数线性规划模型转化为使用算法两个经典的线性规划模型 6。沃尔夫的扩展方法具有一个特定的好处:最后一个模型是线性规划。因此,它可以由单纯形法解决。