果酱 应用数学学报 1687 - 0042 1110 - 757 x Hindawi出版公司 696019年 10.1155 / 2013/696019 696019年 研究文章 普罗克汝斯忒斯的问题一般、三角和对称托普利兹矩阵 http://orcid.org/0000 - 0003 - 3905 - 309 x 杨 胡安 邓 Yuan-bei 阿瓦什 穆罕默德 1 大学数学和计量经济学 湖南大学 长沙 中国 hnu.edu.cn 2013年 19 12 2013年 2013年 15 11 2013年 17 12 2013年 2013年 版权©2013杨胡安和Yuan-bei邓。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

普罗克汝斯忒斯托普利兹问题是矩阵方程的最小二乘问题 一个 X = B 在托普利兹矩阵集。本文获得的必要和充分条件的解的存在性和唯一性普罗克汝斯忒斯托普利兹矩阵未知时约束问题的一般,三角形,分别和对称托普利兹矩阵。算法设计和数值例子表明,这些算法是可行的。

 1。介绍

考虑约束最小二乘优化问题: (1) 最小值 X ∈ P ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F , 在哪里 一个 , B ∈ R n × n , P ⊆ R n × n , ∥ · ∥ F 表示弗罗贝尼乌斯标准 (2) ∥ 一个 ∥ F = tr ( 一个 T 一个 ) = ( ∑ 我 = 1 米 ∑ j = 1 n 一个 我 j 2 ) 1 / 2 。

这些问题已经被一系列的研究文献。例如,当 P = R n × n ,然后 X = 一个 + B 是一个解决方案(参见[ 1]),而对称矩阵解案例和正交矩阵的解决方案案例分析( 2]和[ 3分别)。和对称的积极(半)的最小二乘问题讨论了海厄姆( 4]。

本文以下托普利兹最小二乘问题分析: (3) 最小值 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 , 年代 。 t 。 X ∈ , 在哪里 一个 , B ∈ R n × n 和 ⊂ R n × n 托普利兹矩阵的集合,一个矩阵 T 如果其条目满足称为托普利兹矩阵 T ( 我 , j ) = T ( 我 + k , j + k ) ,尽管 我 , j , k 与 0 ⩽ 我 + k ⩽ n - - - - - - 1 , 0 ⩽ j + k ⩽ n - - - - - - 1 , (4) T = ( α 0 α 1 α 2 ⋯ α n - - - - - - 1 α - - - - - - 1 α 0 α 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ α 2 ⋱ ⋱ α 1 α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ⋯ α - - - - - - 1 α 0 ) 。

在这项工作中,我们讨论问题( 3)的细节。节 2,一般托普利兹的问题讨论,在部分 3、三角托普利兹问题和对称托普利兹问题进行了讨论,在部分 4,我们给算法和数值例子。

我们首先给出一些定义和引理。

定义1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B5 " > < / xref > 5))。

矩阵 G n × 米 被称为 { 1 } 逆矩阵的 一个 米 × n 当 一个 G 一个 = 一个 ,它可以用 一个 - - - - - - 或 一个 { 1 } 。

 引理2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B5 " > < / xref > 5))。

让 一个 ∈ C r 米 × n ;如果存在非奇异的矩阵 P ∈ C n × n 和 R ∈ C 米 × 米 这样 (5) R 一个 P = ( 我 r 0 0 0 ] , 的充分必要条件 G ∈ 一个 { 1 } 是 (6) G = P ( 我 r U V W ] R , 在哪里 U ∈ C r × ( 米 - - - - - - r ) , V ∈ C ( n - - - - - - r ) × r , W ∈ C ( n - - - - - - r ) × ( 米 - - - - - - r ) 。

 备注3。

当 U = 0 , V = 0 , W = 0 , G 用 一个 * - - - - - - 。

 引理4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B1 " > < / xref > 6])。

一个有限维线性赋范线性空间的子空间包含至少一个点固定的最小距离点。

 引理5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B2 " > < / xref > 7])。

让 f : R n → R 是一个凸函数连续可微的,然后任何局部最小值点也是一个全局最小值点。和 x * 是一个解决问题吗 最小值 f ( x ) 当且仅当 x * 满足 ∇ f ( x * ) = 0 ,在那里 ∇ 意味着函数的梯度 f 。

 引理6(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B2 " > < / xref > 7])。

二次函数 f ( x ) = ( 1 / 2 ) X T 问 X + 问 T X + C 凸当且仅当吗 问 是半正定。

 2。一般托普利兹问题

我们变换问题( 3)下面的等价形式: (7) F ≡ 1 2 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 = 最小值 , X = ∑ p = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α p G p , 在哪里 α p ∈ R , G p ∈ R n × n 被定义为 (8) ( G p ) 我 j = { 1 如果 j = 我 + p , 0 否则 , p = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , … , ( n - - - - - - 1 ) 。 目标函数 F 可以写成 (9) F = 1 2 tr ( ( 一个 X - - - - - - B ) T ( 一个 X - - - - - - B ) ] = 1 2 tr ( X T 一个 T 一个 X ) + ( - - - - - - tr ( B T 一个 X ) + 1 2 tr ( B T B ) ] = F 1 + F 2 。 右边的第一项( 9)可以表示为 (10) F 1 = 1 2 tr ( X T 一个 T 一个 X ) = 1 2 tr ( ( ∑ l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α l G l ) T 一个 T 一个 ( ∑ k = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α k G k ) ) = 1 2 ∑ l , k = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) tr ( G l T 一个 T 一个 G k ) α l α k = 1 2 ∑ l , k = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) tr ( G l T 一个 T 一个 G k ) + tr ( G k T 一个 T 一个 G l ) 2 α l α k = 1 2 y T C y , 在哪里 (11) y T = ( α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , α - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) , … , α 0 , … , α ( n - - - - - - 1 ) ) , C = ( C l k ) ( 2 n - - - - - - 1 ) × ( 2 n - - - - - - 1 ) , C l k = 1 2 ( tr ( G l T 一个 T 一个 G k ) + tr ( G k T 一个 T 一个 G l ) ) , 2222222.222222 l , k = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , … , ( n - - - - - - 1 ) 。 右边的第二个任期( 9)可以表示为 (12) F 2 = - - - - - - tr ( B T 一个 X ) + 1 2 tr ( B T B ) = - - - - - - ∑ l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) tr ( B T 一个 G l ) α l + 1 2 tr ( B T B ) = - - - - - - b T y + 1 2 tr ( B T B ) , 在哪里 b T = ( tr ( B T 一个 G - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ) , tr ( B T 一个 G - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) ) , … , tr ( B T 一个 G ( n - - - - - - 1 ) ) 。

因此收益率 (13) F = 1 2 y T C y - - - - - - b T y + 1 2 tr ( B T B ) 。

采取偏导数 F 关于 α l 给了 (14) ∂ F ∂ α l = ∂ F 1 ∂ α l + ∂ F 2 ∂ α l = ( C l , - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , C l , - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) , … , C l , ( n - - - - - - 1 ) ) y - - - - - - tr ( B T 一个 G ( l ) ) = C l T y - - - - - - b l , l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , … , ( n - - - - - - 1 ) 。

的一阶必要条件, (15) ∂ F ∂ α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) = 0 , ⋮ ∂ F ∂ α ( n - - - - - - 1 ) = 0 , 我们获得 (16) C y = b 。 因此下面的定理。

定理7。

问题的解决方案( 3)存在,它的一般形式可以表示为 (17) X = ∑ l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α l G l , 在哪里 ( α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , α - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) , … , α 0 , … , α ( n - - - - - - 1 ) ) T = y = C - - - - - - b + ( 我 - - - - - - C - - - - - - C ) z ,尽管 z ∈ R n , C - - - - - - 意味着 { 1 } 逆的 C 。

 证明。

让 ′ = { T ∈ R n × n ∣ T = 一个 ∑ p = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α p G p } ,在那里 α p ∈ R ,然后子空间 ′ 弗罗贝尼乌斯规范下赋范线性空间。它遵循从引理 4至少存在一个矩阵 T 在 ′ 这样 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 = 最小值 。因此,通过的定义 T ,存在至少一个标量 α T = ( α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , α - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) , … , α 0 , … , α ( n - - - - - - 1 ) ) 构成矩阵 T ,这意味着我们可以重写 T 作为 T = 一个 X ,在那里 X ∈ 。因此问题的解决方案( 3)存在。

很明显( 13),目标函数 F 是一个二次函数。此外,通过下面的讨论, F 也是一个凸函数。自 一个 T 一个 是半正定,接下去,对吗 X ∈ R n × n ,的表达 F 1 在( 10)持有 (18) F 1 = 1 2 y T C y = 1 2 tr ( X T 一个 T 一个 X ) ⩾ 0 。 换句话说, C 是一种半正定矩阵。然后根据引理 6, F 是一个凸函数。自 F 是连续可微的,然后我们得到任何解决方案( 16)也是一个解决方案( 7由引理 5。显然,线性系统的解决方案( 16)是 (19) y = C - - - - - - b + ( 我 - - - - - - C - - - - - - C ) z , ∀ z ∈ R 2 n - - - - - - 1 (见[ 5])。所需的解决方案 X 的问题( 7然后给出了) X = ∑ l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α l G l ,在那里 y = ( α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , α - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) , … , α 0 , … , α ( n - - - - - - 1 ) ) T 。定理是等价的问题( 3)和问题( 7)。

 定理8。

问题( 3当且仅当)有一个独特的解决方案 C 满秩。在这种情况下,唯一的解决方案是 (20) X = ∑ l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α l G l , 在哪里 ( α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , α - - - - - - ( n - - - - - - 2 ) , … , α 0 , … , α ( n - - - - - - 1 ) ) T = y = C - - - - - - 1 b 。

 证明(必要性)。

如果 C 已满秩,线性系统( 16)有一个独特的解决方案 y = C - - - - - - 1 b ;因此,解决方案 X 的问题( 7)是唯一决定的,所以是问题( 3)。

相反过程的充分性是必要的。

 推论9。

如果在列满秩,那么问题的解决方案( 3)是独一无二的。

 3所示。三角托普利兹问题和对称托普利兹的问题

在本节中,我们讨论了三角形托普利兹问题和对称托普利兹的问题。

3.1。三角托普利兹的问题

上三角托普利兹的问题,因为[的定义 6),我们的意思是最小化问题 (21) 最小值 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 年代 。 t 。 X ∈ u , 在哪里 一个 , B ∈ R 米 × n , u 是上三角托普利兹矩阵的子空间,一般形式的元素 (22) X = ( α 1 α 2 α 3 ⋯ α n 0 α 1 α 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ α 3 ⋱ ⋱ α 2 0 ⋯ 0 α 1 ) 。

我们变换问题( 21)以下问题 (23) F ≡ 1 2 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 = 最小值 , X = ∑ p = 1 n α p H p , 在哪里 (24) ( H p ) 我 j = { 1 如果 j = 我 + p - - - - - - 1 , 0 否则 , p = 1 , … , n 。 证明过程是类似于问题( 7)。在这种情况下,相关的函数 F ,未知 y ,线性方程组,矩阵 C 以及标量 b 可以表示为 (25) F = 1 2 y T C u y - - - - - - b u T y + 1 2 tr ( B T B ) , C u y = b u , y T = ( α 1 , α 2 , … , α n ) , C u = ( C l k ) n × n , C l k = 1 2 ( tr ( H l T 一个 T 一个 H k ) + tr ( H k T 一个 T 一个 H l ) ) , 222222222222222222222222 l , k = 1、2 , … , n , b u = ( tr ( B T 一个 H 1 ) , tr ( B T 一个 H 2 ) , … , tr ( B T 一个 H n ) ) 。

因此,我们得到一个结论上三角托普利兹问题如下。

定理10。

问题的解决方案( 21)存在,它的一般形式可以表示为 (26) X = ∑ l = 1 n α l H l , 在哪里 ( α 1 , α 2 , … , α n ) T = y u = C u - - - - - - b u + ( 我 - - - - - - C u - - - - - - C u ) z ,尽管 z ∈ R n , C u - - - - - - 意味着 { 1 } 逆的 C u 。

 定理11。

问题( 21当且仅当)有一个独特的解决方案 C u 满秩。在这种情况下,唯一的解决方案是 (27) X = ∑ l = 1 n α l H l , 在哪里 ( α 1 , α 2 , … , α n ) T = C u - - - - - - 1 b u 。

 推论12。

如果在列满秩,那么问题的解决方案( 21)是独一无二的。

同样,我们可以解决下三角托普利兹的问题。

 3.2。对称托普利兹的问题

对称托普利兹的问题是以下最小化问题: (28) 最小值 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 年代 。 t 。 X ∈ 年代 , 在哪里 一个 , B ∈ R 米 × n , 年代 是对称的托普利兹矩阵的子空间,元素的一般形式: (29) X = ( α 1 α 2 α 3 ⋯ α n α 2 α 1 α 2 ⋮ α 3 α 2 ⋱ ⋱ α 3 ⋮ ⋱ ⋱ α 2 α n ⋯ α 3 α 2 α 1 ) 。 我们考虑下面的目标函数: (30) F ≡ 1 2 ∥ 一个 X - - - - - - B ∥ F 2 = 最小值 , X = ∑ p = 1 n α p 问 p , 在哪里 (31) ( 问 p ) 我 j = { 1 如果 | j - - - - - - 我 | = p - - - - - - 1 , 0 否则 , p = 1 , … , n 。

在这种情况下,相关的函数 F ,未知 y ,线性方程组,矩阵 C 以及标量 b 可以表示为 (32) F = 1 2 y T C 年代 y - - - - - - b 年代 T y + 1 2 tr ( B T B ) , C 年代 y = b 年代 , y T = ( α 1 , α 2 , … , α n ) , C 年代 = ( C l k ) n × n , C l k = 1 2 ( tr ( 问 l T 一个 T 一个 问 k ) + tr ( 问 k T 一个 T 一个 问 l ) ) , 222222222222222222222222 l , k = 1、2 , … , n , b 年代 = ( tr ( B T 一个 问 1 ) , tr ( B T 一个 问 2 ) , … , tr ( B T 一个 问 n ) ) 。

因此,我们获得一个结论关于对称托普利兹的问题。

定理13。

问题的解决方案( 28)存在,它的一般形式可以表示为 (33) X = ∑ l = 1 n α l 问 l , 在哪里 ( α 1 , α 2 , … , α n ) T = y = C 年代 - - - - - - b 年代 + ( 我 - - - - - - C 年代 - - - - - - C 年代 ) z ,尽管 z ∈ R n , C 年代 - - - - - - 意味着 { 1 } 逆的 C 年代 。

 定理14。

问题( 28当且仅当)有一个独特的解决方案 C 年代 满秩。在这种情况下,唯一的解决方案是 (34) X = ∑ l = 1 n α l 问 l , 在哪里 ( α 1 , α 2 , … , α n ) T = y = C 年代 - - - - - - 1 b 年代 。

 推论15。

如果在列满秩,那么问题的解决方案( 28)是独一无二的。

 4所示。计算和例子

通用托普利兹的推导问题导致下面的计算算法。

算法16。

生成矩阵 G 我 ( 我 = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , … , ( n - - - - - - 1 ) ) 根据定义( 7)。

计算矩阵 C 和标量 b 由公式( 11)和( 12)。

如果 C 是满秩的,那么解决线性系统( 16)直接获取解决方案 y = C - - - - - - 1 b ;其他计算 C - - - - - - ,形成 y = C - - - - - - b + ( 我 - - - - - - C - - - - - - C ) z ,尽管 z ∈ R n 。一般来说,让 U , V 和 W 在引理 2等于 0 ,我们可以获得的 { 1 } 逆的 C ,这是 C * - - - - - - 。

计算 X 从 X = ∑ l = - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) ( n - - - - - - 1 ) α l G l ,在那里 ( α - - - - - - ( n - - - - - - 1 ) , … , α ( n - - - - - - 1 ) ) = y T 。

其他特殊托普利兹的算法问题可以设计类似。

我们提到,在本文的开始,这两个实例的解决方案实际上是基于算法获得 16。我们可以给托普利兹矩阵问题的另一个例子 一个 列满秩的如下。根据推论 9, 12, 15,解决方案是独一无二的。

示例17。

考虑以下 (35) 一个 = ( - - - - - - 2 2 0 - - - - - - 1 1 0 0 2 2 2 1 3 2 - - - - - - 2 - - - - - - 1 - - - - - - 1 - - - - - - 1 - - - - - - 1 2 1 ) , B = ( 0 - - - - - - 2 - - - - - - 3 2 1 - - - - - - 2 - - - - - - 3 1 0 0 - - - - - - 3 - - - - - - 3 2 0 2 2 3 2 0 - - - - - - 3 ) 。

利用上述算法,通过Matlab计算托普利兹问题,我们得到以下结果。

一般托普利兹矩阵解决方案 (36) X * = ( - - - - - - 0.40791 - - - - - - 0.83796 0.080264 - - - - - - 0.041414 - - - - - - 0.55794 - - - - - - 0.40791 - - - - - - 0.83796 0.080264 0.62335 - - - - - - 0.55794 - - - - - - 0.40791 - - - - - - 0.83796 0.30656 0.62335 - - - - - - 0.55794 - - - - - - 0.40791 ) 。 上三角托普利兹矩阵解决方案 (37) X u = ( - - - - - - 0.37531 - - - - - - 0.76827 - - - - - - 0.069704 - - - - - - 0.079890 0.0 - - - - - - 0.37531 - - - - - - 0.76827 - - - - - - 0.069704 0.0 0.0 - - - - - - 0.37531 - - - - - - 0.76827 0.0 0.0 0.0 - - - - - - 0.37531 ) , 和对称托普利兹矩阵解决方案 (38) X 年代 = ( - - - - - - 0.46064 - - - - - - 0.64477 0.35659 0.27712 - - - - - - 0.64477 - - - - - - 0.46064 - - - - - - 0.64477 0.35659 0.35659 - - - - - - 0.64477 - - - - - - 0.46064 - - - - - - 0.64477 0.27712 0.35659 - - - - - - 0.64477 - - - - - - 0.46064 ) 。

5。结论

我们已经讨论了普罗克汝斯忒斯托普利兹的问题包括,三角形,对称的情况下。改造后的起源问题转化为二次曲面形态,我们与工厂获得一般的或独特的解决方案,通过求解线性方程组。

 确认

作者要感谢m . g . Eberle和m . c .斑点首次提出和研究了普罗克汝斯忒斯托普利兹的问题。他们也感谢裁判任何有益的建议或加强定理。

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