许多自然和人造系统可以建模为复杂网络由节点和边构成的。例如,电力网络可以被视为复杂网络由大量的变电站通过输电线路连接;引文网络可以被视为复杂网络由大量学者通过相互引用的文章联系;此外,生化网络、食物网、社交网络等所有存在于形式的复杂网络。复杂网络的基础研究是了解网络的静态结构和动态特征( 1),如网络建设,网络的拓扑特征,社区结构( 2),和同步的网络( 3, 4]。复杂网络上的广泛的研究丰富了我们对现实网络的理解。复杂网络研究的最终目标是控制它们,也就是说,如何控制整个网络通过控制适当的节点。经典控制理论已经被应用于复杂网络。刘等人。 5)提出了一个框架,用于计算复杂网络的可控性,命名为“结构可控性。“定向图的最大匹配 6)是用于查找最小驱动节点来控制整个网络。元等。 7)提出另一个可控性计算框架称为“精确可控性,”,适用于任意结构的复杂网络。和框架解决问题,结构可控性只适用于指导网络。

进一步研究复杂网络,刀枪不入的工作网络已经变得越来越重要( 8]。复杂的攻击造成的网络故障或损坏某些边缘和节点会导致网络失控。例如,站或道路的失败可能会导致大规模的交通拥堵。失败的web站点或线路的万维网(www)可能会导致网络崩溃。级联故障在电网可能引发的一些输电线路故障或变电站 9),最终影响大部分网格。陈等人。 10]研究了节点的网络受到攻击时对可控性的影响。卡和Ambika 11]探索可控性的变化后边缘最高的中间性崩溃。聚氨酯和崔 12]讨论的情况最长的简单路径网络受到攻击。他们的研究表明,随机故障对可控性影响甚微,而攻击节点基于学位,攻击基于中间性边缘,和攻击最长的简单路径是非常有效的可控性( 13]。托马斯et al。 14)发现,控制一个无标度网络是更困难比随机网络。相当多的节点失败也可以破坏无标度网络的控制。此外,Chen等人。 15)研究复杂网络的级联失效和可控性随机故障和恶意攻击。此外,在相互依赖的网络的鲁棒性的研究已经逐渐引起学者们的关注 16]。依赖网络中的节点与另一层的网络交互,所以不同于单层网络相关的属性。

此外,如何优化复杂网络改善刀枪不入也取得了很大的进步。侯et al。 17)提出了一个方法来优化指导网络的可控性通过改变少数边缘的方向,同时保持边缘的连接总数不变。肖et al。 18)提出了一个动态优化方法提高任意结构网络的鲁棒性目标攻击,和边缘的方法只交往但不会改变节点的程度。李和陆 19提出了一个基于遗传算法的优化方法,它适用于任何网络结构。Iudice et al。 20.]考虑实际应用物理和经济约束,并将优化问题转换为一个整数线性规划问题。张、刘等人。 21, 22)提出优化方法通过冗余设计来提高刀枪不入。燕et al。 23)同余理论应用于复杂网络的建设和显示多个全等网络的特点和性质。研究表明,多个网络的一致性比典型的复杂网络更健壮。卢et al。 24)提出了一种新的复杂网络模型具有高鲁棒性通过使用反馈控制理论的思想。

桥梁是一种关键边的移除将会断开网络连接的图形,增加数量( 25]。桥梁发挥重要作用在确保网络的连通性,比如蛋白质交互网络、通信网络和基础设施网络。然而,很少有人注意到桥梁的重要性在复杂网络的可控性。因此,我们调查的影响消除桥梁网络的可控性。然后,我们提出了两种优化策略基于桥梁提高可控性复杂网络攻击的鲁棒性。

考虑线性定常动态网络系统 N表示为节点的动态方程 (1) x ˙ t = 一个 x t + B u t , 在哪里 x t = x 1 t , x 2 t , … , x N t T 在复杂网络节点的状态, x j t 节点的状态吗 j在时间 t; 一个 ∈ R N × N 复杂网络的邻接矩阵,在哪里 一个 我 j = 0 意味着没有连接的节点 j到节点 我,即节点 j不影响节点 我, 一个 我 j ≠ 0 意味着节点的强度 j影响节点 我,积极或消极的 一个 我 j 显示效果是否正面或负面; u t = u 1 t , u 2 t , … , u 米 t T 是输入信号,在哪里 u j t 意味着外部输入节点 j; B ∈ R N × 米 是输入矩阵, b 我 j 表示输入信号和节点之间的联系 我。

描述的系统方程( 1)是可控的,如果它可以从任何初始状态 x t 0 任何理想的最终状态 x t f 在有限的时间内 t 0 , t f 。根据卡尔曼秩条件,它是可能的,当且仅当可控性矩阵 (2) W = B , 一个 B , 一个 2 B , … , 一个 N − 1 B ∈ R N × N 米 已满秩, 排名 W = N ,在那里 W是能控性矩阵。

根据卡尔曼秩条件,对于一个给定的复杂网络,邻接矩阵 一个决定,让网络完全可控的方法是找到一个合适的输入矩阵吗 B为了满足卡尔曼秩条件。很明显,如果外部输入是应用于网络中的每个节点,它必须完全可控,但它是不现实的和数千个节点为一个复杂的网络。可控性问题的解决方案是选择尽可能少的节点来控制网络,也就是说,找一个合适的矩阵 B由最小数量的列来满足卡尔曼秩条件。然而,复杂网络有数千个节点,卡尔曼秩条件的计算复杂度 2 N − 1 需要大量的计算。同时,在现实世界中节点之间的权重很大程度上是未知或不确定。克服这些困难,刘等人。 5)推出了一项名为“结构可控性”的框架来解决这个问题。结构可控性框架集成图的匹配理论与传统结构可控性,即最小数量的司机需要完全控制网络是由节点的最大匹配网络,无与伦比的节点到底在哪里需要控制。的数量由驱动节点 N D 。

刘等人的框架( 5)提供了一个有效的方法来确定最小数量的司机指导复杂网络的节点。然而,结构可控性只适用于定向网络结构的特征矩阵,在其中所有的链接都由独立的自由参数。这个要求可能违反了如果给出确切的链接权重或对称无向网络的特征。为了克服的局限性,元et al。 7)提出了一种精确可控性框架基于Popov-Belevitch-Hautus (PBH)条件。确切的可控性适用于任意复杂网络,如网络,无向网络,加权网络,未加权的网络,自身环网络,和nonself-loop网络。具体内容是最小数量的驱动节点 N D 完全控制复杂网络( 1)是由其邻接矩阵的最大几何重量 一个: (3) N D = 马克斯 我 μ λ 我 , 在哪里 μ λ 我 几何特征值的多重性吗 λ 我 我 = 1、2、3 , … , N 的邻接矩阵 一个。对于大型稀疏的复杂网络,精确可控性框架给出了一个方法,只需要的秩 一个确定驱动节点的数量,也就是说, (4) N D = 马克斯 1 , N − 排名 一个 。

复杂网络的可控性是由驱动节点的最小数量的比例需要完全控制网络节点的总数,记录 (5) n D = N D N 。

它的大小反映了控制复杂网络的难度。值越小,越小的比例驱动节点需要控制网络节点总数和容易控制网络。相反的,网络是不太可能的控制。

桥梁拆除将打破连接并影响复杂网络的功能。针对这一现象,除桥的概念引入到复杂网络的可控性问题,和桥梁拆除对可控性的影响进行了研究。

我们研究复杂网络的可控性,当桥梁被攻击迭代地删除。和边攻击基于度、介数、失败和随机选择比较。发现桥去除较大影响网络可控性比其他攻击。此外,结果表明,对可控性的影响桥去除网络的程度有关。当网络的平均度低,桥删除对可控性的影响。虽然平均程度的增长,网络对桥梁拆除的控制鲁棒性得到了改善。在此基础上,我们提出两个复杂网络的优化策略。两桥备份和消除确实可以提高网络的鲁棒性。因此,当我们设计一个网络,我们应该尽量避免这种情况,网络包括大量的桥梁。

的源代码中可用的工作( 28]。