复杂性 复杂性 1099 - 0526 1076 - 2787 Hindawi 10.1155 / 2021/5970613 5970613 研究文章 Neutrosophic指数分布:建模和应用程序进行复杂的数据分析 段 Wen-Qi 1 2 https://orcid.org/0000 - 0002 - 5568 - 4302 汗 Zahid 3 https://orcid.org/0000 - 0002 - 6438 - 1047 古丽 默罕默德 3 得以 Adnan 1 Stevic 泽尔科- 1 商学院 台州大学 台州318000 中国 tzc.edu.cn 2 经济与管理学院 浙江师范大学 金华321004 中国 zjnu.edu.cn 3 数学和统计的部门 哈扎拉大学 曼 巴基斯坦 hu.edu.pk 2021年 28 9 2021年 2021年 10 8 2021年 13 9 2021年 28 9 2021年 2021年 版权©2021 Wen-QI段等。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

指数分布一直是各学科知名由于其广泛的应用。在这项工作中,泛化的古典neutrosophic环境下指数分布很少。的数学属性neutrosophic指数模型详细描述。neutrosophic的估计参数的最大似然方法与示例讨论和演示。建议neutrosophic指数分布(NED)模型包括间隔时间对某些特定事件发生。因此,该模型可能是最广泛使用的统计分布的可靠性问题。对于概念的理解,NED的广泛应用可靠性工程,这表明在何种情况下分布是合适的。此外,模拟研究进行了评估的性能估计neutrosophic参数。模拟结果表明,与更大的样本量不精确的数据有效地估计未知neutrosophic参数。最后,一个复杂的数据集在缓解期癌症患者的分析识别的重要性提出了实际案例研究模型。

 1。介绍

最常见的一种连续分布是指数分布。指数模型可以视为一个连续的描述几何分布( 1]。对于可靠性的担忧,指数分布可能是最常用的统计分布。指数分布尤为合适,容易实现在工程模型的存在nonwearing材料( 2]。为特定的测量变量,如interarrival时间(IAT)和失败(TTF),一个指数模型提供了最好的分布假设[ 3]。IAT变量来自计算流程和代表之间的空间(或时间)两个相邻事件。例如,等待线、通讯网络和工业过程与拥挤的部分是受欢迎的应用程序( 4]。IAT正是指数当底层计数过程是泊松,所以这两个模型是相同的过程的表征。TTF变量中使用组件或系统可靠性分析( 5]。由于其无记忆的性质,指数分布通常是广泛用于可靠性理论。指数分布模型TTF当这些组件受到随机发生的持续风险容易负载( 6]。期望的恒定速率很少遇到在现实世界的场景。大多数工程系统,如电子设备,容易磨损,也就是说他们的生活史的影响失败风险( 7]。因此,在一个更一般的对象的生命周期,风险函数不是常数( 8]。然而,某些类型的风险函数是常数系统在工程应用程序( 9]。这包括大多数的电子元件。大多数系统(特别是电子的)有一个生命周期,遵循浴缸曲线( 10, 11]。这是一个适合建模稳定故障率浴缸曲线在可靠性研究的一部分。指数变量也可以用来描述场景的事件发生在一个固定的概率单位的距离,如一个DNA链的长度之间的突变或在给定的车道,道路杀死的差距等等( 12, 13]。IAT,也就是说,客户之间的时间加入系统中,经常被建模为一个指数跟踪变量在排队理论。在物理学中,不同的气体分子的高度稳定的压力和温度均匀重力环境中采用估计指数分布( 14]。指数分布通常应用于水文看看每年或每月的极端值最大的河量量和总降雨量( 15]。

在这项工作中,指数分布的新推广建议,希望扩大其可靠性建模领域的适用性。这种泛化的概念是基于neutrosophy Smarandache[提供的 16]。或真或假报表的分析,但不确定的、中性的,不一致的,或介于两者之间,是面向neutrosophy逻辑 17]。每个领域都有其neutrosophic组件,即不确定性,在数学方面。Smarandache首次努力使用neutrosophic方法在统计、微积分,微积分处理不精确研究变量( 18]。因此,neutrosophic统计研究主题,处理不确定性的影响在统计建模。最近的一些文学最近做出了第一步描述统计建模的neutrosophic原理( 19- - - - - - 21]。讨论了概率和描述性统计(Neutrosophic措施 22]。似乎Neutrosophic决策应用质量控制非常有效( 23]。Salama等人第一次看到neutrosophic代数结构的概率分布 24]。然而,作品关注neutrosophic统计总是依赖于应用程序的neutrosophic逻辑,和代数结构的概率分布很少。

在这项研究中,NED的概念被描述的主要目标是将模糊信息研究变量。模糊性研究参数不能被忽视,应该结合实际分析模型被用来描述一个系统。我们所知,没有发表的研究解决neutrosophic微积分的指数模型。因此,它是我们工作的因素,激励我们前进。

本研究的其余部分概述如下。NED和它的一些有用的部分中描述的功能 2。部分 3演示了NED的一些例子。NED的方法估计的参数提供的部分 4。NED的分位数函数讨论了部分 5。仿真研究证明neutrosophic估计的性能进行的部分 6。NED的实现过程中给出的实际问题是部分 7。最后,8节总结了研究结果。

 2。提出了可靠性模型和一些有用的措施

neutrosophic随机变量<我talic> Z连续事件之间的距离,等于一个泊松过程,遵循NED模型与以下neutrosophic密度函数<我nline-formula> PDF N : (1) φ N z = θ N 经验值 − z θ N 我 0 , ∞ z , z > 0。 在哪里<我nline-formula> θ N ε θ l , θ U 和<我nline-formula> Z 是一个非负变量通常是指工作时间,年龄,或生活中表达英里,小时轮,周期,等等,在可靠性研究。

这个函数曲线下的地区<我nline-formula> z 1 来<我nline-formula> z 2 直接代表一个项目的概率随机选择从内德在此期间将会失败。图 1节目的形式与neutrosophic参数分布<我nline-formula> θ N = 0.5 , 1。5 如果数据被认为是内德。

指数分布的坚固的曲线。

图 1显示了neutrosophic地区因为失败率不定值的参数<我nline-formula> θ N 。 NED的其他一些有用的功能可以开发以下定理的形式。

定理1。

曲线下的面积特征的NED就是其中之一。

 证明。

让<我nline-formula> φ : R ⟶ P R 指数函数是一个连续neutrosophic涉及范围等 (2) ϕ z = ϕ l z , ϕ U z , 0 < z < ∞ , 在哪里<我nline-formula> φ z 是一个坚固的曲线,由图吗 1。

的neutrosophic区域对应于坚固的曲线 (3) 一个 N = ∫ 0 ∞ φ N z d z = ∫ 0 ∞ φ l z , φ U z d z = ∫ 0 ∞ φ l z d z , ∫ 0 ∞ φ U z d z = 一个 , b 。 一个 = ∫ 0 ∞ θ l 经验值 − z θ l d z = 1 和<我nline-formula> b = ∫ 0 ∞ θ U 经验值 − z θ U d z = 1 ,因此证明。

 定理2。

NED的neutrosophic可靠性函数<我nline-formula> 经验值 − z θ l , 经验值 − z θ U = 经验值 − z θ N 。

 证明。

NED的neutrosophic可靠性函数是由 (4) ω N z = P Z > z = 1 − P Z < z = 1 − ∫ 0 z φ N z d z = 1 − ∫ 0 z φ l z , φ U z d z = 1 − ∫ 0 z φ l z d z , 1 − ∫ 0 z φ U z d z = c , d , 在哪里<我nline-formula> c = 1 − ∫ 0 z ϕ l z d z = 经验值 − z θ l 和<我nline-formula> d = 1 − ∫ 0 z ϕ U z d z = 经验值 − z θ U ,因此证明。

这个函数<我nline-formula> ω N z 是最有用的可靠性分析中,建立了一个单位的年龄和的可能性之间的联系单位活到那个年纪开始工作时为零。这个函数<我nline-formula> ω N z NED的neutrosophic参数<我nline-formula> θ N = 0.5 , 1。5 被塑造为给定的图吗 2。失败neutrosophic率函数,条件neutrosophic功能,<我nline-formula> PDF N 所有可以确定使用这个函数。

这个函数<我nline-formula> ω N z 内德。

 推论1。

风险函数<我nline-formula> h N z NED的<我nline-formula> θ N 。

 证明。

的比例<我nline-formula> φ N z 来<我nline-formula> ω N z 结果所需的<我nline-formula> h N z 。

 推论2。

的分布函数<我nline-formula> Φ N z NED的<我nline-formula> 1 − 经验值 − z θ N 。

 证明。

分布函数的结果是通过解决以下表达式: (5) Φ N z = ∫ 0 z φ N z d z = 1 − 经验值 − z θ N 。

因此,在neutrosophy哲学,故障率为一个给定的对象的年龄<我nline-formula> z 被称为一个区间的死亡。

 定理3。

NED的中位数<我nline-formula> ln 2 / θ U , ln 2 / θ l 。

 证明。

Neutrosophic值<我nline-formula> 米 N 解决以下表达式: (6) ∫ 0 米 N Φ N z d z = 1 2 , 1 2 , ∫ 0 米 N Φ l z d z , ∫ 0 米 N Φ U z d = 1 2 , 1 2 , 在哪里<我nline-formula> Φ l z = 1 − 经验值 z θ l 和<我nline-formula> Φ U z = 1 − 经验值 z θ U 。

分析简化( 6)意味着 (7) 米 N θ l = ln 2 , 米 N θ U = ln 2 ,

从而暗示 (8) 米 N = ln 2 θ U , ln 2 θ U 。

推论3。

第一分位数<我nline-formula> 问 在 第三分位数<我nline-formula> 问 3 N NED的<我nline-formula> ln 4 / 3 / θ U , ln 4 / 3 / θ l 和<我nline-formula> ln 4 / θ U , ln 4 / θ l ,分别。

 证明。

问 在 和<我nline-formula> 问 3 N 这样的定义与解决方案 (9) ∫ 0 问 我 N Φ N z d z = 1 4 , 1 4 , ∫ 0 问 3 N Φ N z d z = 3 4 , 3 4 。

因此,下面的定理 3,我们可以写 (10) 问 我 N = ln 4 θ U , ln 4 θ l , 问 3 N = ln 4 / 3 θ U , ln 4 / 3 θ l 。

定理4。

NED的neutrosophic平均失效到达时间<我nline-formula> 1 / θ N 。

 证明。

neutrosophic平均失效到达时间决定 (11) 麻省理工 N = ∫ 0 ∞ ω N z d z = ∫ 0 ∞ ω U z , ω l z d z 参见图 2 = ∫ 0 ∞ 经验值 − z θ U d z , ∫ 0 ∞ 经验值 − z θ l d z = 1 θ U , 1 θ l = 1 θ N 。

定理5。

NED的方差<我nline-formula> 1 / θ N 2 。

 证明。

根据定义,方差 (12) σ N 2 Z = E Z 2 − 麻省理工 N 2 在哪里<我nline-formula> σ N 2 Z 代表neutrosophic方差。

现在, (13) E Z 2 = ∫ 0 ∞ z 2 φ N z d z 。

自<我nline-formula> φ N z = − ω N z ´ ,我们有以下: (14) E Z 2 = 2 θ N ∫ 0 ∞ ω N z d z = 2 θ N ∫ 0 ∞ ω U z , ω l z d z = 2 θ N ∫ 0 ∞ 经验值 − z θ U d z , ∫ 0 ∞ 经验值 − z θ l d z = 2 θ N 1 θ U , 1 θ l = 2 θ U 2 , 2 θ l 2 。

因此,( 12)的收益率 (15) σ N 2 Z = 2 θ U 2 , 2 θ l 2 − 1 θ U , 1 θ l 2

和简化( 15)提供 (16) σ N 2 Z = 1 θ U 2 , 1 θ l 2 。

同样,内德的其他属性可以建立在一个neutrosophic环境。一些应用程序的模型提出了理解NED的初始概念派生。

 3所示。说明性的例子

在本节中,NED的概念描述了一系列的可靠性研究领域的例子。

例1。

一定的机械组件的生命周期是NED不定失败率<我nline-formula> θ N = 5.26 × 10 − 5 , 8.70 × 10 − 5 每小时。在连续操作,找到组件的概率存在三个月了。同时,找到该组件的同时失败。

 解决方案1。

从( 1),neutrosophic NED的可靠性功能 (17) ω N z = 经验值 − z θ N ,

和组件的概率存在三个月了<我nline-formula> z = 2190年 小时 是由 (18) ω N z = 经验值 − 2190年 5.26 × 10 − 5 , 8.70 × 10 − 5 = 0.8265 , 0.8911 。

因此,组件中生还的几率没有失败一段三个月<我nline-formula> 0.8265 , 0.8911 。

现在,从( 11), (19) 麻省理工 N = 1 θ U , 1 θ l 。

因此, (20) = 1 8.70 × 10 − 5 , 1 5.26 × 10 − 5 = 11494.25 , 19011.41 小时 ≈ 15.7 , 26.0 个月。

例2。

汽车中使用的发电机失效机理遵循NED的平均寿命<我nline-formula> 8、12 年。Adnan先生买了一个6岁的汽车功能交流发电机保持了八年。确定发电机的概率失败在他的财产。

 解决方案2。

让<我talic> Z表示后面的neutrosophic随机变量内德。

考虑到<我nline-formula> 麻省理工 N = 1 / θ U , 1 / θ l = 8、12 年,这意味着<我nline-formula> θ l , θ U = 0.083 , 0.125 。

现在,所需的概率是 (21) P Z < 8 = Φ N 8 必然的结果 2 = 0.079 , 0.117 。

因此,交流发电机的机会失败在他的所有权是近似的<我nline-formula> 8、12 % 。

 4所示。参数估计

NED的参数估算方法,即neutrosophic最大似然估计(核磁测井),引入了。让<我nline-formula> n 样本<我nline-formula> X 我 , 我 = 1、2 , … , n 值从内德。neutrosophic参数价值的问题是,应该用于观察到的样本吗?这个值可以由neutrosophic模型的似然函数决定。NED的neutrosophy存在于参数,因此,NML NED给出的函数 (22) ϖ N z , θ N = n 日志 θ N − θ N ∑ 我 n z 我 ,

和核磁测井的估计,即<我nline-formula> θ ^ l 和<我nline-formula> θ ^ U 可以通过解决以下表达式: (23) δ ϖ N z , θ N δ θ N

使用neutrosophic微积分[ 18),( 23)取得了 (24) = δ ϖ l z , θ l δ θ U , δ ϖ U z , θ U δ θ l , 在哪里<我nline-formula> ϖ l z , θ l = n 日志 θ l − θ l ∑ 我 n z 我 和<我nline-formula> ϖ N z , θ U = n 日志 θ U − θ U ∑ 我 n z 我 。

简化( 24)提供 (25) δ ϖ N z , θ N δ θ N = n θ l − ∑ 我 n z 我 , n θ U − ∑ 我 n z 我 。

设置( 25)等同<我nline-formula> 0,0 提供了 (26) θ ^ l = n ∑ 我 n z 我 , θ ^ U = n ∑ 我 n z 我 。

因此,<我nline-formula> θ ^ N = θ ^ l , θ ^ U = n / ∑ 我 n z 我 一个脆值和伴随着经典标定。

然而,如果在观测数据不精确<我nline-formula> z ˜ 被认为是;然后NML neutrosophic参数将被修改 (27) θ ^ N = θ ^ l , θ ^ U = n 一个 , n B , 在哪里 (28) 一个 = 最小值 z ˜ = neutrosophic数据集的最小值 , B = 马克斯 z ˜ = 之和的最大值neutrosophic数据集 。

核磁测井的直观解释估计可以用下面的例子被描述。

例3。

假设生活(年)飞利浦品牌的冰箱压缩机内德所描述的是最好的与未知参数。五个压缩机一直独立测试,一生被确定为4,3.5,3.9,4.2,4.5,和4.7年。核磁测井的估计是什么<我nline-formula> θ N 吗?

 解决方案3。

联合密度的产品是独立个体密度由于压缩机寿命测试。使用( 22),因此由核磁测井的日志功能 (29) ϖ N z , θ N = 5 日志 θ N − 24.8 θ N 。

最后,简化( 29日)导致了核磁测井的估计<我nline-formula> θ N 作为 (30) θ ^ N = 6 24.8 = 0.24 的一年。

例4。

现在,我们假设生命(年)飞利浦品牌的冰箱压缩机所描述的是最好的NED未知常数故障率;也就是说,<我nline-formula> θ l = θ U = θ 。五个压缩机一直独立测试,一生被确定为4,3.5,3.9,4.1,4.2,(4.3,4.6),和4.7年。核磁测井的估计是什么<我nline-formula> θ N 吗?

 解决方案4。

在这里,不确定性的一生值被记录在第三和第五组件;,这些组件的值在间隔意味着到底值不准确的记录。

现在,考虑到neutrosophy在观测数据,所有这些组件都是由的生活 (31) ∑ 我 n z 我 = 24.6 , 25.1 年。

使用( 26),核磁测井的估计<我nline-formula> θ N 是由 (32) θ ^ N = 0.23 , 0.24 的一年。

5。模型验证

neutrosophic分位数函数<我nline-formula> QF N 可以找到NED的解决以下表达式<我nline-formula> z : (33) Z j = Φ − 1 ξ j 。

NED的情况, (34) Z j = − 1 θ N ln 1 − ξ j , j = 1、2 , … , 在哪里<我nline-formula> ξ j 遵循一个均匀分布参数0和1;也就是说,<我nline-formula> ξ j ∼ U 0 1 。

统计上来说,<我nline-formula> QF N 是用于建立分位数类似物的标准基于当下描述性的措施,扩大这些措施。这个函数可以用来产生随机数据,描述中给出的密度( 1)。方差分析结果的意思是,和所有其他属性可以使用卡洛仿真进行验证。

在R软件,NED可以很容易地模拟查看基于理论推导结果的正确性。集<我nline-formula> θ N = 2、4 NED和10000个样本是随机产生的<我nline-formula> U 0 1 。使用( 22),10000伪neutrosophic NED生成随机抽样。这些模拟数据用来验证分析属性部分中讨论 2正在调查中。确切的结果均值,方差,NED的分位数与模拟值表 1。

模拟和分析结果的比较。

Neutrosophic参数 确切的结果 仿真结果
的意思是 [0.250,0.500] [0.249,0.499]
方差 [0.063,0.250] [0.062,0.246]
问 我 N [0.072,0.144] [0.071,0.144]
问 2 N [0.173,0.346] [0.174,0.349]
问 3 N [0.346,0.693] [0.344,0.695]

表 1显示描述性措施采用模拟非常接近的确切数量,表明仿真产生部分中描述的结果与预期结果相同 2。因此,我们可以推断出其他参数的估计计算与模拟数据将不可避免地与真正的参数。

 6。模拟研究

在本节中,核磁测井的性能估计已经评估的neutrosophic平均偏差<我nline-formula> AB N 和neutrosophic均方根误差<我nline-formula> RMS N 定义如下( 25]: (35) AB N = ∑ j = 1 N θ ^ N j − θ N N , RMSE N = ∑ j = 1 N θ ^ N j − θ N 2 N 。

蒙特卡罗模拟是运行在R软件与各种样本的大小和固定值neutrosophic参数<我nline-formula> θ N = 2、4 。使用NED和生成一个不精确的数据集<我nline-formula> θ N = 2、4 ,仿真分析是复制的<我nline-formula> N = 10000年 次,样本的大小<我nline-formula> n = 10年,20年,30 , 分别和50。的性能措施NML估计量计算,在表中 2。

NED的核磁测井的性能估计模拟neutrosophic数据。

样本大小 AB N RMSE N
10 [0.222,0.443] [0.822,1.645]
20. [0.104,0.207] [0.506,1.011]
30. [0.066,0.133] [0.394,0.788]
50 [0.039,0.078] [0.295,0.590]

从结果可以看出,样本容量<我nline-formula> n 上升,<我nline-formula> 一个 B N 和<我nline-formula> RMSE N ,也就是说,偏见,减少。因此,研究得出结论:核磁测井估计量为可靠的估计提供了一个更大的样本量。

 7所示。实际的应用程序

在本节中,一个实际的应用程序使用一个真实的数据集使用为了评估NED的兴趣模型。数据正在考虑包括一组缓解期从128年癌症患者几个月。缓解期是基于数据的一个子集的李和王( 26从膀胱癌症研究和被认为是专为描述性的目的。根据研究结果的拟合优度检验的渐近似然函数,指数分布是合理的模型为缓解时间。的适当性指数模型中可以看到图 3。

的图形概述缓解时间数据集:CDF-plot (a)和(b) PP-plot。

图 3提供了一种快速缓解时间的指数模型的图形化总结数据集。在图 3,PP-plot CDF-plot证明了指数模型适合缓解时间为癌症患者数据报告。最初,数据的测量;然而,为了说明,我们把它们作为某些癌症病人不确定的样本值,如表示 3。

128癌症患者的缓解期。

缓解期次
0.08 2.09 3.48 4.87 6.94 8.66 13.11 23.63 0.2 2.23 3.52 4.98 6.97
9.02 13.29 0.4 2.26 3.57 5.06 7.09 9.22 13.8 25.74 0.5 2.46 3.64
5.09 [7.26,8.2] 9.47 14.24 25.82 0.51 2.54 3.7 5.17 7.28 9.74 14.76 [5.3,7.1]
0.81 2.62 3.82 5.32 7.32 10.06 14.77(12日) 32.15 2.64 3.88 5.32 7.39 10.34
14.83 34.26 0.9 2.69 4.18 5.34 7.59 10.66 15.96 36.66 1.05 2.69 4.23
5.41 7.62 10.75 16.62 43.01 1.19 2.75 4.26 5.41 7.63 17.2(15日) 46.12 1.26
2.83 4.33 5.49 7.66 11.25 17.14 (75.02,81) 1.35 2.87 5.62 7.87 11.64 17.36
1。4 3.02 4.34 5.71 7.93 11.79 18.1 1.46 4所示。4 5.85 8.26 11.98 19.13
1.76 3.25 4所示。5 6.25 8.37 12.02 [1.5,3.2] 3.31 4.51 6.54 [7.5,8.2] 12.03
20.28 2.02 3.36 6.76 12.07 21.73 2.07 3.36 6.93 8.65 12.63 22.69

大胆的值意味着不精确或不确定的值。

表 3表明,某些癌症患者缓解时间,如[7.26,8.2],[12、14.77],[15,17.2],[5.3,7.1],[75.02,81],[1.5,3.2],提供了不准确的报道但间隔。这些含糊不清或不确定性在样例呈现现有指数模型不适用。相反,建议NED可能有效地用于调查这neutrosophic数据集的属性。缓解时间数据的描述性统计使用NED模型给出了表 4。

Neutrosophic缓解次统计数据,利用该模型。

描述性的措施
的意思是 [9.18,9.24]
方差 [84.29,85.39]
中位数 [6.40,6.36]
第一分位数 [2.64,2.71]
第三分位数 [12.12,12.71]

结果在表 4证明缓解时报的关键数值统计数据给出了范围由于某些观测样本的不确定性。因此,建议的模型可以用来分析数据,预计将遵循奈德。

 8。结论

指数统计模型的一种新的表示称为内德已经提出了这项工作。各种模型的结构属性neutrosophic环境下广泛讨论。neutrosophic的解析表达式的意思是,neutrosophic方差,neutrosophic值,和其他相关量。许多在职的NED最佳描述故障模式组件。评估方法考虑模糊观测数据建立了解释和例子。的分析结果提出NED验证使用neutrosophic分位数函数的概念。模拟研究进行了验证的性能估计neutrosophic参数。模拟结果表明,不确定的样本数据与大尺寸有效地估计未知参数。一些应用的例子NED主要用于处理不确定性的数据被认为是一生。

8.1。进一步的工作

我们相信neutrosophic经典模型的泛化可能扩大的范围内德在生存和可靠性研究。

 数据可用性

所有的数据用于分析和支持结果在本文给出。

 的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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