复杂性 复杂性 1099-0526<我npub-type="ppub"> 1076-2787 Hindawi 10.1155/2020/1647401 1647401 研究文章 最小化完工时间的双机并行调度 https://orcid.org/0000-0001-9301-9146 曹 利斯 1 https://orcid.org/0000-0002-4226-2573 郝 建宏 2 三 https://orcid.org/0000-0001-8845-6261 江 大奎 4 杨 志乐 1 国际商业学院 天津外国语大学 天津300270 中国 tjfsu.edu.cn 2 管理与经济学院 天津大学 天津300072 中国 tju.edu.cn 三 中国汽车技术研究中心 天津300300 中国 catarc.ac.cn 4 运营管理部 海潮投资有限公司 佩里港 安大略L9L1B5 加拿大 2020 31 1 2020 2020 26 07 2019 30. 09 2019 19 10 2019 31 1 2020 2020 版权所有©2020 Lisi Cao等人。 这是一篇在知识共享署名许可下发布的开放存取的文章，它允许在任何媒体上无限制地使用、传播和复制，只要原始作品被适当地引用。

摘要以最小化最大完工时间为目标，处理了具有协调作业交付的并联机床调度问题。不同的作业在运输过程中需要不同大小的储存空间。该问题中的一个客户的一系列作业优先在两台相同的平行机器上处理，不抢占，然后由两辆车辆分批交付给客户。对于这个NP困难的问题，我们首先证明了除非P = NP，否则不可能有一个最坏情况性能比界小于2的多项式启发式算法。在此基础上，我们提出了一个多项式启发式算法，其最坏情况比为2。

国家教委科学基金项目 18 yjc630041 天津市教委科研项目 2019SK069 1.介绍

生产和分销运营是供应链中的两个关键运营职能；整合这两个职能并以协调的方式共同安排它们以实现最佳运营绩效至关重要[ 1］.然而，在传统的调度问题中，始终假设有足够的车辆来提供没有运输所需时间的工作。与传统调度不同，在当前研究中研究了两个阶段的调度问题，第一阶段用于在两个并行机上处理作业，而第二级用于递送使用两个车辆完成的作业。

在集成生产和出站配送调度（IPODS）问题中，需要协调供应链各级的调度、分批和交付决策，以最小化总体调度和交付成本[ 2］.在过去的二十年里，各种各样的ipod模型被广泛研究。陈( 1]对这些模型进行了全面的调查。在调查的基础上，兴趣问题被认为是一个一般大小和有限数量的工作的IPODS模型。因此，在下面，我们只回顾几个密切相关的研究工作。近年来，在ipod模型上做了一些并行机器和等尺寸的工作，所有的工作都有相同的尺寸。例如，霍尔和波茨[ 三研究了几款有足够车辆的车型。在他们的模型中，所有的成品都交付给一个客户。有多个客户的模型也在[ 4, 5]王先生和程先生[ 6]曾经研究过一个模型，其中有两台相同的并联机器和一辆车，以最小化完工时间。在该模型中，由于预防性维护，其中一台机器上存在不可用的间隔，并且未完成的作业可以在机器再次可用后恢复处理。他们证明了该问题是NP难问题，并提出了一种最坏情况比率为的启发式算法<我nl我ne-formula> 5 / 三 . 最近，潘和苏[ 7]开发了一种改进的启发式算法，最坏情况比率为<我nl我ne-formula> 三 / 2 ．显然，对于工作通常有不同大小的模型，与涉及相同大小的工作的模型相比，它将相当困难地解决，因为批量决策现在涉及装箱，这是单独的NP-hard在强烈的意义上[ 8在不允许分批交货的情况下。张及李[ 9]率先建立了涉及一般规模工作的研究模型。根据他们的模型，在第二阶段只能使用一辆车来交付工作。他们提出了两种最坏情况比率为<我nl我ne-formula> 5 / 三 和2，分别为单机配置和两个相同的并联机配置的机型。在此基础上，提出了几种改进的启发式算法。对于单机配置模型，He等[ 10和Zhong等[ 11]提出了一种改进的启发式算法和一种最可行的启发式算法<我nl我ne-formula> 53 / 35 和<我nl我ne-formula> 三 / 2 + ε. ,在那里<我talic> ε.是积极的，可以是近似0的任意值;对于具有两个相同并联机器配置的模型，钟等。[ 11]提供了一个最坏情况比率为<我nl我ne-formula> 5 / 三 ，和Su等[ 12提出了一种最坏情况比为的启发式算法<我nl我ne-formula> 63 / 40 ，但两种特殊情况除外。对于具有多辆车的车型，Chen和Pundoor[ 13[进行了一项研究，研究的是一种车型有足够的车辆，其中所有的工作都有期限。为了使总运输成本最小，他们对该模型开发了一个启发式算法。蒋和谭[ 14]针对单机两车模型，设计了最坏情况比为2的多项式时间启发式算法。然而，据我们所知，对于具有相同并联机且车辆数量不少于两辆的模型，很少有人关注。

我们研究的问题是Jiang和Tan研究的模型的扩展[ 14，其中第一阶段的机器环境从一台机器扩展到两台相同的并行机器。研究中存在的问题概括如下:对于一个客户作业数量为<我talic> n彼此独立，<我nl我ne-formula> N = J 1 , J 2 , … , J n ，其中每一个都必须首先由两台相同的并行机器中的一台进行非先发制人的处理，<我nl我ne-formula> M 1 和<我nl我ne-formula> M 2 ，然后交付给客户。工作<我nl我ne-formula> J j ,<我nl我ne-formula> j = 1,2 , … , n ，需要的处理时间为<我nl我ne-formula> p j 在制造系统中，具有一定的尺寸<我nl我ne-formula> j 它代表物理空间<我nl我ne-formula> J j 因为它是装在车上的。有两种同类车辆(<我nl我ne-formula> 五 1 和<我nl我ne-formula> 五 2 )，可用于交付最初在制造系统中已完成的成批作业。每一辆车的容量是<我talic> z。这表示如果总尺寸小于，可以安排完成的作业，以匹配车辆的物理空间<我talic> z. 一个交付批次指由同一车辆一次性交付的作业。一辆车需要一段时间<我talic> T指在交付一批作业时的运输过程，即从车辆开始交付一批作业到交付后返回机器的时间。其目标是在制造系统中搜索处理作业的时间表，然后将完成的作业交付给客户，从而使所有作业所需的时间最小化<我talic> N等待加工和交付给客户。为便于分析，计划的最大完工时间定义为<我nl我ne-formula> C 最大值 .这是从一辆车完成最后一批交付给客户到它返回制造系统的时间。在这种情况下，我们需要解决的是寻找一个能使完工时间最小化的时间表。

因为据我们所知，我们是第一个考虑两台机器和两辆车的模型，所以本文有两个目标。我们的第一个目标是分析我们模型的计算复杂性，并提供模型满足的一些最优性性质。此外，针对类似模型的著名算法也无法解决我们的模型。因此，我们的第二个目标是开发一种针对该问题的快速启发式算法。其余研究的组织结构如下所示：第一节 2首先介绍了一些符号，以及感兴趣的问题的一些最优性性质 三为感兴趣的问题提供启发式，然后分析最坏情况下启发式的性能。部分 4得出结论。

2注释和初步说明

本节首先介绍以下符号。这些符号在本文中统一使用：

P：在制造系统中处理所有作业的总时间，即。，<我nl我ne-formula> P = ∑ j = 1 n p j ．

至于日程安排<我talic> δ对于该问题，定义如下：

b δ :要交付的总批数<我talic> δ．

每人<我nl我ne-formula> k = 1 , … , b δ ，我们定义如下：

B k δ :<我talic> k第批交货于<我talic> δ．

P k δ = ∑ J j ∈ B k δ p j :批处理中所有作业的处理时间之和<我nl我ne-formula> B k δ ．

σ k δ ：车辆离开制造系统交付的时间<我nl我ne-formula> B k δ ．

ρ k δ ：准备工作的时间<我nl我ne-formula> B k δ ，表示完成分配给的作业处理的最近时间<我nl我ne-formula> B k δ . 值得注意的是，在任何可能的时间表中，都有<我nl我ne-formula> σ k δ ≥ ρ k δ ．

除非模棱两可,，<我nl我ne-formula> B k δ ,<我nl我ne-formula> P k δ ,<我nl我ne-formula> σ k δ ，及<我nl我ne-formula> ρ k δ 简化为<我nl我ne-formula> B k ,<我nl我ne-formula> P k ,<我nl我ne-formula> σ k ，及<我nl我ne-formula> ρ k ，分别。

对于最佳计划，定义如下：

C 最大值 ∗ :最佳时间。

C 最大值 M ∗ ：机器完成上一个作业处理的时间。

b ∗ :发货批次数量。

给出了问题的几个最优性性质，由于条件的直接性，省略了证明。

引理1。

对于满足以下条件的问题，存在最优调度:

在任何机器上处理的作业之间都没有空闲时间

 引理2。

C 最大值 ∗ ≥ 最大值 C 最大值 M ∗ + T , b ∗ / 2 T ．

显然，我们的问题是NP难问题，因为它是运输时间的一个特例<我nl我ne-formula> T = 0 等价于求解经典的两台并联机床的最大完工时间最小化问题，这是NP难问题。

引理3。

除非P = NP，否则不可能有一个最坏情况性能比界限小于2的多项式启发式算法。

证明。

我们通过以下划分问题的一个简化来证明这一点，这个划分问题是NP完全的[ 8］.

分区:<我talic> n自然数<我nl我ne-formula> 一 1 , … , 一 n ，是否有子集<我nl我ne-formula> ⊆ 1 , … , n 这样<我nl我ne-formula> ∑ 我 ∈ 一 我 = ∑ 我 ∉ 一 我 ?

给定这个分区实例，我们考虑一个与<我talic> n乔布斯，<我nl我ne-formula> J 1 , … , J n ,在那里 (1) p j = 0 , j = 2 一 j ∑ 我 = 1 n 一 我 z , 对于  j = 1 , … , n ．

作为子集<我nl我ne-formula> ∗ ⊆ 1 , … , n 令人满意的<我nl我ne-formula> ∑ 我 ∈ ∗ 一 我 = ∑ 我 ∉ ∗ 一 我 可以达到。很明显，当且仅当该实例的最优调度中形成了两个批次时，上述PARTITION实例有肯定的答案。至于时间表，工作在<我nl我ne-formula> J j j ∈ ∗ 和<我nl我ne-formula> J j j ∉ ∗ 机器是分开加工的吗<我nl我ne-formula> M 1 和<我nl我ne-formula> M 2 然后分配到两个不同批次，每个批次由一辆车交付，最大完工时间为<我nl我ne-formula> C 最大值 = T .相反，任何子集的实例都需要三批或更多批<我nl我ne-formula> ⊆ 1 , … , n 令人满意的<我nl我ne-formula> ∑ 我 ∈ 一 我 ≠ ∑ 我 ∉ 一 我 . 其中一辆车至少交付两批，因此相关时间表的完成时间为<我nl我ne-formula> C 最大值 ≥ 2 T ．

对于最坏情况比界小于2的问题，假设存在一个多项式启发式算法。对于最优计划下的两个批次的形成，如所述，最优最大完工时间为<我nl我ne-formula> C 最大值 ∗ = T ．很明显，假设算法能够以最大完工时间作为时刻搜索最优调度<我nl我ne-formula> C 最大值 = 2 T 当需要3批的时候。这应该是一个多项式时间算法在最坏情况下性能比的界限是2。因此，通过上述的约简，算法能够在多项式时间内解决PARTITION实例，这意味着P = NP，这与我们的说法相矛盾<我nl我ne-formula> P ≠ NP ．

因此，对于该问题，不可能获得最坏情况性能比界小于2的多项式启发式，除非P = NP。

 三。启发性

在本节中，我们首先介绍以下算法FFD（first Fit Desculation）[ 15，是求解装箱问题的经典算法。在提出的启发式中，它将应用于组成批次。请注意车辆载客量(<我talic> z)和工作规模(<我nl我ne-formula> j )在研究的基础上提出了FFD算法。

３．１．FFD算法

步骤1:按照大小不递增的顺序对作业进行排序(<我nl我ne-formula> j )

第二步:分配大小最大的任务<我nl我ne-formula> B 1

步骤3:为<我talic> j = 2, …,<我talic> n，如果<我talic> j考虑最大的作业，然后将它分配给索引最低的批处理，这样对应批处理的总作业大小就不会超过<我talic> z

引理4（参见[<XREF REF-Type =“BIBR”RID =“B16”> 16 </ XREF>]）。

对于一个装箱的实例I，假设<我nl我ne-formula> FFD 我 和<我nl我ne-formula> 选择 我 是用于最优解和使用FFD算法获得的解的不同数量的箱子，我们有<我nl我ne-formula> FFD 我 ≤ 三 / 2 选择 我 ．

在下面，我们将为该问题提供一种启发式方法，并分析其最坏情况下的性能。该启发式描述如下。

 3.2.启发式HA

步骤1:FFD算法用于将作业分配给批次。假设形成的批次数量为<我nl我ne-formula> b H ．

步骤2：对于批量作业<我nl我ne-formula> B k ，计算处理它们的总时间，并表示为<我nl我ne-formula> P k ，为<我nl我ne-formula> k = 1,2 , … , b H 。检索批次，以便<我nl我ne-formula> P 1 ≤ P 2 ≤ ⋯ ≤ P b H ．

步骤3：从中一个接一个地分配批次<我nl我ne-formula> B 1 分配给在分配前负载较低的机器(将一批作业分配给同一台机器)。每批作业都是按照随机顺序排序的。

步骤4：第一辆和第二辆车应交付分配给机器的所有批次<我nl我ne-formula> M 1 和<我nl我ne-formula> M 2 ．每辆车需要配送每批待发货的成品;在车辆可用的情况下，如果有多个批次完成，则车辆需要调度索引最低的批次。

我们首先分析了启发式HA的时间复杂度，因为众所周知FFD算法的时间复杂度是<我nl我ne-formula> O n 2 ，需要一段时间<我nl我ne-formula> O n 2 在步骤1中，还需要<我nl我ne-formula> O n 获得所有信息的时间<我nl我ne-formula> P k 对于<我nl我ne-formula> k = 1,2 , … , b H 在步骤2中；作业批分配的成本最高<我nl我ne-formula> O n 日志 n 在步骤3中，批量交付最多将占用<我nl我ne-formula> O n 在步骤4取决于<我nl我ne-formula> b H . 因此，我们得到启发式HA的时间复杂度为<我nl我ne-formula> O n 2 . 据说<我nl我ne-formula> C 最大值 H 表示启发式HA的最大完成时间。在启发式的求解中，设<我nl我ne-formula> C 最大值 1 和<我nl我ne-formula> C 最大值 2 代表在最后两台机器中排序的完成工作的时间瞬间<我nl我ne-formula> M 1 和<我nl我ne-formula> M 2 ．然后,<我nl我ne-formula> C 最大值 M ∗ = 最大值 C 最大值 1 ∗ , C 最大值 2 ∗ ．此外,定义<我nl我ne-formula> C 最大值 M = 最大值 C 最大值 1 , C 最大值 2 ．

引理5（参见[/xref ref type=“bibr”rid=“B9”>9</xref>）。

C 最大值 M ≤ P ≤ 2 C 最大值 M ∗ ．

基于启发式HA，批按其处理时间的非递减顺序建立索引，并在批分配之前将批逐个分配给负载较小的机器。可以很容易地证明，每批具有奇数索引的产品被分配给机器<我nl我ne-formula> M 1 并由车辆运送<我nl我ne-formula> 五 1 ；对于具有偶数索引的批，它们被分配给<我nl我ne-formula> M 2 ，然后使用车辆交付<我nl我ne-formula> 五 2 ．此外，与索引较大的批处理相比，索引较小的批处理的交付时间更早。假设<我talic> x和<我talic> y在使用启发式HA获得的解决方案中，处理分配给第一批和第二批作业的单独总时间，即，<我nl我ne-formula> x = P 1 和<我nl我ne-formula> y = P 2 ．

 推论1。

x ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H ；<我nl我ne-formula> y ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H − 1 如果<我nl我ne-formula> b H ≥ 2 ．

证明。

因为<我nl我ne-formula> P 1 ≤ P k ，为<我nl我ne-formula> k = 1 , … , n 根据第二步，我们有<我nl我ne-formula> b H P 1 ≤ P 和<我nl我ne-formula> P 1 + b H − 1 P 2 ≤ P 如果<我nl我ne-formula> b H ≥ 2 ，也就是说<我nl我ne-formula> x = P 1 ≤ P / b H ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H 和<我nl我ne-formula> y = P 2 ≤ P / b H − 1 ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H − 1 如果<我nl我ne-formula> b H ≥ 2 ．

引理6。

b H ≤ 三 / 2 b ∗ ．

证明。

假定<我nl我ne-formula> b L ∗ 表示使用最优方法将作业分配给批时的批数量，而不是使用步骤1中的FDD算法。很明显,有<我nl我ne-formula> b L ∗ ≤ b ∗ . 同时,，<我nl我ne-formula> b H ≤ 三 / 2 b L ∗ 基于引理 4，这表明<我nl我ne-formula> b H ≤ 三 / 2 b ∗ ．

引理7。

考虑了启发式HA实现的调度。

条件是一批<我nl我ne-formula> B k 存在机器<我nl我ne-formula> M 1 这<我nl我ne-formula> σ k = ρ k 和<我nl我ne-formula> k ≥ 三 ,有<我nl我ne-formula> σ k + 2 我 = ρ k + 2 我 ，为<我nl我ne-formula> 我 = 0、1、2 , …

证明。

回想一下，批是按非递减顺序索引和交付的<我nl我ne-formula> P j ,<我nl我ne-formula> ∀ j ．注意<我nl我ne-formula> ρ k = ρ k − 2 + P k 和<我nl我ne-formula> σ k = 最大值 δ k − 2 + T , ρ k . 自<我nl我ne-formula> δ k = ρ k ,<我nl我ne-formula> σ k − 2 + T ≤ ρ k = ρ k − 2 + P k 由引理 1（一世）。自从<我nl我ne-formula> σ k − 2 ≥ ρ k − 2 ,有<我nl我ne-formula> P k ≥ T ．因此,<我nl我ne-formula> P k + l ≥ T 对于<我nl我ne-formula> l = 0,1 , … , b − k . 因此<我nl我ne-formula> σ k + 2 = 最大值 σ k + T , ρ k + 2 = 最大值 σ k + T , ρ k + P k + 2 = ρ k + P k + 2 = ρ k + 2 ．重复使用同样的论点，有<我nl我ne-formula> σ k + 2 我 = ρ k + 2 我 ，为<我nl我ne-formula> 我 = 0、1、2 , …

推论2。

考虑启发式HA获得的时间表。如果<我nl我ne-formula> C 最大值 H > C 最大值 M + T 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H = 最大值 x + b H + 1 / 2 T , y + b H − 1 / 2 T 如果<我nl我ne-formula> b H 奇怪的是,<我nl我ne-formula> C 最大值 H = y + b H / 2 T 如果<我nl我ne-formula> b H 是偶数。

引理8。

如果<我nl我ne-formula> C 最大值 H = C 最大值 M + T 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ ．

证明。

(2) C 最大值 H C 最大值 ∗ ≤ C 最大值 M + T C 最大值 M ∗ + T ≤ 2 C 最大值 M ∗ + T C 最大值 M ∗ + T ≤ 2.

推论3。

如果<我nl我ne-formula> b H = 1 或<我nl我ne-formula> b H = 2 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ ．

引理9。

如果<我nl我ne-formula> b H 奇怪的是,<我nl我ne-formula> b H ≥ 三 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ ．

证明。

如果<我nl我ne-formula> C 最大值 H = C 最大值 M + T 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ 根据引理 8.现在，假设<我nl我ne-formula> C 最大值 H > C M + T .推论 2,<我nl我ne-formula> C 最大值 H = 最大值 x + b H + 1 / 2 T , y + b H − 1 / 2 T 如果<我nl我ne-formula> b H 是奇数。

案例1。

C 最大值 H = x + b H + 1 / 2 T ． (3) C 最大值 H C 最大值 ∗ = x + b H + 1 / 2 T C 最大值 ∗ ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H + b H + 1 / 2 T C 最大值 ∗ = 2 b H ⋅ C 最大值 M ∗ + b H + 1 b H / 4 T C 最大值 ∗ ≤ 2 b H ⋅ C 最大值 M ∗ + T C 最大值 M ∗ + T + 2 b H ⋅ b H + 1 b H / 4 T − T b ∗ / 2 T = 2 b H + b H + 1 b H − 4 b H b ∗ ≤ 2 b H + b H + 1 b H − 4 2 / 三 b H 2 = 三 2 + 7 b H − 12 2 b H 2 ≤ 2.

案例2。

C 最大值 H = y + b H − 1 / 2 T ． (4) C 最大值 H C 最大值 ∗ = y + b H − 1 / 2 T C 最大值 ∗ ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H − 1 + b H − 1 / 2 T C 最大值 ∗ = 2 b H − 1 ⋅ C 最大值 M ∗ + b H − 1 / 2 2 T C 最大值 ∗ ≤ 2 b H − 1 ⋅ C 最大值 M ∗ + T C 最大值 M ∗ + T + 2 b H − 1 ⋅ b H − 1 / 2 2 T − T b ∗ / 2 T = 2 b H − 1 + b H − 1 2 − 4 b H − 1 b ∗ ≤ 2 b H − 1 + b H − 1 2 − 4 2 / 三 b H − 1 b H < 2 b H − 1 + 三 2 ．

显然,，<我nl我ne-formula> C 最大值 H / C 最大值 ∗ < 2 如果<我nl我ne-formula> b H ≥ 5 ．因为<我nl我ne-formula> b H 奇怪的是,<我nl我ne-formula> b H ≥ 三 ，我们只需考虑<我nl我ne-formula> b H = 三 ．如果<我nl我ne-formula> b H = 三 那么 (5) C 最大值 H C 最大值 ∗ ≤ 2 b H − 1 + b H − 1 2 − 4 b H − 1 b ∗ = 1.

因此,我们有<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ 如果<我nl我ne-formula> b H 奇怪的是,<我nl我ne-formula> b H ≥ 三 ．

引理10。

如果<我nl我ne-formula> b H 甚至和<我nl我ne-formula> b H ≥ 4 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ ．

证明。

如果<我nl我ne-formula> C 最大值 H = C 最大值 M + T 那么<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ 根据引理 8.现在，假设<我nl我ne-formula> C 最大值 H > C 最大值 M + T .推论 2,<我nl我ne-formula> C 最大值 H = y + b H / 2 T 如果<我nl我ne-formula> b H 是偶数。因此, (6) C 最大值 H C 最大值 ∗ = y + b H / 2 T C 最大值 ∗ ≤ 2 C 最大值 M ∗ / b H − 1 + b H / 2 T C 最大值 ∗ = 2 b H − 1 ⋅ C 最大值 M ∗ + b H − 1 b H / 4 T C 最大值 ∗ ≤ 2 b H − 1 ⋅ C 最大值 M ∗ + T C 最大值 M ∗ + T + 2 b H − 1 ⋅ b H − 1 b H / 4 T − T b ∗ / 2 T = 2 b H − 1 + b H − 1 b H − 4 b H − 1 b ∗ ≤ 2 b H − 1 + b H − 1 b H − 4 2 / 三 b H − 1 b H < 2 b H − 1 + 三 2 ．

显然,，<我nl我ne-formula> C 最大值 H / C 最大值 ∗ < 2 如果<我nl我ne-formula> b H ≥ 5 ．因为<我nl我ne-formula> b H 甚至和<我nl我ne-formula> b H ≥ 4 ，我们只需考虑<我nl我ne-formula> b H = 4 ．如果<我nl我ne-formula> b H = 4 ，由lemma. 6,我们有<我nl我ne-formula> b ∗ = 三 或<我nl我ne-formula> b ∗ = 4 ．

如果<我nl我ne-formula> b H = 4 和<我nl我ne-formula> b ∗ = 三 那么 (7) C 最大值 H C 最大值 ∗ ≤ 2 b H − 1 + b H − 1 b H − 4 b H − 1 b ∗ = 2 三 + 8 9 < 2.

如果<我nl我ne-formula> b H = b ∗ = 4 那么 (8) C 最大值 H C 最大值 ∗ ≤ 2 b H − 1 + b H − 1 b H − 4 b H − 1 b ∗ = 2 三 + 8 12 < 2.

因此,我们有<我nl我ne-formula> C 最大值 H ≤ 2 C 最大值 ∗ 如果<我nl我ne-formula> b H 甚至和<我nl我ne-formula> b H ≥ 4 ．

从推论 三,引理 9，和引理 10,我们有

定理1。

C 最大值 H / C 最大值 ∗ ≤ 2 ．

根据引理 三和定理 1，我们可以得出结论，我们的启发式算法是解决该问题的最佳多项式启发式算法。

 4.结论

研究了两台完全相同的并行机的调度问题，该问题可以看作是一个IPODS模型，包括两台完全相同的并行机和一般大小的作业。我们首先证明了该问题是NP难问题，然后给出了一个多项式我们还证明了对于这个问题，最坏情况性能比界小于2的多项式启发式是不可能的，除非P = 此外，我们的启发式算法在最坏情况下的性能比有一个2的界，这意味着我们的启发式算法是最好的。涉及两辆以上车辆或机器的模型预计将在未来的研究中进行研究。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包含在文章中。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

国家教委科学基金项目(no . 18YJC630041);天津市教委科研项目(no . 2019SK069)。关键词:岩石力学，蠕变，蠕变强度，蠕变强度