从直接获得模型参数与由两部分构成的网络结构。

无标度特性是无所不在地观察到在实际网络中,和双曲几何捕获这样的复杂网络的特性。根据节点多路信息的原则,基本性质可以计算:平均程度<我nl我ne-formula> k ¯ ∗ 度分布(<我nl我ne-formula> P k ∗ ∼ k ∗ − γ ∗ )和指数的幂律分布<我nl我ne-formula> γ ∗ 在集合<我nl我ne-formula> ∗ ∈ 一个 , B 。

然而,并不是所有的现实世界的网络直接无标度性质。除此之外,大多数网络异构节点度和权重,以及那些异构性问题使我们能够解决这个问题:发现复杂网络的主体结构通过过滤链接( 17, 34)来捕获指导网络的幂律特性。骨干网络的构建方法与最小重量的纸是将被删除在转弯和停止阈值。找到合适的阈值,我们把剩下的部分骨干节点<我nl我ne-formula> N B / N 0 与剩余的链接的一部分<我nl我ne-formula> l B / l 0 对于每一个删除的步骤。根据文献[ 9),最好的选择的阈值点在平面上的最大化对角线的垂直距离,所以大多数节点保留在系统和大多数与小重量将被删除。

我们的模型的另一个重要参数<我nl我ne-formula> β ∈ 1 , + ∞ 。<我nl我ne-formula> β 控制复杂网络的聚类特性,棘手的拓扑结构(由于其重要的依赖 16]。估计参数对称网络中嵌入模型通过比较执行真正的网络合成网络生成与模型使用不同的值数拓扑属性( 9, 11, 35]。然而,这种方法无法计算的值直接网络实验。注意,嵌入模型将每个节点分为两组,但这两组直观地应在一定程度上的依赖。因此,<我nl我ne-formula> β 直接网络嵌入模型需要考虑聚类属性和内在两个组节点之间的关系。

常见的邻居满足上述条件。首先,集群定义由两部分构成的结构来自共同的邻居使两组代表一种内在的关系,比如quadrilateral-based聚类系数和4-loop密度( 5]。另一方面,实证结果表明,价值就越高<我nl我ne-formula> β 支持连接在小角的距离,以及共同邻居的数量<我talic> 米长角相似的渐近幂律函数:<我nl我ne-formula> 米 ∼ Δ θ − β ( 16]。在这里,我们使用共同邻居的数量作为相似性的角度估计的粗粒度的表示<我nl我ne-formula> β (即,<我nl我ne-formula> p 米 ∼ 米 − β 一个 在设置一个和<我nl我ne-formula> p 米 ∼ 米 − β b 在B)。我们,最后,将曲线下的面积(AUC)的函数<我nl我ne-formula> β ∗ (即,<我nl我ne-formula> AUC β ∗ )确定参数映射效应在我们的模型的性能。具体而言,国际贸易网络,国际移民网络和电子邮件网络,<我nl我ne-formula> β = 3所示。5 ;的<我talic> 秀丽隐杆线虫网络使用<我nl我ne-formula> β = 3.42 。

嵌入到双曲空间中。

隐藏几何models-hyperbolic几何模型和几何模型已经成功地捕捉到自然几何基础真正的复杂网络。同样,一个有向网络嵌入到双曲空间也有两个等效模型。接下来,两个定向网络将被引入的几何模型。

在双曲模型指导网络,无标度网络是由散射<我nl我ne-formula> N 节点随机的双曲磁盘半径<我nl我ne-formula> R 。每个节点<我nl我ne-formula> v 我 分配径向坐标<我nl我ne-formula> r 和角坐标<我nl我ne-formula> θ :<我nl我ne-formula> v 一个 我 r 一个 我 , θ 一个 我 在设置一个,<我nl我ne-formula> v b 我 r b 我 , θ b 我 在设置连接概率(<我nl我ne-formula> p 我 j )的直接链接<我nl我ne-formula> v 我 j 从<我nl我ne-formula> 一个 我 来<我nl我ne-formula> b j 在双曲空间中所代表的庞加莱磁盘是由费米狄拉克分布定义:<我nl我ne-formula> f x 一个 我 , b j = 1 + e β x 一个 我 , b j − R / 2 − 1 。双曲距离<我nl我ne-formula> x 一个 我 , b j 之间的<我nl我ne-formula> 一个 我 和<我nl我ne-formula> b j 是由双曲余弦函数:<我nl我ne-formula> 因为 h x 一个 我 , b j = 因为 h r 一个 我 · 因为 h r b j − 罪 h r 一个 我 · 罪 h r b j 因为 Δ θ 。注意,双曲距离可以很近似<我nl我ne-formula> r 一个 我 + r b j + 2 ln d 一个 我 , b j / 2 。

隐藏的几何模型的网络,节点之间的连接概率积分函数: (1) f χ = 1 + χ β − 1 , 节点之间的有效距离在哪里<我nl我ne-formula> χ = d 一个 我 , b j / μ κ 一个 我 κ b j ,<我nl我ne-formula> μ = β 罪 π / β / 2 π k ¯ ∗ 是模型的参数。<我nl我ne-formula> κ 一个 我 和<我nl我ne-formula> κ b 我 表示节点的期望程度组A和B,分别。期望程度<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 对于每一个节点从幂律分布: (2) ρ κ ∗ 我 = κ ∗ 0 γ ∗ 我 − 1 γ ∗ 我 − 1 κ ∗ 我 − γ ∗ 我 , 在哪里<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 ∈ κ ∗ 0 , + ∞ ,最低期望的程度<我nl我ne-formula> κ ∗ 0 = k ¯ ∗ γ ∗ − 2 / γ ∗ − 1 ,平均度<我nl我ne-formula> k ∗ ,<我nl我ne-formula> d 一个 我 , b j = N Δ θ / 2 π ,<我nl我ne-formula> Δ θ = 最小值 θ ∗ 我 − θ ∗ j , 2 π − θ ∗ 我 − θ ∗ j 。请注意,径向坐标<我nl我ne-formula> r ∗ 我 和预期的程度<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 有一个内在的关系,<我nl我ne-formula> r ∗ 我 = R − ln κ ∗ 我 / κ ∗ 0 和<我nl我ne-formula> R = 2 ln N / π μ κ 0 2 。为了方便解决参数,我们应用隐藏几何模型为一个有向网络嵌入步骤 3。

空间位置和参数估计。

给定一个快照真正的指导网络组成的<我nl我ne-formula> N 节点,我们使用隐藏的几何模型表示一个有向网络。非对称popularity-similarity我们提出的优化方法是计算径向(流行)<我nl我ne-formula> r ∗ 我 和角(相似性)<我nl我ne-formula> θ ∗ 我 为每个节点坐标<我nl我ne-formula> 我 。特别是,不对称的嵌入过程链接的目标是找到每个节点的坐标,这样的可能性考虑到生成的直接生成的网络拓扑模型上面描述的是最大的。

形成一个统计的角度来看,推断坐标是找到最佳匹配的双曲线模型给定的邻接矩阵。最大似然估计方法已被广泛应用于推断坐标在双曲嵌入 9, 11, 36]。隐藏变量取特定值{<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 ,<我nl我ne-formula> θ ∗ 我 }在网络,从观察到的邻接矩阵可以找到<我nl我ne-formula> 一个 我 j 使用贝叶斯规则如下: (3) ℒ κ ∗ 我 , θ ∗ 我 一个 我 j , γ ∗ , β , k ∗ ¯ = ℒ κ ∗ 我 , θ ∗ 我 , 一个 我 j γ ∗ , β , k ∗ ¯ ℒ 一个 我 j γ ∗ , β , k ∗ ¯ , 在哪里<我nl我ne-formula> ℒ κ ∗ 我 , θ ∗ 我 , 一个 我 j γ ∗ , β , k ∗ ¯ = 概率 κ ∗ 0 , θ ∗ 我 ℒ 一个 我 j κ ∗ 0 , θ ∗ 我 , γ ∗ , β , k ∗ ¯ 。的隐藏变量的先验概率 (4) 概率 κ ∗ 我 , θ ∗ 我 = 2 π − N ∏ 我 = 1 N ρ κ ∗ 我 , ,可能是 (5) ℒ 一个 我 j κ ∗ 我 , θ ∗ 我 , γ ∗ , β , k ∗ ¯ = ∏ 1 ≤ 我 ≤ j ≤ N f χ 一个 我 j 1 − f χ 1 − 一个 我 j , 在哪里<我nl我ne-formula> 一个 我 j 邻接矩阵;如果有联系<我nl我ne-formula> 我 和<我nl我ne-formula> j ,<我nl我ne-formula> 一个 我 j = 1,否则<我nl我ne-formula> 一个 我 j = 0。隐藏的变量是{<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 ,<我nl我ne-formula> θ ∗ 我 }和有效距离<我nl我ne-formula> χ = N k ¯ Δ θ / β 罪 π / β κ 一个 我 κ b 我 。获得隐藏坐标被最大化优化的可能性在方程( 3)及其对数: (6) ln ℒ κ ∗ 我 , θ ∗ 我 一个 我 j , γ ∗ , β , k ∗ ¯ = C − γ ∑ 我 = 1 N ln κ ∗ 我 + ∑ 我 < j 一个 我 j ln p χ + ∑ 我 < j 1 − 一个 我 j ln 1 − p χ , 的常数<我nl我ne-formula> C 是独立于<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 和<我nl我ne-formula> θ ∗ 我 。

接下来,节点位置可以得到似然函数<我nl我ne-formula> ℒ 。首先,推断径向坐标是相对容易的。我们推导出解析解的部分推导方程( 6)对预期的程度<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 : (7) ∂ ∂ κ ∗ 我 ln ℒ = − γ κ ∗ 我 − β κ ∗ 我 ∑ j ≠ l p χ − ∑ j 一个 我 j 。

通过这样做,我们可以获得的参数<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 (预期的程度的节点<我nl我ne-formula> 我 从预期的程度<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 ∼ 如下:<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 ∼ = k ∗ 我 − γ ∗ 我 / β 和<我nl我ne-formula> κ ∗ 我 = 马克斯 k ∗ 我 − γ ∗ 我 / β , κ ∗ 0 。

类似于<我nl我ne-formula> r 角坐标是通过最大化似然函数方程( 6)。然而,很难获得一个解析解,与数值方法因此被用来估计角坐标,包括标准pmmh算法(SMH) [ 37)和本地化pmmh算法(LMH) [ 11]。自从LMH方法执行在估计和计算角坐标完全在一个分布式的方式不知道全球网络拓扑结构( 11),我们应用LMH方法来推断角坐标。全球对数似方程( 5)是由以下方程: (8) ln ℒ 一个 我 j κ ∗ 我 , θ ∗ 我 , γ ∗ , β ∗ , k ∗ ¯ = ∑ 我 < j 一个 我 j ln p χ + ∑ 我 < j 1 − 一个 我 j ln 1 − p χ 。

在LMH方法中,当地的贡献<我nl我ne-formula> ln ℒ 我 每个节点的<我talic> 我全球对数似<我nl我ne-formula> ln ℒ 将首先定义为<我nl我ne-formula> ln ℒ 我 = ∑ 我 ≠ j 一个 我 j ln p χ + ∑ 我 ≠ j 1 − 一个 我 j ln 1 − p χ ,在那里<我nl我ne-formula> ln ℒ = 1 / 2 ln ℒ 我 。接下来,节点访问了一个接一个。当特定的节点<我nl我ne-formula> 我 访问,所有其他节点有固定的位置,和角位置的<我talic> 我移动根据健身,最大化每个节点的本地对数似访问。角位置的采样间隔<我nl我ne-formula> Δ θ = 1 / N 。