nanofluid是胶体混合纳米粒子在基液(< 100海里)。众所周知,nanofluid可以极大地提高传热特征的原始流体(基地)。nanofluid的其中一个特点是异常高导热系数非常低浓度的纳米颗粒和对流传热的相当大的改进。因此,纳米流体有许多应用在工业如冷却剂、润滑剂、热交换器、微通道散热器。纳米粒子是由各种各样的材料,如氧化物陶瓷、氮化硅陶瓷。纳米流体的目的是实现与尽可能最好的热性能(< 1%)纳米粒子体积分数的基础液( 1]。已经有许多研究在文献中更好地理解背后的机制增强传热的特点。一个很好的收集关于这一主题的文件可以在书中找到由Das et al。 2在几个评审论文([]和 3- - - - - - 8])。还有一些实验研究更好地理解的机制在纳米流体自然对流传热的传热增强([ 1, 9- - - - - - 12])。

马朗戈尼流沿着液体表面张力引起的表面原因不良影响晶体生长融化在相同的方式作为buoyancy-induced自然对流( 13]。这些不良的影响也发生在空间晶体生长实验从马朗戈尼流参与微重力以及在地球重力。马朗戈尼效应的一个很好的视图从所有三个可能的接口的角度Tadmor[运动诱导代理人已经完成的 14]。值得一提的是,有两个现有的模型马朗戈尼边界层的研究,即模型nonisobaric马朗戈尼边界层所讨论的Golia和Viviani 15)和马朗戈尼在平板边界层模型研究了克里斯托弗和王( 13]。马朗戈尼边界层研究Golia和Viviani 15)扩展了流行et al。( 16他们包括浓度方程。Chamkha et al。 17与Golia和Viviani[]研究了相同的模型 15在考虑重力的影响。哈米德et al。 18)扩展的问题thermosolutal马朗戈尼强制对流边界层流动由流行et al。 16当墙渗透。最近,垫el al。 19]讨论了辐射对马朗戈尼边界层问题的影响与渗透表面。另一方面,nanofluid方程模型提出的女子,Das ( 20.)已经被-阿里芬et al。( 21)通过Golia马朗戈尼边界层问题和Viviani [ 15]。他们还发现,数值结果表明,对于常规的流体( φ = 0 )和nanofluid ( φ ≠ 0 ),存在双重解决方案 β < 0.5 。没有讨论这些双重解决方案Golia和Viviani 15]。这个问题已经延长Remeli et al。 22)吸和注射效果的问题。垫等。 23]也延长了马朗戈尼边界层问题在nanofluid -阿里芬et al。 21辐射效应)。

值得一提的是,克里斯托弗和王( 13)认为马朗戈尼在平板边界层的术语 u e ( x ) ,这是外部流动的速度Golia和Viviani 15),一直被忽视。克里斯托弗和王的相似的解决方案( 13问题也不同于Golia和Viviani [ 15)问题。克里斯托弗和王的问题( 13)已经被一些研究人员如Al-Mudhaf和扩展Chamkha [ 24),他们提出了相似解决方案磁流体动力马朗戈尼对流的热生成或吸收效果和Magyari和Chamkha 25]报道的精确解析解thermosolutal马朗戈尼流的存在与温度有关的体积热源/下沉以及一阶的化学反应。最近,哈米德et al。 26]研究了二维马朗戈尼对流流过去的平板的热辐射,吸入,注入的影响。进一步磁流体动力thermosolutal马朗戈尼对流边界层在平面上考虑热扩散的影响和diffusion-thermo流体吸入和注射检查了哈米德et al。 27]。

应该强调,本文提出了一种相似性解的稳定马朗戈尼对流边界层流动在一个静态的半无限平板nanofluid由于强加一个温度梯度,它扩展了问题,克里斯托弗和王( 13nanofluid的情况下)。nanofluid方程模型提出的女子和Das ( 20.)已被使用。该模型已成功地应用于数篇论文( 21, 28- - - - - - 32]。因此,我们希望本研究强调这是原始,所有的结果都是新的。我们所知,目前的问题还没有考虑。nanofluid研究仍处于初期阶段,似乎很难有一个精确的想法在路上使用纳米粒子在传热行为。清楚的边界层流动nanofluid尚未出现。

我们考虑过去稳定二维边界层流动中的半无限平板水性nanofluid包含不同类型的纳米粒子,即铜(铜)、氧化铝( 艾尔 2 O 3 ),二氧化钛( TiO 2 ),马朗戈尼效果。假设nanofluid不可压缩流是假定为层流。它还假定基础流体(即。,w在er)和the nanoparticles are in thermal equilibrium and no slip occurs between them. The thermophysical properties of the nanofluids are given in Table 1(见Oztop和Abu-Nada [ 29日])。此外,我们考虑一个笛卡尔坐标系统( x , y ), x 和 y 沿板和坐标测量正常,分别发生在流动 y ≥ 0 。它还假设板的温度 T w ( x ) 和环境nanofluid T ∞ 。后( 15- - - - - - 17, 25, 33, 34的表面张力 σ 被认为与温度线性变化: (1) σ = σ 0 ( 1 - - - - - - γ ( T - - - - - - T 0 ) ] , 在哪里 σ 0 和 T 0 分别的特征是表面张力和温度,我们假设 T 0 ≡ T ∞ 。方程( 1)是常见的假设 34]。对于大多数液体表面张力随温度;也就是说, γ 是一个积极的流体性质。

nanofluid的稳定边界层方程的坐标 x - - - - - - 和 y - - - - - - (( 13, 20.]) (2) ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 , (3) u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = μ nf ρ nf ∂ 2 u ∂ y 2 , (4) u ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = α nf ∂ 2 T ∂ y 2 边界条件 (5) v = 0 , T = T 0 + 一个 x 米 + 1 , μ nf ∂ u ∂ y = ∂ σ ∂ T ∂ T ∂ x 在 y = 0 , u = 0 , T = T ∞ 作为 y ⟶ ∞ 。 在这里, u 和 v 速度分量沿吗 x - - - y 分别相互重合, T nanofluid的温度, 米是常数的温度, α nf nanofluid的热扩散率, ρ nf 是nanofluid的有效密度, k nf nanofluid的有效导热系数, μ nf 的有效粘度nanofluid,由 (6) α nf = k nf ( ρ C p ) nf , ρ nf = ( 1 - - - - - - ϕ ) ρ f + ϕ ρ 年代 , μ nf = μ f ( 1 - - - - - - ϕ ) 2.5 , ( ρ C p ) nf = ( 1 - - - - - - ϕ ) ( ρ C p ) f + ϕ ( ρ C p ) 年代 , k nf k f = ( k 年代 + 2 k f ) - - - - - - 2 ϕ ( k f - - - - - - k 年代 ) ( k 年代 + 2 k f ) + ϕ ( k f - - - - - - k 年代 ) , 在哪里 ϕ 纳米粒子体积分数, ρ f 是参考密度的液体分数, ρ 年代 固体部分的参考速度, μ f 液体的粘度馏分, k f 是液体的导热系数, k 年代 是固体的导热系数, ( ρ C p ) nf nanofluid的热容。

我们现在寻找一个相似的解决方案( 2)- ( 4)受边界条件( 5)以下的形式: (7) ψ = C 1 x ( 2 + 米 ) / 3 f ( η ) , θ ( η ) = T - - - - - - T ∞ 一个 x 1 + 米 , η = C 2 x ( 米 - - - - - - 1 ) / 3 y , 在哪里 ψ 流函数的定义是 u = ∂ ψ / ∂ y 和 v = - - - - - - ∂ ψ / ∂ x 。此外, 米 , 一个 , C 1 , C 2 是常数, 一个 , C 1 , C 2 给出的 (8) 一个 = Δ T l 米 + 1 , C 1 = σ 0 γ 一个 μ f ρ f 2 3 , C 2 = σ 0 γ 一个 ρ f μ f 2 3 , 与 l 被表面的长度 Δ T 是恒定的温度特征。用( 7)( 2)和( 3),我们得到下列常微分方程: (9) 1 ( 1 - - - - - - ϕ ) 2.5 ( 1 - - - - - - ϕ + ϕ ρ 年代 / ρ f ) f ′′′ + 2 + 米 3 f f ′′ - - - - - - 1 + 2 米 3 f ′ 2 = 0 , 1 公关 k nf / k f ( 1 - - - - - - ϕ + ϕ ( ρ C p ) 年代 / ( ρ C p ) f ) θ ′′ + 2 + 米 3 f θ - - - - - - ( 1 + 米 ) f ′ θ = 0 , 和边界条件( 5)成为 (10) f ( 0 ) = 0 , 1 ( 1 - - - - - - ϕ ) 2.5 f ′′ ( 0 ) = - - - - - - 1 , θ ( 0 ) = 1 , f ′ ( ∞ ) = 0 , θ ( ∞ ) = 0 。 我们现在可以确定表面速度 u ( x , 0 ) = u w ( x ) 作为 (11) u w ( x ) = ( σ 0 γ 一个 ) 2 ρ f μ f 3 x ( 1 + 2 米 ) / 3 f ′ ( 0 ) 。 量感兴趣的是当地的努塞尔特数 ν x 这是定义为 (12) ν x = x 问 w ( x ) k f ( T ( x , 0 ) - - - - - - T ( x , ∞ ) ] , 在哪里 问 w ( x ) 是板的表面的热通量,它是由吗 (13) 问 w ( x ) = - - - - - - k nf ( ∂ T ∂ y ) y = 0 。 使用( 7),( 12)和( 13),我们得到 (14) ν x = - - - - - - k nf k f C 2 x ( 2 + 米 ) / 3 θ ′ ( 0 ) 。 平均努塞尔数 ν l 基于表面的平均温度之间的温差和温度远离表面(环境流体)是由 (15) ν l = - - - - - - 6 + 3 米 5 + 4 米 k nf k f 米 一个 l 1 / 3 P r - - - - - - 1 / 3 θ ′ ( 0 ) , 在哪里 米 一个 l 马朗戈尼基于吗 l 和被定义为 (16) 米 一个 l = σ T 一个 l 2 + 米 μ f α f = σ T Δ T l μ f α f 。 另外,总质量流量 米 ˙ 在单位宽度是由边界层 (17) 米 ˙ = ∫ 0 ∞ ρ f u d y = σ 0 γ ρ f μ f 3 x ( 2 + 米 ) / 3 f ( ∞ ) 。

非线性常微分方程( 9)受边界条件( 10)形成一个两点边值问题(BVP)和数值求解使用Runge-Kutta-Fehlberg fourth-fifth-order (RKF45)方法使用枫12 -和算法RKF45枫已经被测试的准确性和鲁棒性( 35]。在这种方法中,最重要的是选择合适的有限值的边界层的边缘, η → ∞ (说 η ∞ 4 - 10),按照惯例在边界层分析。我们开始的初始猜测值 η ∞ 和解决( 9)受边界条件( 10)与一些特定的参数来获得表面速度 f ′ ( 0 ) 和温度梯度 - - - - - - θ ′ ( 0 ) 。重复的解决方案过程直到进一步的变化(增加) η ∞ 不会导致任何值的变化 f ′ ( 0 ) 和 - - - - - - θ ′ ( 0 ) 或者换句话说,结果是独立的价值 η ∞ 。使用的初始步长 h = Δ η = 0.1 。后Oztop和Abu-Nada 29日),我们认为是纳米粒子体积分数的范围 ϕ 作为 0 ≤ ϕ ≤ 0.2 。普朗特数的基液(水)保持常数为6.2。此外,它还应该指出,流体的热物理性质和纳米颗粒( 铜 , 一个 l 2 O 3 , “透明国际” O 2 这项研究给出了表中) 1。值得一提的是,目前的研究减少的一个经典粘性(常规)流体研究克里斯托弗和王( 13)当 ϕ = 0 。

数据 1和 2显示无量纲速度的分布 f ′ ( η ) 和温度 θ ( η ) 概要文件时三种类型的纳米粒子考虑固体体积分数的nanofluid参数 ϕ = 0.1, 米 = 0 (对应于一个线性变化的表面温度与距离 x 测量沿平板),而数字 3和 4显示的变化 ϕ 减少表面的速度, f ′ ( 0 ) 降低温度梯度, - - - - - - θ ′ ( 0 ) ,分别。从图 1,速度概要图 1为艾尔<年代ub>2O<年代ub>3和TiO<年代ub>2几乎相同,而铜的概要文件是小。这是与减少表面速度的变化一致 f ′ ( 0 ) 如图 3。在图 2,显示温度曲线是高等热扩散率最高的纳米颗粒(铜)。另一方面,热边界层厚度,如图 2随热扩散率减少,进而引起的 - - - - - - θ ′ ( 0 ) 如图 4。数据 3和 4显示表面速度, f ′ ( 0 ) 表面温度梯度, - - - - - - θ ′ ( 0 ) 分别对不同类型的纳米颗粒(铜、铝<年代ub>2O<年代ub>3,TiO<年代ub>2)当 米 = 0 。一个可以看到表面速度, f ′ ( 0 ) 和表面温度梯度, - - - - - - θ ′ ( 0 ) 减少, ϕ 增加三个纳米颗粒(铜、铝<年代ub>2O<年代ub>3,TiO<年代ub>2)。应该注意到的全部价值 - - - - - - θ ′ ( 0 ) 总是积极;也就是说,热量从热表面转移到寒冷的表面。在图 4,我们正在研究温度梯度的变化与纳米粒子体积分数 ϕ 。可以看出热扩散系数的值会导致更高的温度梯度和,因此,增强传热高。纳米粒子与热扩散率低,TiO<年代ub>2,有更好的增强传热相比,铜和铝<年代ub>2O<年代ub>3。此外,图 5显示了减少表面的变化速度 f ′ ( 0 ) 与 米 ,在那里 米 = 0 指的是一个线性变化的表面温度与距离 x 沿平板和测量 米 = 1 是一个二次表面温度的变化 x ,而 米 = - - - - - - 0.5 指的是一个温度变化相对于的平方根 x 。还应该注意到 ϕ = 0 (常规流体),我们复制表面速度的变化通过克里斯托弗和王( 13),图中虚线所示。

数据 6来 11显示无量纲速度 f ′ ( η ) 和温度 θ ( η ) 配置文件的不同的值 ϕ 范围内 0 ≤ ϕ ≤ 0.2 当 米 = 0 与不同类型的纳米粒子,即铜、铝<年代ub>2O<年代ub>3,TiO<年代ub>2,分别。值得一提的是,纳米粒子体积分数是一个关键参数为研究纳米粒子在流场和温度分布的影响。更多的液体加热纳米粒子体积分数的值更高。流强度也纳米颗粒体积分数的增加而增加。随着纳米颗粒体积分数的增加,粒子的运动变得不规则、随机由于流体的能量增加汇率(见[ 29日])。从这些数字中观察到,对于任何类型的纳米粒子,纳米粒子体积分数 ϕ 增加,表面速度和温度梯度降低,这是在协议与数据 3和 4。还应该注意到, ϕ = 0 (常规流体),我们复制的速度和温度资料获得的克里斯托弗和王( 13]。

我们从理论上和数值研究了稳定问题的二维层流Marangoni-driven在纳米流体边界层流动。值得一提的是,本文的新颖是研究数值传热液体层由马朗戈尼流与各种类型的纳米颗粒(铜、铝<年代ub>2O<年代ub>3,TiO<年代ub>2)基液中尚未考虑。非线性常微分方程( 9)受边界条件( 10)形成一个两点边值问题(BVP)和数值求解使用Runge-Kutta-Fehlberg fourth-fifth-order (RKF45)方法使用枫12日和算法RKF45枫已经被测试的准确性和鲁棒性。相似的解决方案获得了表面速度 f ′ ( 0 ) 和表面温度梯度 - - - - - - θ ′ ( 0 ) 以及一些值的速度和温度资料管理参数,即nanofluid的固体体积分数 ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 0.2 ),常数指数 米 ,普朗特数 公关 。发现纳米粒子热扩散率较低(TiO<年代ub>2)有更好的增强传热相比<年代ub>2O<年代ub>3和铜。