页岩气在过去十年已成为重要的能源资源。页岩气是指天然气组成主要是甲烷,困在毛孔内的细粒度的沉积岩与丰富的微孔隙和渗透率相对较低。页岩气储层与常规天然气储层不同,除了自由气体的毛孔和骨折,一定量的气体吸附到固体表面,因此,它不仅可以存储页岩气还生成气体( 1- - - - - - 4]。实验研究表明,吸附气体存储容量主要是页岩储层条件的影响,如温度、压力、和页岩基质孔隙结构( 2, 3, 5, 6]。大量的吸附模型已经开发描述甲烷吸附在页岩气储层。朗缪尔模型( 7)和Dubinin-Radushkevich (dr)模型( 8)是最广泛使用的模型来描述气体吸附在micropore-rich材料。甲烷在页岩地层条件下通常呆在超临界状态,因此,古典模型需要一个饱和压力不能用于描述气体吸附在超临界条件下( 3, 9]。通过使用气体密度而不是气体压力,修改配方的朗缪尔和dr模型已经开发了超临界条件下( 3, 9]。在本文中,结果表明,使用气体密度也将有利于确保热力学一致性的模型。

页岩气体流的建模以及媒体在预测页岩气生产中扮演着关键角色( 10- - - - - - 19]。致密多孔介质的气体流量,最引人注目的现象就是所谓的克林肯伯格效应( 20.),结果滑流的气体分子通过很小的毛孔。这种效应会导致明显的渗透率通常大于绝对渗透率的多孔介质( 14, 15]。通过使用明显的渗透性,可以简单地制定页岩气流动方程形式的达西定律,即气体速度与压力梯度成正比( 12- - - - - - 19, 21]。

作为一般原则,热力学的基本定律发挥重要作用在各种物理问题的建模 22- - - - - - 24]。特别,热力学第二定律指出,任何自发过程在一个孤立的系统总是导致熵的升级系统。根据热力学第二定律,一个恒温系统,任何动态过程应该服从一个能量耗散法( 22),一个有前途的模型应该保留这个属性。然而,能量耗散规律建模的页岩天然气运输到目前为止几乎没有研究。本文提出了一种新的数学模型,它使用气体密度而不是压力的主要变量,介绍了化学势梯度而不是压力梯度作为主要驱动力。严格证明了该模型遵循一个能量耗散定律,热力学,因此,它是一致的(也就是说,它遵循热力学第二定律)。

数值算法在离散级别保存能量耗散规律,所谓的能量稳定方法,也喜欢( 25- - - - - - 27]。总的来说,这是一个极具挑战性的问题构建这些方法由于常用的显式或隐式方案不能继承一个离散能量耗散。能量分解(EF)方法对亥姆霍兹自由能密度( 26)是一种新开发的方法来设计高效的能量稳定的数值方法。这种方法的一个吸引人的特点是,它会导致线性的,易于实现、和能源稳定的数值方案,这种优势更显著的实际流体的数值模拟。由于其优良的特性,这种方法已经成功地扩展到相场模型( 28, 29日]。在这工作,使用EF的方法,一个有效的,线性的,能量稳定semi-implicit数值方案构造模型的页岩气运输。

本文的其余部分组织如下。节 2化学电势模型的气体流在页岩媒体提出,这是证明遵守一个能量耗散法。一个高效的、线性的、能量稳定semi-implicit数值方法提出了部分 3。节 4,数值实验验证提出模型和数值模式。最后,提供了一些结论部分 5。

在本节中,一个化学电势模型提出了页岩气运输。化学势的定义是亥姆霍兹自由能密度的导数。在附录 一个,我们精心制作的亥姆霍兹自由能密度由Peng-Robinson状态方程( 30.]。

摩尔密度(摩尔m<年代up>3)的甲烷是用 c 。特定的温度 T K 亥姆霍兹自由能密度,用 f c ,是摩尔密度的函数 c 如附件所述 一个。化学势的定义是亥姆霍兹自由能密度函数的导数 f c 关于摩尔密度 (1) μ c = f ′ c , 在哪里 μ 是化学势(Pa · 摩尔<年代up>1米<年代up>3), f c 亥姆霍兹自由能密度(Pa)。

特定的温度和压力,一立方获得甲烷的摩尔密度方程是解决,此外,解决方案的 c 并不是唯一的。相比之下,对于特定的温度和摩尔密度,压力可以是独特的和显式地从Peng-Robinson计算状态方程( 30.在附录),制定 B。因此,在恒定的温度下,摩尔密度是首选的压力数值模拟的主要变量。

为特定的温度、压力变得摩尔密度的函数 c 只有。此外,压力与亥姆霍兹自由能密度和化学势( 22] (2) p = c μ − f , 在哪里 p 是(Pa)的压力。链式法则给出了压力梯度和化学势梯度之间的关系。 (3) ∇ p = ∇ c μ − ∇ f = c ∇ μ + μ ∇ c − μ ∇ c = c ∇ μ 。

让 ϕ 表示孔隙度。与丰富的微孔隙致密储层,克林肯伯格效应不容忽视,因此,视渗透率( 14, 15)表示为 (4) K 应用程序 = K 0 1<米米l:米o> + b p , 在哪里 b 克林肯伯格(Pa)和滑移因素吗 K 0 是内在的渗透率(md)。滑移因素占气体滑脱效应对渗透率的储层。不同配方的滑移因素已经开发文学,和下面的公式 13用于这项工作: (5) b = η σ 8<米米l:米i> π R T ϕ 米 w K 0 , 在哪里 η 是气体粘度(Pa · 年代), σ 是综合系数, R 是通用气体常数(m<年代up>3·巴·摩尔<年代up>1·K<年代up>1), 米 w 气体的摩尔量(g · 摩尔<年代up>1)。的基础上明显的渗透率,速度可以由达西定律的形式描述 (6) u = − K 应用程序 η ∇ p , 在哪里 u 达西速度(m · 年代<年代up>1), K 应用程序 是明显的渗透率(md)。应用关系( 3),获得化学电势速度公式如下: (7) u = − K 应用程序 η c ∇ μ 。

页岩气储层中,有大量的气体吸附到微孔隙除了自由气体。吸附气体没有移动,除非它将释放气体,因此,它是假定没有对自由能的贡献。在页岩气的背景下, c 与此同时,代表自由气体密度, c 广告 代表了吸附气体的摩尔密度。为了描述气体的吸附,有几个模型提出了文学,可以根据他们的主要变量分为两类,即pressure-based模型和density-based模型。一个著名的pressure-based模型是经典的朗缪尔吸附等温线模型( 7]。pressure-based模型不适合描述气体吸附在超临界条件下( 3, 9]。density-based模型已经开发和广泛应用于描述发生的吸附在页岩媒体。两种改性吸附模型使用摩尔密度作为附录中描述的主要变量 C,本文采用化学电势模型由于其一致性。质量免费和吸附气体的积累 c 合计 = ϕ c + 1<米米l:米o> − ϕ c 广告 ,在那里 c 广告 是吸附气体密度(摩尔 · 米<年代up>3)。质量平衡方程可以表示为 (8) ∂ c 合计 ∂ t + ∇ · u c = 0<米米l:米o> 。

此外,定义是密度制约的功能 (9) φ c = ∂ c 合计 ∂ c = ϕ + 1<米米l:米o> − ϕ ∂ c 广告 ∂ c , 然后,( 8)可以写成 (10) φ c ∂ c ∂ t + ∇ · u c = 0<米米l:米o> 。

等温动力系统,热力学第二定律导致一定的能量耗散法( 22]。该模型的一个突出特点是,它遵循一个能量耗散定律,热力学和结果,是一致的。让 Ω 是一个连接和光滑的空间域的边界 ∂ Ω ,此外,让 n 表示正常向外单位向量 ∂ Ω 。乘( 10) μ c 然后结合域,它遵循 (11) ∫ Ω μ c φ c ∂ c ∂ t d x + ∫ Ω μ c ∇ · u c d x = 0<米米l:米o> 。

化学势的定义和分部积分导致 (12) ∫ Ω φ c ∂ f c ∂ t d x + ∫ ∂ Ω μ c c u · n d 年代 − ∫ Ω u · c ∇ μ c d x = 0<米米l:米o> 。

用( 7)( 12)的收益率 (13) ∫ Ω φ c ∂ f c ∂ t d x + ∫ ∂ Ω μ c c u · n d 年代 = − ∫ Ω K 应用程序 η c 2 ∇ μ 2 d x 。

右边的( 13)代表耗能率。为了演示这个属性显然,吸附效果忽视和不渗透边界条件应用于整个域的边界,也就是说, u · n = 0 。在这种情况下,域内被定义为总自由能 (14) F t = ∫ Ω ϕ f c d x , 从( 13),下面的能量耗散定律可以导出: (15) ∂ F t ∂ t = − ∫ Ω K 应用程序 η c 2 ∇ μ 2 d x ≤ 0<米米l:米o> , 这意味着总自由能随着时间的推移将会消散,直到达到一个平衡状态。

在本节中,一个线性、高效数值方案提出,它能够确保能量耗散规律在离散级别。表示由 τ 时间步长和同样表示 t n = n τ 时间。在时间离散方案中, c n 代表的摩尔密度的近似 c 在时间 t n 。

该方案采用亥姆霍兹自由能密度的EF方法( 26),导致线性离散化学势继承能量耗散特性。亥姆霍兹自由能密度可以表示为三个贡献之和 (16) f c = f 理想的 c + f 排斥 c + f 吸引力 c , 在哪里 (17) f 理想的 c = c R T ln c , (18) f 排斥 c = − c R T ln 1<米米l:米o> − β c , (19) f 吸引力 c = α T c 2<米米l:米年代qrt> 2 β ln 1<米米l:米o> + 1<米米l:米o> − 2 β c 1<米米l:米o> + 1<米米l:米o> + 2 β c 。

在这里, R 通用气体常数和参数吗 α 和 β 描述在附录 一个。能量分解方法给出了离散化学势 (20) μ n + 1 = μ 理想的 n + 1 + μ 排斥 n + 1 + μ 吸引力 n , 在哪里 (21) μ 理想的 n + 1 = R T ln c n + R T c n + 1 c n , (22) μ 排斥 n + 1 = R T G ′ c n 2<米米l:米i> G c n + G ′ c n c n + 1 − c n − λ R T , (23) μ 吸引力 n = α T 2<米米l:米年代qrt> 2 β ln 1<米米l:米o> + 1<米米l:米o> − 2 β c n + 1<米米l:米o> − 2 β c n 1<米米l:米o> + 1<米米l:米o> − 2 β c n − α T 2<米米l:米年代qrt> 2 β ln 1<米米l:米o> + 1<米米l:米o> + 2 β c n + 1<米米l:米o> + 2 β c n 1<米米l:米o> + 1<米米l:米o> + 2 β c n 。

在( 22), G c 是一个中间的能量函数,它的定义是 (24) G c = λ c − c ln 1<米米l:米o> − β c , 在哪里 λ 是无量纲的稳定常数。显然,离散的化学势 μ n + 1 是一个线性的函数 c n + 1 只有。从物理的角度来看,摩尔密度的有界性 c 假设是 (25) 0<米米l:米o> < c ≤ ϱ , ϱ β < 1<米米l:米o> , 在哪里 ρ 是摩尔密度的上限。让 ε 0 = ϱ β 。如果稳定常数 λ 在( 24)选择这样 (26) λ ≥ ϵ 0 1<米米l:米o> − ϵ 0 2 + ϵ 0 2 1<米米l:米o> − ϵ 0 4 − 2<米米l:米i mathvariant="normal"> ln 1<米米l:米o> − ϵ 0 ε 0 1<米米l:米o> − ϵ 0 2 1<米米l:米o> / 2 。

已经证明在 26),离散化学势( 20.)满足以下能量不等式: (27) f c n + 1 − f c n ≤ μ n + 1 c n + 1 − c n 。

的基础上给出的离散化学势( 20.)- ( 23),提出semi-implicit读取时间离散方案如下: (28) φ c n c n + 1 − c n τ + ∇ · u n + 1 c n = 0<米米l:米o> , (29) u n + 1 = − K 应用程序 n η c n ∇ μ n + 1 。

明显的渗透率是显式计算 (30) K 应用程序 n = K 0 1<米米l:米o> + b p c n , 可以直接获得的压力( 2)使用 c n 。结合( 28)和( 29日)收益率一线性方程 c n + 1 作为 (31) φ c n c n + 1 − c n τ − ∇ · K 应用程序 n η c n 2 ∇ μ n + 1 = 0<米米l:米o> , 这是容易解决了由于这一事实 μ n + 1 是一个线性的函数 c n + 1 。

附录中所描绘的一样 C,它是假定 φ c > 0 。它已准备好证明提出的数值方案保留了一个离散能量耗散。用方程( 28)和( 29日) μ n + 1 和 c n ∇ μ n + 1 分别,然后整合他们的领域 Ω ,我们获得 (32) ∫ Ω μ n + 1 φ c n c n + 1 − c n τ d x + ∫ Ω μ n + 1 ∇ · u n + 1 c n d x = 0<米米l:米o> , (33) ∫ Ω u n + 1 · c n ∇ μ n + 1 d x = − ∫ Ω K 应用程序 n η c n ∇ μ n + 1 2 d x 。

它遵循从( 32)和( 33), (34) ∫ Ω μ n + 1 φ c n c n + 1 − c n τ d x = − ∫ Ω μ n + 1 ∇ · u n + 1 c n d x = ∫ Ω u n + 1 · c n ∇ μ n + 1 d x − ∫ ∂ Ω μ n + 1 c n u n + 1 · n d 年代 = − ∫ Ω K 应用程序 n η c n ∇ μ n + 1 2 d x − ∫ ∂ Ω μ n + 1 c n u n + 1 · n d 年代 。

另一方面,它遵循从( 17), (35) ∫ Ω μ n + 1 φ c n c n + 1 − c n d x ≥ ∫ Ω φ c n f c n + 1 − f c n d x 。

由于( 34)和( 35),下面的离散能量耗散规律 (36) ∫ Ω φ c n f c n + 1 − f c n τ d x + ∫ ∂ Ω μ n + 1 c n u n<米米l:mo> + 1 · n d 年代 ≤ − ∫ Ω K 应用程序 n η c n ∇ μ n + 1 2 d x 。

方程( 31日)可以进一步使用cell-centered空间离散有限差分(CCFD)方法,这是一种非常流行的各种流体领域的离散方法( 25, 26]。

一个新的数学模型,在页岩气体流媒体提出了。不同于现有的模型,该模型使用气体密度代替压力作为主要的变量,它采用化学势梯度而不是压力梯度作为主要驱动力。这个独特的特性带来了热力学模型的一致性;即模型遵循一个能量耗散,这意味着热力学第二定律的满意度。身体上,能量稳定的数值方法,保留一个离散能量耗散法是数值近似模型的强烈要求。为此,能量分解方法的基础上,一个高效的、线性的,能量稳定semi-implicit数值方案提出了提出的模型,它继承了一个能量耗散法离散级别。进行数值试验,数值结果表明,该模型和数值方法不仅能保证身体能量稳定但也提供合理的结果。