高斯过程(GP)被描述为一个复杂的随机变量,一些变量的多变量的高斯分布。GPRs是nonprometric概率模型基于内核。假设一个训练集,{( x 我 , y 我 ); 我= 1,2,…。}, y 我 和 x 我 ∈ R d 和他们都是未知分布。一个训练有素的探地雷达模型预测的价值 y 新 它的输入矩阵吗 x 新 。 假设一个线性回归函数, y= x T β + ε ,这 ε ∼ N 0 , 0 2 。探地雷达方法倾向于解释 y通过展示隐藏变量,可以显示 l( x 我 ), 我= 1,2,3,… n从一个高斯过程(GP)的常见分布 l x 我 ′ 年代 是一个高斯函数和基本函数, b。 l x 我 ′ 年代 是协方差函数,捕获的平滑 y。项目的基本功能 x在特征空间。特征空间的维数 p。协方差和均值的主要参数是一个医生。假设的意思是功能 l( x)是 米( x)= E( l( x)及其协方差函数 k( x, x ′ )= x ( l( x), l( x ′ )]。现在假设GPR模型 y= b x T β + l x ,这 b x ∈ R d 和 l( x) ∼ 全科医生 0 , k x , x ′ 。 θ 是hyperparameter k( x, x ′ ),因此可以表达 k( x, x ′ | θ )。一般来说,一些近似算法 θ , σ 2 , 和 β 培训一个合适的模型和分配初始值和一些规范等 k和 b作为参数。本研究调查等四个不同的和重要的内核功能理性的二次,Matern,指数,平方指数。方程( 1)- ( 4)目前的这些规范,分别在这些方程, σ l 特征长度的规模这意味着如何 x ′ 年代 可以远离 y ′ 年代 成为不相关的。 σ f 标准偏差, r= x 我 − x j T x 我 − x j ,另一方面, α 是一个积极的参数在规模和复杂性。提到是很重要的 σ f 和 σ l 应该大于0 ( 39]。这可能只有通过 θ 其中包括两个参数 θ 1 = 日志 σ l 和 θ 2 =日志 σ f 。 (1) k x 我 , x j | θ = σ f 2 经验值 1 + r 2 2 α σ l 2 − α , (2) k x 我 , x j | θ = σ f 2 1 + 5 r σ l + 5 r 2 3 σ l 2 经验值 − 5 r σ l , (3) k x 我 , x j | θ = σ f 2 − 5 r σ l , (4) k x 我 , x j | θ = σ f 2 经验值 − 1 2 x 我 − x j T x 我 − x j σ l 2 。

在这种先前的方程,四个基本功能研究;这些功能包括常数,空的,线性的,和纯二次方程中可以看到( 5)- ( 8),分别。基函数的规范如下: (5) X = x 1 , x 2 , … , x n T , X 2 = x 11 2 ⋯ x 1 d 2 ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 2 ⋯ x n d 2 , (6) B = 我 n ∗ 1 , B = 空矩阵 , (7) B = 1 , X , (8) B = 1 , X , X 2 , 哪一个 B= b x 1 , b x 2 , … , b x n T 。

估算 θ , σ 2 , β 中提到的,称为边际函数对数似方程( 9)应该最大化。 K( X, X| θ 在矩阵 k x 1 , x 1 ⋯ k x 1 , x n ⋮ ⋱ ⋮ k x n , x 1 ⋯ k x n , x n 是协方差函数。最终的目标是最大化的方程 日志 P y | X , β θ , σ 2 ^ , σ 2 , θ 基于 σ 2 和 β 。日志中的函数被称为似然函数。首先,算法计算 β θ , σ 2 ^ ;这应该是最大化的 σ 2 , β , θ 。这个助攻,获得 β − 配置文件 上面提到的可能性,如前所述,应该最大化两个参数 σ 2 和 β 。 (9) 日志 P y | X , β σ 2 , θ = − 1 2 y − B β T K X , X | θ + σ 2 我 n − 1 y − B β − n 2 日志 2 π − 1 2 日志 K X , X | θ + σ 2 我 n 。