IJAP 国际期刊的天线和传播 1687 - 5877<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 5869 Hindawi 10.1155 / 2021/7164286 7164286 研究文章 一种新的混合算法对瞬态从粗糙表面在二维情况下近场散射 https://orcid.org/0000 - 0002 - 6010 - 6486 田 魏 1 2 https://orcid.org/0000 - 0003 - 4735 - 9195 魏 必应 1 https://orcid.org/0000 - 0002 - 6459 - 3162 杨 钱 1 祖拜尔 默罕默德 1 物理与光电工程学院 宁海西店大学 西安710071年 中国 xidian.edu.cn 2 物理与电子信息学院 延安大学 716000年延安 中国 yau.edu.cn 2021年 26 8 2021年 2021年 18 5 2021年 13 8 2021年 26 8 2021年 2021年 版权©2021魏添et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

提出了一种新的混合算法减少计算成本的时域有限差分(FDTD)方法计算瞬态从粗糙表面近场散射。散射问题分为FDTD计算轮廓上的等效源封闭粗糙表面和近场辐射的计算二维(2 d)时域惠更斯原理。辐射领域被发现从一个表面的颞卷积积分的直接数值积分卷积计算昂贵。摘要二维时域格林函数的卷积核是近似的总和指数利用普龙尼的方法。然后,semianalytical递归卷积(不仅)方法应用于近场辐射的更新完成。与传统FDTD相比,该混合算法可以显著降低内存使用和运行时,特别是对于大粗糙表面之间的距离和观察点。

 中国国家自然科学基金 62001345 61901324 61961041 中国博士后科学基金会 2019年m653548 2019年m663928xb 中央大学基础研究基金 XJS200501 XJS200507 JB200501 YJS2105 1。介绍</t我tle> <p>广泛应用的宽带雷达,瞬变电磁(EM)从粗糙表面散射得到了越来越多的关注,而雷达监测领域扮演重要的角色,他们想象,目标识别、隐形等。<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>]。以前的研究主要集中在模拟从粗糙表面电磁散射远场区域(<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>]。事实上,近场散射问题是广泛存在的上述目标工作背景,如低空电缆在地面或海洋。只有通过掌握从粗糙表面近场散射特性,我们可以从背景和系统地分析电磁干扰获得目标的相对完整的耦合结果。因此,它是至关重要的,研究一种有效的时域算法的近场散射耦合分析的低空目标和保护敏感的电子设备。</p> <p>在过去的十年中,数值方法已广泛应用于电磁分析拥有的高性能计算机的快速发展<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。其中,有限差分时域应承担(FDTD)方法是一个强大的和受欢迎的技术,数值求解瞬态场的问题,而且取得了成功的应用远场散射从粗糙表面<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>]。然而,当使用有限差分模拟近场散射,蛮力的方法是扩大计算域将粗糙表面和观测点,这将导致一个沉重的负担可用的计算资源。此外,近场区观测点的距离从粗糙表面,计算负担越重。现在,一些混合算法结合FDTD和解析逼近方法提出了减少FDTD空间点阵,提高计算效率。在[<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>),相关的FDTD)基尔霍夫提出了曲面积分计算偶极天线的近场响应的三维(3 d)情况下,偶极子天线被分配在FDTD)地区和近场响应在FDTD空间由基尔霍夫曲面积分计算。二维(2 d)问题,通过二维时域惠更斯原理、颞卷积积分需要解决得到近场响应外部FDTD)地区,这一点将使计算更加复杂化。的直接集成时间卷积计算昂贵,因此它适用于电磁分析的小模型如无限长的线源(<xref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>]。许等人在<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>)采用梯形近似解决时间卷积,然后是近场散射外FDTD)地区被应用的治疗方案计算辐射场等效柱面波,可以准确地用于目标与圆柱形状。然而,对于大型粗糙表面模型,结构和散射波的特点使近场散射的仿真与这些方法很困难。近年来,一个卓有成效的semianalytical递归卷积(不仅)方法介绍了色散媒质的问题,实现高效计算卷积积分的<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B20"> 20.</xref>]。但当二维时域格林函数作为卷积核,递归操作很难意识到由于其特定的结构。本文应用普龙尼克服了这个困难的方法近似卷积核的总和指数计算,避免了复杂的分析收敛的级数展开计划<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>]。混合算法相结合的二维时域有限差分惠更斯原理,提出了计算瞬态从粗糙表面近场散射,在正常的一部分不仅卷积积分计算的方法和奇异的部分是使用线性插值。因为大量的FDTD网格之间的粗糙表面和近场区观测点,内存使用率和运行时在该算法极大地降低了比传统FDTD方法。与此同时,该混合算法保留了FDTD方法的独特优势。</p> <p>本文的其余部分组织如下:在部分<xref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xref>混合算法相结合的二维时域有限差分惠更斯原理阐述,包括卷积的普龙尼近似内核和不仅方法求解等效源的近场辐射。节<xref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xref>的精度和效率,提出了混合算法通过计算结果的比较验证混合算法和传统FDTD方法。部分<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>本文的结论,并提供了对未来工作的建议。</p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。混合算法从粗糙表面近场散射</t我tle> <p>的FDTD计算瞬态散射近场,一个常见的方法是扩展FDTD地区将粗糙表面和近场区观测点,如图<xref ref-type="fig" rid="fig1a"> 1(一)</xref>。观测点的高度的增加,内存使用和运行时将大幅增加,因此往往很难实现近场散射FDTD计算的。提出的混合算法,然而,FDTD地区只包含在图所示的粗糙表面<xref ref-type="fig" rid="fig1b"> 1 (b)</xref>;近场响应的观察点<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>被认为是等效源的辐射输出FDTD)地区的边界。比较数据<xref ref-type="fig" rid="fig1a"> 1(一)</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig1b"> 1 (b)</xref>,可以看出,计算域的混合算法小得多,在FDTD方法中,特别是在高观察点。</p> <fig-group id="fig1"> <label>图1</label> <p>近场散射计算域的比较。(一)传统FDTD方法。(b)提出的混合算法。</p> <fig id="fig1a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.001a"></graphic> </fig> <fig id="fig1b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.001b"></graphic> </fig> </fig-group> <sec id="sec2.1"> <title>2.1。在二维情况下的近场理论转换</t我tle> <p>假设<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>分别输出边界表面上的电场和磁场的FDTD域。根据等效原理,表面电场和磁场电流<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和费用<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以获得的<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1a"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> J</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq1b"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1 b)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>表示输出边界上的单位法向量。二维问题,矢量和标量势可以表示二维时域格林函数<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2a"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq2b"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2 b)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq2c"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2 c)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq2d"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2 d)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在这里,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>代表了磁导率和介电常数,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>观测点的距离吗<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>源字段<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>电磁波的速度。按照矢量和标量势,二维辐射场外部FDTD地区可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3a"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> ∇</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mo> ∇</米米l:mo> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq3b"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3 b)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> ∇</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mo> ∇</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>用方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2a"> 2</xref>)方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3a"> 3</xref>),将时间向后引用<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>合法产业,计算等效源的二维辐射场可以获得<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>),对于TM的情况,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4a"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mlabeledtr id="EEq4b"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4 b)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mlabeledtr id="EEq4c"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>TE模式中相应的公式可以推导出二元性的原则,这不是这里描述。很明显,卷积内核在方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4a"> 4</xref>)一个平方根奇异性<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。一种有效的方式在解决奇点是大约计算卷积积分区间<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>使用线性插值。假设<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>等效源的时间导数,例如,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,可以由时间反演和偏移量的形式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>例如,替换(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xref>)的第二个任期(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4a"> 4</xref>),我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mi> |</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>一个类似的过程可以实现对其他条款在方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4a"> 4</xref>)获得对应的近似结果的区间<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。的卷积积分区间<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>计算通过使用高效不仅方法,稍后将详细阐述。</p> </sec> <sec id="sec2.2"> <title>2.2。普龙尼近似卷积的内核</t我tle> <p>尽管方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4a"> 4</xref>)适用于计算机执行,它的直接集成等繁琐是不切实际的,由于需要存储和处理的所有过去的时间导数值等效源。这个方案尺度的计算复杂度<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> O</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是总时间的步骤。本文不仅方法将被应用到减少卷积积分的复杂性。它可以找到从方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4a"> 4</xref>)卷积内核主要包括两种形式:<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这使得很难执行递归卷积操作。基于高速电路中的信号估计的想法(<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>),普龙尼的方法用于近似卷积核的总和指数条款:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在这里,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>离散卷积核的样品吗<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示等距的时间步长,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>代表总数的波兰人,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>表示的系数和振幅<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>杆。的<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>评估普龙尼的方法通过求解两组线性方程组的一个中间非线性方程<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>学位。首先,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>等距的时间样品卷积的内核来设置一组线性方程<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋱</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。根<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>可以由解决这个采样过量组线性方程组的最小二乘方法。通过方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>),<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>可以找到如下的根源吗<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>th度方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>如果共轭复数根出现在方程的解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>),用他们的大小来代替复杂的一对<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,取消任何重复。替换<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>)和介绍<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>离散卷积内核的样品,一个新组的线性方程<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的值<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>可以建立如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋱</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。系数<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>可以通过使用最小二乘方法得到方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xref>)。</p> <p>图<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>显示普龙尼的拟合结果的对比与分析结果的近似,在红色的短破折号表示分析结果和蓝线表示拟合结果与普龙尼的方法。的拟合计算,空间增加<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.05</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>,时间增量<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和观测点位于源点<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 80年</米米l:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 10</米米l:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,分别。卷积的抽样内核开始<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi mathvariant="normal"> int</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,间隔20<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。在数据<xref ref-type="fig" rid="fig2a"> 2(一个)</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig2b"> 2 (b)</xref>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>1和2分别表示为卷积核的方便。样本选择和波兰的总数30和10个,分别。它可以看到从图<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>几乎相同的结果产生的两个方法,这意味着普龙尼的可靠性的方法。</p> <fig-group id="fig2"> <label>图2</label> <p>比较拟合结果普龙尼的近似分析结果。(一)卷积内核1。(b)卷积核2。</p> <fig id="fig2a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.002a"></graphic> </fig> <fig id="fig2b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.002b"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <sec id="sec2.3"> <title>2.3。Semianalytical递归卷积方法</t我tle> <p>RASC方法是一个富有成效的卷积积分的计算方案,基于的想法转移反应的有效分析数字信号处理(DSP) (<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>]。线性定常和动力系统,如图<xref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>,系统响应<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以表示为输入信号的卷积吗<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与脉冲响应<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ∗</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <fig id="fig3"> <label>图3</label> <p>传输响应线性定常系统。</p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.003"></graphic> </fig> <p>一般来说,一个渐近稳定系统的脉冲响应的形式,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> U</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>代表极数,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> U</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>开关功能:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> U</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>用方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xref>)方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 11</xref>),系统响应<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>可以获得的<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>的系统响应<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>th极是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>分的积分方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</xref>)分为两个区间,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们得到系统响应的递推公式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>摘要等效源近场辐射的类似于DSP系统响应。内核可以视为脉冲响应卷积后近似指数项之和。等效源的时间导数对应于输入信号。因此,近场辐射可以通过应用不仅更新方法。接下来,重点不仅方法评估方程中的辐射场(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4a"> 4</xref>),代表的卷积的形式,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17a"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq17b"> <mml:mtd> <mml:mtext> (b) 17日</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> W</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>对方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq17a"> 17一个</xref>)为例,使用上述普龙尼的方法可以近似卷积核<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>根据方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</xref>),间隔的时间卷积<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以表示为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> W</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> W</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以近似按线性插值方法如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> W</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>用方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</xref>)方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq19"> 19</xref>),并分析解决积分区间<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们发现以下field-update方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (22)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</xref>),很明显,不仅方法计算近场辐射效率高。这是因为这种方法避免了存储和处理要求的完整历史等效源的输出边界FDTD地区及其计算复杂度降低<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> O</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。除此之外,不仅方法有更好的精度比一般递归方法,由于分析计算卷积积分的离散时间间隔。</p> </sec> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。结果与讨论</t我tle> <p>图<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>显示近场散射从粗糙表面的几何形状。观察角度<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>坐落在粗糙表面,然后呢<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>表示入射角。不失一般性,这里使用一维Weierestrass-Mandelbrot函数生成粗糙表面(<xref ref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>]。在数值计算中,粗糙表面的长度了<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 160年</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>和空间增加了<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.05</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>允许合理的粗糙表面模型的分辨率与阶梯近似离散,时间增量将是<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>按照报稳定条件(<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>]。单轴的二维FDTD空间点阵终止完美匹配层(UPML) [<xref ref-type="bibr" rid="B25"> 25</xref>),它的厚度选择<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mn> 10</米米l:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。考虑到粗糙表面暴露在高斯脉冲,其表达式<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。采用入射波的参数如下:<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 60</米米l:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.8</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig id="fig4"> <label>图4</label> <p>从粗糙表面几何结构的近场散射。</p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.004"></graphic> </fig> <p>为了说明提出的混合算法的准确性和效率,数据<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xref>现在比较近场散射结果的混合算法与传统FDTD方法TE和TM极化条件下,分别。在数据<xref ref-type="fig" rid="fig5a"> 5(一个)</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig5b"> 5 (b)</xref>,分别位于近场区的观察点<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>选择,入射角<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和均方根(RMS)的高度<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>,分形维数<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>的介电常数,粗糙的表面<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 10.801</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0.384</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。在数据<xref ref-type="fig" rid="fig6a"> 6(一)</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig6b"> 6 (b)</xref>,定位在近场区观察点<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1.5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1.5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>;其余的参数如下所示:<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 10.801</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0.384</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。它可以观察到从数据<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xref>这两种方法的时域散射波形是在良好的协议不同的条件。这个结果证明了本文提出的混合算法的准确性。除此之外,混合算法可以显著降低计算成本与传统FDTD方法相比。TE极化波的发生率和4000时间步长更新为例,提供了两种方法所需要的成本计算表<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>。当近场区观测点的高度<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>FDTD网格的数量,内存使用,和混合算法的运行时间减少到约72%,76%,74%的人在传统FDTD方法。为<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>使用混合算法,上面的关键因素是仅为39%,42%,和33%的人使用传统的方法,分别。很明显,混合算法变得更有效率和近场区的高度的增加观测点。这是因为FDTD)地区的传统方法必须大大扩大附上粗糙表面和观测点,而在混合算法观测点上升时保持不变。此外,我们可以找到从表<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>,该算法与传统FDTD方法在运行时<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2。5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>。这是由于这一事实,在这种情况下非常低的观察点,利用混合算法在减少FDTD网格几乎抵消了其计算近场辐射。随着近场区观测点的高度增加,该混合算法变得更有利的计算效率。</p> <fig-group id="fig5"> <label>图5</label> <p>近场<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>从粗糙表面散射FDTD)和混合算法对于TE的情况。(一)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>;(b)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig id="fig5a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.005a"></graphic> </fig> <fig id="fig5b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.005b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig6"> <label>图6</label> <p>近场<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>从粗糙表面散射FDTD)和混合算法对于TM的情况。(一)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>;(b)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig id="fig6a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.006a"></graphic> </fig> <fig id="fig6b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijap/2021/7164286.fig.006b"></graphic> </fig> </fig-group> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</label> <p>混合算法的计算成本和TE的FDTD方法的情况。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left"></th> <th align="center">FDTD)</th><thalign="center">混合算法</th><thalign="center">FDTD)</th><thalign="center">混合算法</th><thalign="center">FDTD)</th><thalign="center">混合算法</th></tr></thead> <tbody> <tr> <td align="left">观测点的态度</td><tdalign="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2。5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2。5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 米</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td align="left">细胞的数量</td><tdalign="center">688000年</td><tdalign="center">608000年</td><tdalign="center">848000年</td><tdalign="center">608000年</td><tdalign="center">1552000</td><tdalign="center">608000年</td></tr><tr> <td align="left">内存使用量(MB)</td><tdalign="center">27.9</td><tdalign="center">25.4</td><tdalign="center">33.4</td><tdalign="center">25.4</td><tdalign="center">60.5</td><tdalign="center">25.4</td></tr><tr> <td align="left">运行时间(年代)</td><tdalign="center">516年</td><tdalign="center">511年</td><tdalign="center">691年</td><tdalign="center">512年</td><tdalign="center">1551年</td><tdalign="center">512年</td></tr></tbody> </table> <table-wrap-foot> <fn> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>计算了一台电脑和一个2.30 GHz处理器(英特尔(<我talic> R</我talic>)至强(<我talic> R</我talic>)黄金5118 CPU), 64 GB的内存。</p> </fn> </table-wrap-foot> </table-wrap> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。结论</t我tle> <p>本文提出了一种新的混合算法来计算瞬态近场散射从粗糙表面对TE和TM极化。该混合算法是基于FDTD)和二维时域惠更斯原理,传统FDTD方法的发展。在混合算法,FDTD中只执行计算域包含粗糙表面,使得大量的FDTD网格消除粗糙表面之间的空间和观察点。验证了所提出的混合算法通过比较粗糙表面的近场散射波形为混合算法和传统FDTD方法。数值结果表明,该混合算法是一种准确、高效技术的瞬态计算近场从粗糙表面散射。此外,混合算法的相对效率变得更高的高度增加观测点。在未来,基于不仅方法将混合算法被开发研究瞬态复合散射和耦合色散的目标和背景。</p> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>仿真数据用于支持本研究的发现包括在本文中。</p> </sec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p> </sec> <ack> <title>确认</t我tle> <p>这项工作是支持部分由中国国家自然科学基金(批准号。62001345,62001345,61961041),在一定程度上由中国博士后科学基金会(批准号2019 m653548和2019 m663928xb),和部分基础研究基金为中央大学(格兰特XJS200501号,XJS200507 JB200501, YJS2105)。</p> </ack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lei</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 海恩斯</年代urname> <given-names> m . S。</given-names> </name> <name> <surname> Arumugam</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> Elachi</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 二维pseudospectral时域(PSTD)大规模的电磁散射和雷达探测应用程序的模拟器</article-title> <source> <italic> IEEE地球科学和遥感</我talic> <year> 2020年</year> <volume> 58</volume> <issue> 6</我年代年代ue> <fpage> 4076年</fpage> <lpage> 4098年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tgrs.2019.2960751</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 任</年代urname> <given-names> X.-C。</given-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 杨</年代urname> <given-names> P.-J。</given-names> </name> <name> <surname> 朱</年代urname> <given-names> X.-M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 电磁散射部分埋在地平面由多个列</article-title> <source> <italic> 国际期刊的天线和传播</我talic> <year> 2017年</year> <volume> 2017年</volume> <lpage> 8</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 8101509</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2017/8101509</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85042295015</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pinel</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> Le混蛋</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> Bourlier</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> EM波相干散射建模从一个粗略的多层介质与标量为探地雷达应用基尔霍夫近似</article-title> <source> <italic> IEEE地球科学和遥感</我talic> <year> 2020年</year> <volume> 58</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 1654年</fpage> <lpage> 1664年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tgrs.2019.2947356</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> <name> <surname> 他</年代urname> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分层粗糙表面散射的预测目标高于基于时域射线跟踪模型</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2021年</year> <volume> 69年</volume> <issue> 5</我年代年代ue> <fpage> 2820年</fpage> <lpage> 2832年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2020.3030914</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杨</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 罗</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> <name> <surname> 阴</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 任</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 电磁散射的粗糙的地面被多层植被覆盖</article-title> <source> <italic> 国际期刊的天线和传播</我talic> <year> 2019年</year> <volume> 2019年</volume> <lpage> 12</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 9413058</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2019/9413058</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85065624823</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿菲菲</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Dusseaux</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 从完美二维电磁散射导体粗糙表面:分析小微扰法和small-slope近似</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2018年</year> <volume> 66年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 340年</fpage> <lpage> 346年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2017.2772027</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85033725888</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 段</年代urname> <given-names> X。</given-names> </name> <name> <surname> 穆贾达姆</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 全波从粗糙表面电磁散射埋尺度</article-title> <source> <italic> IEEE地球科学和遥感</我talic> <year> 2017年</year> <volume> 55</volume> <issue> 6</我年代年代ue> <fpage> 3338年</fpage> <lpage> 3353年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tgrs.2017.2669897</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85015713667</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pham-Xuan</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> De Gersem</年代urname> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 布伦南</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 小说迭代算法解决分层随机粗糙表面的电磁散射</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2018年</year> <volume> 66年</volume> <issue> 7</我年代年代ue> <fpage> 3810年</fpage> <lpage> 3815年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2018.2835525</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85046825317</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ozgun</年代urname> <given-names> O。</given-names> </name> <name> <surname> Kuzuoglu</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 域分解有限元方法建模从风大浪急的海面电磁散射与强调near-forward表面散射</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2019年</year> <volume> 67年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 335年</fpage> <lpage> 345年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2018.2874766</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85054638161</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 魏</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 他</年代urname> <given-names> Q。</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> R.-X。</given-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> L.-X。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 下分层半空间介质瞬态响应的薄线以上使用TDIE / FDTD混合法</article-title> <source> <italic> 国际期刊的天线和传播</我talic> <year> 2012年</year> <volume> 2012年</volume> <lpage> 7</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 321452年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2012/321452</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84863360044</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 锅</年代urname> <given-names> G·G。</given-names> </name> <name> <surname> 琼斯</年代urname> <given-names> j . A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 对统一的数值算法的三维随机粗糙表面散射从介电和压电陶瓷</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2017年</year> <volume> 65年</volume> <issue> 5</我年代年代ue> <fpage> 2615年</fpage> <lpage> 2623年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2017.2679768</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85018925877</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 邹</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个FDTD-based方法的差异从一个目标高于随机粗糙表面散射</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2021年</year> <volume> 69年</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 2427年</fpage> <lpage> 2432年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2020.3019576</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 赖</年代urname> <given-names> Z.-H。</given-names> </name> <name> <surname> 西藏野驴</年代urname> <given-names> 肯尼迪。</given-names> </name> <name> <surname> Mittra</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 域分解时域有限差分(FDTD)方法从很大的粗糙表面散射问题</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2015年</year> <volume> 63年</volume> <issue> 10</我年代年代ue> <fpage> 4468年</fpage> <lpage> 4476年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2015.2466466</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84954326489</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 贾</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 图形处理器单元加速时域有限差分法对电磁散射的一维大尺度以低掠入射粗糙土壤表面</article-title> <source> <italic> 应用遥感技术杂志》上</我talic> <year> 2014年</year> <volume> 8</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 084795年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1117/1. jrs.8.084795</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ramahi</年代urname> <given-names> o . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 近和远场计算数值模拟使用基尔霍夫曲面积分表示</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 1997年</year> <volume> 45</volume> <issue> 5</我年代年代ue> <fpage> 753年</fpage> <lpage> 759年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/8.575616</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0031140189</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杂绿色</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> <name> <surname> Araneo</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的半解析表示二维时域格林函数的石墨烯片intraband政权</article-title> <source> <italic> IEEE纳米技术</我talic> <year> 2015年</year> <volume> 14</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 681年</fpage> <lpage> 688年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tnano.2015.2431114</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84960480246</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sadrearhami</年代urname> <given-names> m . H。</given-names> </name> <name> <surname> Shishegar</年代urname> <given-names> 答:一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 时域格林函数的二维矩形房间</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2018年</year> <volume> 66年</volume> <issue> 12</我年代年代ue> <fpage> 7058年</fpage> <lpage> 7065年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2018.2869253</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85053164673</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 徐</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> 在香港</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 使用DD-FDTD分析二维稀疏多汽缸的散射问题的方法</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 2004年</year> <volume> 52</volume> <issue> 10</我年代年代ue> <fpage> 2612年</fpage> <lpage> 2617年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tap.2004.834435</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 7244250429</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> Y.-Q。</given-names> </name> <name> <surname> 通用电气</年代urname> <given-names> D.-B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个统一的FDTD方法分散的电磁分析对象</article-title> <source> <italic> 在电磁学的研究进展</我talic> <year> 2009年</year> <volume> 96年</volume> <fpage> 155年</fpage> <lpage> 172年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2528 / pier09072603</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 70350175939</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> l Q。</given-names> </name> <name> <surname> 魏</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 杨</年代urname> <given-names> Q。</given-names> </name> <name> <surname> 通用电气</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 电磁分析的半解析有限元时域递归卷积方法分散媒体</article-title> <source> <italic> Optik</我talic> <year> 2020年</year> <volume> 206年</volume> <lpage> 7</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 163754年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ijleo.2019.163754</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kragalott</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Kluskens</年代urname> <given-names> m . S。</given-names> </name> <name> <surname> 帕拉</年代urname> <given-names> w·P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 外一个二维FDTD空间时域字段</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 1997年</year> <volume> 45</volume> <issue> 11</我年代年代ue> <fpage> 1655年</fpage> <lpage> 1663年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/8.650077</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0031271867</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="book"> <label>22</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Taflove</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Hagness</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 计算电动力学:有限差分时域法</我talic> <year> 2005年</year> <edition> 3日</edition> <publisher-loc> 波士顿,美国</publisher-loc> <publisher-name> Artech房子</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Janke</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> <name> <surname> Blakiewicz</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 半解析卷积计算的递归算法</article-title> <source> <italic> IEE Proceedings-Circuits、设备和系统</我talic> <year> 1995年</year> <volume> 142年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 125年</fpage> <lpage> 130年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1049 / ip-cds: 19951665</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0029293214</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Berizzi</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> Dalle-Mese</年代urname> <given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分形分析信号从海面散射</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 1999年</year> <volume> 47</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 324年</fpage> <lpage> 338年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/8.761073</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0032632614</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 格德林</年代urname> <given-names> s D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个各向异性完全匹配layer-absorbing截断介质的FDTD晶格</article-title> <source> <italic> IEEE天线和传播</我talic> <year> 1996年</year> <volume> 44</volume> <issue> 12</我年代年代ue> <fpage> 1630年</fpage> <lpage> 1639年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/8.546249</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0030384174</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>