定理1。如果所有列的值的总和的基因相关矩阵是1,那么矩阵是一个收敛矩阵。
证明:让<我nl我ne-formula>
公关米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米sup>
公关米米l:米text>米ml:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米sub>
公关米米l:米text>米ml:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米o>
…米米l:米o><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米sub>
公关米米l:米text>米ml:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
′米米l:米o>米米l:mrow>
(12)米米l:米text>米ml:mtd>
米米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|">
一个米米l:米我>米米l:mrow>
11米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米row>
出米米l:米text>米ml:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
12米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米row>
出米米l:米text>米ml:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n><米米l:米i>
n米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我><米米l:mrow>
出米米l:米text>米ml:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
21米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米row>
出米米l:米text>米ml:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
22米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米row>
出米米l:米text>米ml:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n><米米l:米i>
n米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我><米米l:mrow>
出米米l:米text>米ml:mrow>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米row>
出米米l:米text>米ml:mrow>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米row>
出米米l:米text>米ml:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
一个米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我><米米l:mrow>
出米米l:米text>米ml:mrow>
,米米l:米o>米米l:mtd>
公关米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米i>
米米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:mtext>
公关米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
t米米l:米我><米米l:mo>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>米米l:mtd>
=米米l:米o><米米l:米o>
>米米l:米o><米米l:米sub>
公关米米l:米text>米ml:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米sup>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我><米米l:mtext>
公关米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|">
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>米米l:mtd>
在这<我nl我ne-formula>
∑米米l:米o><米米l:米row>
我米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:msubsup>
公关米米l:米text>米ml:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:math>
;这就足以证明<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
在公式(
12)是收敛的。
让<我nl我ne-formula>
米米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|">
米米米l:米我>米米l:mrow>
11米米l:米n>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
12米米l:米n>米米l:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
米米米l:米我>米米l:mrow>
12米米l:米n>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
21米米l:米n>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
21米米l:米n>米米l:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
米米米l:米我>米米l:mrow>
21米米l:米n>米米l:mrow>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n>米米l:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n>米米l:mrow>
。的特征值<我t一个l我c>
米我t一个l我c>是<我nl我ne-formula>
Λ米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|">
λ米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
2米米l:米n>米米l:mrow>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,
(13)米米l:米text>米ml:mtd>
米米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米i>
P米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:mi>
Λ米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:msup>
P米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
⇒米米l:米o><米米l:米sup>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米i>
P米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:msup>
Λ米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
∗米米l:米我><米米l:msup>
P米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>米米l:mtd>
每一列的总和是1和<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
我米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米n>
0米米l:米n>米米l:math>
,这是证明<我nl我ne-formula>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米sub>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:math>
。
根据磁盘定理,<我nl我ne-formula>
米米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|">
米米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
j米米l:米我>米米l:mrow>
有<我t一个l我c>
N我t一个l我c>磁盘的<我t一个l我c>
N我t一个l我c>特征值都落在飞机上:
(14)米米l:米text>米ml:mtd>
D米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|">
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o><米米l:米sub>
米米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
我米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米sub>
R米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米i class="cond">
我米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米n>
1、2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米o>
…米米l:米o><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米i>
n米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o>米米l:mtd>
在这<我nl我ne-formula>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米style displaystyle="true">
∪米米l:米o><米米l:米row>
我米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:msubsup>
D米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
,<我nl我ne-formula>
R米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米style displaystyle="true">
∑米米l:米o><米米l:米row>
j米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n><米米l:米o>
和米米l:米text><米米l:mo>
j米米l:米我><米米l:mo>
≠米米l:米o><米米l:米i>
我米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:msubsup>
米米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我><米米l:mi>
j米米l:米我>米米l:mrow>
。
在矩阵<我t一个l我c>
米我t一个l我c>,<我t一个l我c>
N我t一个l我c>磁盘的<我t一个l我c>
米我t一个l我c>根据方程(
14)
(15)米米l:米text>米ml:mtd>
D米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|">
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米i class="cond">
我米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米n>
1、2米米l:米n><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米o>
…米米l:米o><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米i>
n米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>米米l:mtd>
的<我t一个l我c>
N我t一个l我c>的特征值<我t一个l我c>
米我t一个l我c>′所有联盟的一组<我t一个l我c>
n我t一个l我c>复平面上的磁盘。磁盘特征值,如图
1。
因此,当<我t一个l我c>
米我t一个l我c>=<我t一个l我c>
t我t一个l我c>是一个收敛矩阵,证明已完成。
<我nl我ne-formula>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
在图的白色磁盘
1;我们可以看看<我t一个l我c>
N我t一个l我c>特征值<我nl我ne-formula>
λ米米l:米我>米米l:mrow>
我米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:math>
的<我t一个l我c>
米我t一个l我c>′,根据方程(
13)。
<我nl我ne-formula>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米i>
P米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|">
λ米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米i>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
λ米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米i>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
λ米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
∗米米l:米我><米米l:msup>
P米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,在那里<我nl我ne-formula>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o><米米l:米subsup>
λ米米l:米我><米米l:mi>
我米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
∈米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|">
−米米l:米o><米米l:米n>
1,0,1米米l:米n>米米l:mrow>
,所以
(16)米米l:米text>米ml:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米i>
P米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|">
lim米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
λ米米l:米我><米米l:mn>
1米米l:米n><米米l:米i>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
λ米米l:米我><米米l:mn>
2米米l:米n><米米l:米i>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
λ米米l:米我><米米l:mi>
n米米l:米我><米米l:mi>
t米米l:米我>米米l:msubsup>
∗米米l:米我><米米l:msup>
P米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,米米l:米o>米米l:mtd>
=米米l:米o><米米l:米o>
>米米l:米o><米米l:米under>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
⇒米米l:米o><米米l:米i>
P米米l:米我><米米l:mi>
∗米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|">
1米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
⋮米米l:米o>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
0米米l:米n>米米l:mtd>
…米米l:米o>米米l:mtd>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∗米米l:米我><米米l:msup>
P米米l:米我>米米l:mrow>
−米米l:米o><米米l:米n>
1米米l:米n>米米l:mrow>
。米米l:米o>米米l:mtd>
因此,当<我nl我ne-formula>
lim米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我><米米l:mo>
⟶米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
米米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
是一个收敛矩阵,证明已完成。