模糊熵(FuzzyEn),这是一个修改后的复杂性度量SampEn基于向量的形状和模糊隶属函数的家庭,显示显著的优势在可靠性和稳定噪声和参数选择和自由在生理和金融领域得到广泛的应用。的亮点FuzzyEn指数函数是连续可微的家庭代替刚性亥维赛函数是用来评估向量之间的相似度,以避免敏感的参数选择。

FuzzyEn算法可以简要回顾如下;更多细节,请参阅[ 13, 17]。给定一个时间序列长度 T , x = x 我 , 我 = 1、2 , … , T ,首先 米 维向量系列, X 我 米 , 1 ≤ 我 ≤ T − 米 + 1 ,由著名的重建相空间重构理论( 28),每个减去其均值的影响消除趋势如下: (1) X 我 米 = x 我 , x 我 + 1 , … , x 我 + 米 − 1 − x ¯ 我 , 在哪里 米 是预定义的嵌入维数,每个向量表达和控制信息的数量 x ¯ 我 的算术平均向量 x 我 , x 我 + 1 , … , x 我 + 米 − 1 除基线定义如下: (2) x ¯ 我 = 1 米 ∑ j = 0 米 − 1 x 我 + j 。

相空间中的每一个点表示一个系统的瞬时状态。然后,对于矢量系列 X 我 米 重建,相似度 D 我 j 米 一个任意的 X 我 米 到另一个 X j 米 由模糊计算家庭成员地图如下: (3) D 我 j 米 = e − d 我 j 米 / r n , 在预定义的参数 n 代表的梯度边界和控制向量相似度的重量, r 模糊函数的宽度 d 我 j 米 无限的规范 米 尺寸差别向量 X 我 米 − X j 米 在工作。

平均的相似度 D 我 j 米 和整体相似度 C 米 r 任何向量对在平均意义上可以得到如下: (4) C 米 r = 1 T − 米 ∑ 我 = 1 T − 米 1 T − 米 − 1 ∑ j = 1 , j ≠ 我 T − 米 D 我 j 米 。

类似地, 米 + 1 尺寸的情况下,与 X 我 米 + 1 , 1 ≤ 我 ≤ T − 米 重新添加下一个点时,整体相似度 C 米 + 1 r 也可以得到如下: (5) C 米 + 1 r = 1 T − 米 ∑ 我 = 1 T − 米 1 T − 米 − 1 ∑ j = 1 , j ≠ 我 T − 米 D 我 j 米 + 1 。

最后,对于给定的 x 有限长度,FuzzyEn估计如下: (6) FuzzyEn x , 米 , n , r = ln C 米 r − ln C 米 + 1 r = − ln C 米 + 1 r C 米 r 。

部分模糊熵,它是一个开发版FuzzyEn措施,介绍了敏感挖出一个复杂的系统的分数阶动力学FuzzyEn结合分数微积分( 23, 24]。部分模糊熵(FFE)系列 x 估计如下( 18]: (7) 固定资产 x , 米 , n , r , α = − ln C 米 + 1 r − ln C 米 r + ψ 1 − ψ 1 − α Γ α C 米 + 1 r C 米 r − α , 在哪里 α ∈ − 1,- 1 代表了分数导数的顺序, Γ ⋅ γ函数 ψ ⋅ 的双函数形式 ψ x = Γ ′ x / Γ x ,分别。此外,FFE退化为传统FuzzyEn α ⟶ 0 。

照惯例,hyperparameters 米 和 n 预设是两个正整数,以避免损失的信息, 米 建议在3和7之间( 12), n 2在工作是固定的,和宽容吗 r 将 0.15 × SD ,SD礼物原系列的标准偏差。

与熵措施的广泛应用在越来越多的领域,一些违反直觉的结果被发表在single-scale熵分析不考虑固有的自然复杂的空间和时间尺度的复杂系统,特别是当病理信号比较健康的信号( 8]。提出的多尺度熵是粗粒化的概念与熵相结合分析,测量固有的多尺度结构信息数据集,例如,多尺度样本熵(MSE)和多尺度模糊熵(MFE) [ 8, 14]。精制复合材料多尺度模糊熵(RCMFE)提出了通过计算FuzzyEn值和平均相似度的多个嵌入式向量系列不同的起始点是由塔肯斯嵌入定理克服上述MFE测量的不稳定( 19]。RCMFE对于给定的算法 x = x 我 , 我 = 1、2 , … , T 主要包括以下两个步骤: (1)

粗粒化的多尺度模糊熵的评价:“粗粒化”的过程与比例因子 β 首先利用原始时间序列 x 得到 β 粗粒度的序列和相应的 k − t h 序列 y k β = y 1 , k β , y 2 , k β , … , y ⌊ T / β ⌋ − 1 , k β 定义如下: (8) y 我 , k β = 1 β ∑ j = 我 − 1 β + k 我 β + k − 1 x j , 1 ≤ 我 ≤ T β − 1,- 1 ≤ k ≤ β 。

最近的高速多通道遥感和计算机科学的发展增强动力系统更深入的考虑的必要性,尤其是金融体系。多元熵(mvEn)推广了单变量熵来分析多通道数据的动态复杂性,它被广泛用于分析实际的多通道生理和环境数据。的亮点mvEn正在考虑所有复合延迟向量,由多元嵌入重构理论( 29日),在 p 在和子空间,然后进行比较 p 频道。

多元多尺度模糊熵(mvMFE)是提高了粗粒化和多变量模糊熵相结合。mvMFE算法简要描述如下对于一个给定的多元数据 x k , 我 我 = 1 T , k = 1、2 , … , p ,在那里 T 在每个频道和代表样本的数量 p 变量的数量(即。、通道)。 (我)

定义粗粒化系列与一个固定的时间。给定一个范围 β 、多通道粗粒度的元素系列定义如下: (10) z k , j β = 1 β ∑ 我 = j − 1 β + 1 j β x k , 我 , 1 ≤ j ≤ J = T β , 1 ≤ k ≤ p 。

如前所述,根据拟议中的精制复合技术,精制复合多元多尺度entropy-based方法首先生成 β 粗粒度的多变量时间序列 Z u β = z k , j β , u , 1 ≤ u ≤ β ,如下所示: (14) z k , j β , u = 1 β ∑ 我 = j − 1 β + u j β + u − 1 x k , 我 , 1 ≤ j ≤ J , 1 ≤ k ≤ p 。 为每一个规模 β , β 不同的多元信号 Z u β 不同的起点。对于每一个多元序列 Z u β 会员度 B β , u 米 u = 1 , … , β 和 B β , u 米 + 1 u = 1 , … , β 分别计算。接下来,平均价值 B ¯ β , u 米 和 B ¯ β , u 米 + 1 对比例因子 1 ≤ u ≤ β 计算。然后,RCmvMFE估计如下: (15) RCmvMFE y , β , 米 , n , r = − ln B ¯ β , u 米 + 1 B ¯ β , u 米 。

最后,相应的RCmvMFFE值计算如下: (16) RCmvMFFE y , β , 米 , n , α , r = − ln B ¯ β , u 米 + 1 − ln B ¯ β , u 米 + ψ 1 − ψ 1 − α Γ α + 1 B ¯ β , u 米 + 1 B ¯ β , u 米 − α , 在哪里 α ∈ − 1,- 1 和RCmvMFFE退化为传统RCmvMFE测量 α ⟶ 0 。

为了探索不同的复杂性行为不同的财务指标在调查中,我们考虑一个二元数据集,其一个频道包含对数回归和其他包含对数交易量金融指数的差别。

RCmvMFE, mvMFE和RCmvMFFE分析被用来探索上述二元数据集。的hyperparameters n 和 r 固定为2和0.15本文简化的目的,和相应的结果展示在图 3和表 7- - - - - - 9。图 3显示与mvMFE二元数据集的熵,RCmvMFE, RCmvMFFE措施与规模 β 从1到30步长1,分数阶指数 α 是固定在RCmvMFFE 0.10方法。在图 3二元股票指数,与MFE曲线相似,RCmvMFE和RCmvMFFE曲线下降时的规模 β 增加。此外,熵FCHI和S曲线 & P500正在SSEC, TWII, MXX大规模RCmvMFE和RCmvMFFE方法,这可能是因为安全市场在发达国家比发展中国家更成熟和高效,拥有更多的随机动力学,虽然有远程依赖发展中国家(类似于1 / f噪音)在某种意义上。本系列验证的熵值与理论上比远程相关性的随机信号在大尺度( 8]。此外,对于mvMFE和RCmvMFE方法,亚洲市场的熵曲线是歧视,而发达国家的差距都不显著。虽然图在图 3可以区分不同的股票指数,它们之间的差距相对较小。此外,在RCmvMFFE分析之间的差距两种市场更重要的直觉,和不同曲线之间的差距比mvMFE RCmvMFE。这意味着RCmvMFFE优于mvMFE和RCmvMFE在描述多通道金融时间序列的复杂性行为在某种意义上。

为了探索股票指数的不同的动态复杂性行为在不同地区在调查中,我们考虑一个小数据集,其渠道包含三个股票指数的对数返回相同的区域:美洲(GSPC”, BVSP MXX),欧洲(FCHI GDAXI, N100),亚洲和太平洋(SSEC TWII,最高峰。

数据 4(一)和 4 (b)显示mvMFE和上述RCmvMFE三通道数据集。数据 4 (c)和 4 (d)显示RCmvMFFE固定 α = 0.08 分别和固定规模= 20。有趣的是,美洲的熵曲线相互交织与亚洲和太平洋地区,这些曲线逐渐下降和近似固定数量的增加规模,但欧洲熵曲线迅速降低到最小值,然后逐渐增加,他们总是低于其他曲线。相比之下,图 4(一),图 4 (b)看起来平滑,这证实了RCmvMFE比mvMFE在某种程度上更稳定。相比之下,图 4 (b),图 4 (c)显示了较大的差距,这表明该RCmvMFFE具有更好的性能比RCmvMFE在某种意义上的复杂性分析短期和嘈杂的多通道财务数据。

表 10和 11列表mvMFE和RCmvMFE值小的股票指数与不同的规模 β ,规模 β 选择为1、5、10、15、20、25、30、35岁,分别为40。所有小股指、熵措施减少规模增加时,和一个固定的规模 β ,熵措施SSEC、TWII MXX大于FCHI和年代 & P500,类似于图 3。

然后,RCmvMFFE分析是用来探索小股票指数的动态复杂性。表 12显示RCmvMFFE值小的股票指数具有不同时间尺度的因素 β 和固定 α = 0.08 。表 13展品的RCmvMFFE不同 α 从 − 0.4 与步长0.1和0.4 = 20。作为 α 增加,RCmvMFFE值联系最大,然后迅速衰减。它可以发现,在桌子上 13和图 4 (d),RCmvMFFE触动的最大值 α 在大约0.08。图 4 (d)描述了RCmvMFFE曲线回归系列的不同 α ,所有曲线明显分离。这进一步验证RCmvMFFE措施的有效性识别不同的多通道财务数据。