1.介绍
网络的结构可以显着改变其功能或行为。模块化是许多系统中普遍存在的结构性，其中模块内的元素在它们之间具有更多的连接，而不是其他元素[
1 ，
2 ]．从模块化的概念外推，我们可以在子集中的元素之间具有比与其他元素之间的连接较小的连接时，可以定义反核性。模块化已经过广泛研究。它与系统的复杂性及其进化和适应的能力有关，但同时以强大的方式抵制扰动[
3. - - - - - -
7 ]．它通过隔离模块来保持健壮性，并通过改变模块之间的连接来实现更快的适应。另一方面，反模网络的功能特性是什么?
除了模块化之外，复杂系统的另一种相关性质是多层结构中的尺度之间的因果关系。它在系统和计算生物学中引起了很多关注，下层如何在上层影响系统性质，反之亦然[
8 - - - - - -
10 ]．基因治疗是表示“向上”的因果关系，一个例子，其中所述治疗在基因水平级联到上层如组织和器官的效果。“向下”的因果关系的一个例子是一种动物中选择特定伴侣，这将部分地确定哪些基因将在后代被保留行为的选择。
在这项研究中，我们的目标是调查随机布尔网络（RBNS）中层之间的反核性和因果关系的影响。因为RBN已被用作模型以表示基因监管网络的动态[
11 - - - - - -
13 ]，我们的研究可以帮助更好地理解许多生物的特征，这些生物表现出模块化/反模块化以及上下水平之间的因果关系[
6 ，
9 ，
14 ]．
2.材料和方法
2．1.随机的布尔网络
Kauffman提出rbn作为基因调控网络模型[
11 - - - - - -
13 ]．RBN由
N
节点和
K
每个节点的连接(或
K
输入节点)。RBN的一个例子如图所示
1 ．网络节点的状态只能为0(关闭、抑制)或1(打开、激活)。在rbn中，布尔函数和拓扑是随机排列的。节点的状态由输入节点的状态和随机分配给每个节点的逻辑规则决定。
图1
例如RBN (
N = 6,
K = 2）。节点和链接分别由圆和箭头表示。
![]()
2.2。rbns的模块状/反末端
一个模块是一组节点，它们彼此之间的连接比其他模块的节点连接更紧密[
14 ，
15 ]．基于这个定义，我们产生了模、反模和标准rbn。我们以RBN邻接矩阵中的对角线元素为中心，定义模块，然后在模块内部和外部安排链接。这里我们只考虑具有相同大小的模块。根据节点的大小，网络中定义的模块数量可能不同。例如，在Figure中
2 ，有四个可能的同构模块:1(即，ABCDEF)， 2(即，ABC, DEF)， 3(即，AB, CD, EF)，和6(即，A, B, C, D, E, F)，尽管第一个和最后一个是平凡的，分别代表网络和节点级别。
图2
邻接矩阵和标准，模块化和反核性RBN的网络。所有网络包含6个节点（
N = 6)和12个链接。在网络中，每个节点平均有两个输入节点(
K = 2）。在邻接矩阵，蓝色装置不存在对应节点之间的链路，以及黄色表示不存在所定义的模块中没有任何联系。（a）在标准RBN。这些链接是随机分布。（b）一个模块化RBN具有三个模块（AB，CD和EF）。有9个intramodular链接和3个intermodular链接。（c）一个antimodular RBN。相同的模块作为（b）的假定。有3个intramodular链接和9个intermodular链接。
(一)
![]()
(b)
![]()
（C）
![]()
rbn的三种类型如下:
（一世）
标准rbn:无论模块是什么，链路都随机分布在邻接矩阵中。数字
2(一个) 显示了一个标准RBN的示例。
(2)
模块化RBNS：链接更大数量被随机放置在模块内比用概率模块外
p
米
．数字
2 (b) 表示具有三个模块的模块化RBN的示例，其中每个模块由两个节点组成。
(3)
反模rbn:与模rbn相反，在定义的模块外分布的链路数量比在模块内分布的链路数量要多
p
一个
．数字
2 (c) 指反核性RBN的一个例子。
在本研究中，我们考虑的是任意的
p
米
＝
p
一个
= 0.9
．
我们定量地测量了模块化
米
如下：
（1）
米
＝
％
我
％
o
w
h
我
l
e
％
o
>
0
，
在%
我 在定义的模块(模块间)中可能连接的百分比和%
o 是模块外部(模块内)可能链接的百分比。如果模块之外没有连接，也就是说
%啊 = 0，则认为网络是无限模块化的，因为模块是完全孤立的。数字
3(一个) 给出了一个如何计算模块化的例子。Antimodularity
米
-
由以下等式定义：
(2）
米
-
＝
1
米
．
要检查我们定义的模块的现实和模块化测量，我们将我们的模块化/反逻辑RBN与生物布尔网络进行比较。在生物网络的情况下，我们使用Fortunato的社区检测算法找到了模块[
16 ]，其允许均匀的和非均匀的模块的检测。数字
3 (b) 是一个示例，展示了如何计算非齐次模块中的模块化。
图3.
演示如何计算模块化的示例
米
．黄色框表示模块。（a）具有均匀模块的模块性。（b）与非均匀模块的模块化。
(一)
![]()
(b)
![]()
2.3。多层RBNS
为了研究上层和下层之间的因果关系，我们开发了多层RBN模型，其中在更高级RBN的节点中存在不同的RBN。我们称之为元rbn
macronetwork 以及宏网络节点中的rbn
micronetwork ．Micronetwork包括断开连接的RBN，尽管它们可能通过MacronetWork互动（
米
微型网络的数量将是无限的)。在我们的模型中，宏网络和微网络的节点状态通过它们之间的交互来更新。具体来说，重复以下过程:
（1）
随机初始状态被分配给MicronetWorks（图
4(一) ）.
(2）
该micronetworks的节点状态在微观期间被更新
t
时间步骤（图
4 (b) ）.
(3）
Macronetwork的节点状态基于时刻的微孔作业的节点状态确定
t
．如果宏网络节点中微网节点状态的1(0)数较大，则宏网络节点状态为1(0)。换句话说，宏网络节点的状态是由每个较低规模RBN的大多数节点决定的。(图
4 (c) ）.
（4）
宏网络的节点状态在此期间被更新
T
时间步骤。时代的Macronetwork的节点状态
T
确定每个RBN在较低尺度上的节点状态。如果宏网络的节点状态为1(0)，它的所有低规模节点的状态为1(0)(图
4 (d) ）.
图4.
示意图，示出了多层RBN模型中的节点状态的更新。
(一)
![]()
(b)
![]()
（C）
![]()
（d）
![]()
２.４.实验
为了研究模块化/反模块化的效果，我们对每个参数组合进行了100次独立的仿真运行。对于每个仿真，我们生成了由240个节点组成的模块化、反模块化和标准rbn。因为节点的数量是240，网络中所有可能定义的模块的数量是2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120和240。不同
K
从1到7，我们测量模块化，吸引子的数量，吸引子的平均长度，以及所有模块的所有情况的复杂性。
这里的复杂度是基于我们之前的方法计算的[
17 ，
18 ]．复杂性
C
（
0
≤.
C
≤.
1
）
定义如下:
(3）
E
我
＝
-
p
0
日志
2
p
0
+
p
1
日志
2
p
1
C
＝
4
×
E
-
×
1
-
E
-
在哪里
E
我
是不是出现了节点
我
和
p
0
（
1
）
为节点状态为0(1)的概率。
C
就是网络的复杂性。它是根据平均值计算的
（
0
≤.
E
-
≤.
1
）
所有节点的出现值。加4使值归一化
C
在0到1之间。
数字
5 显示复杂程度受网络节点数量的影响。虽然节点数量增加，但网络具有类似的趋势：复杂性增加，直到达到最大值
K = 2.3，达到峰值后，单调减小，并逐渐增大
K
．然而，精确的复杂度值做随着网络规模的变化，可能是由于有限的尺寸效应，这显然是看到周围
K = 2.3。
图5.
不同节点数量的复杂性，不同的平均连通性
K ．
![]()
为了检验微观网络和宏观网络之间的因果关系，我们进行了55次独立的模拟运行。对于每个模拟，我们生成了一个多层RBN模型，其中每个微网络有125个节点，而宏观网络有55个节点。在模拟中,
T 所述宏网络的被设定为3。
T 的微网被设置为1,2,3,5，和10。改变
K
从1到7，我们测量了微型和宏观RBN的复杂性。
3.结果与讨论
数字
6 显示模块化RBN的吸引子，复杂性和长度的模块化，射频和长度。在第一组实验中，如
K
增加时，模块性降低。在模块性的三个图中，当模块数更多时(即。
， 模块的大小较小），模块化压倒性地作为连接（
K ） 增加。这是因为更多的链接最终被放置在模块之外。
图6.
模块化，吸引子数量，吸引子的平均长度，以及模块化RBN的复杂性。
![]()
为了说明链接是如何在模块化网络中分布的，我们在图中给出了几个简单的例子
7 ．图中显示了模块中链接的分布
K
和模块的大小。正如引言中提到的，
K 是每个节点的连接数。因此，在示例中，我们假设
K
连接分布在模块中的每一行中。如果
K
大于模块尺寸，其余的连接放置在模块外部，这导致模块化的降低。如图所示，随着模块尺寸从4到1变小（即，模块的数量增加），可以识别趋势。
图7.
连接分布取决于
K
和模块的大小。
![]()
在第二组实验中，吸引子的数量限制为1000最大数量。换句话说，如果1000个吸引被发现，为吸引搜索停止。如图中所示，吸引的发现病例数为零
K > 3，由RBN的混沌动态引起的很长的瞬态和吸引子产生。同时，随着模块的数量增长，吸引物增加了
K = 2。在80和120个模组中，发现最大吸引子数为1000个。然而，当模块数为240时，吸引子的数量急剧减少。
在第三组实验中，复杂性逐渐增加，直到达到在其峰值
K = 2.5，预期复杂性最大化在标准RBN中的阶段转换中;即，它反映了关键性。从那时起，由于大多数情况下，值如何减少。但是，复杂性受到少数情况下的模块数量的影响。当模块的数量为40,48和60时，复杂性值是最大的，特别是在预期混乱动态的区域中。当数字为120和240时，值减少。这确认了我们以前的结果[
4 ，在那里我们看到模块化将临界机制(具有高度复杂性)扩展到混沌区域。
在另一组实验中，吸引子的长度在
K = 2但融合到零时
K
大于3。除了120和240个模块外，一个网络的模块越多，吸引子的长度越长。当模块数为120和240时，数值减小。
数字
8 示出了根据模块的数量的状态转换的特征示例。如图所示，网络的状态具有240个模块的速度比具有两个模块的网络状态更快地融合到吸引子。
图8.
网络的状态转变与
N = 240,
K = 2取决于模块的数量。在100个时间步中计算状态。时间向下移动，列表示节点，颜色表示状态(白色表示0，黑色表示1)。(a) 2模块网络。(b)有240个模块的网络。
(一)
![]()
(b)
![]()
数字
9 表示反模rbn的吸引子数目、复杂性和吸引子长度。吸引子的数量逐渐增加，并在
K = 2随着模块的数量而增加（图
9（a） ）.从那时起，数值逐渐减小，开始收敛到1
K = 3。
图9.
反模rbn的吸引子数目、复杂性和吸引子长度。
(一)
![]()
(b)
![]()
（C）
![]()
对于复杂性，这些值与模块的数量变化不大(图
9（b） ）.也就是说，在反模块化网络中，模块化并不影响复杂度。复杂性不断增加，直到达到最大值
K = 2.3。之后，它将其单调减少为
K
做了。吸引子的长度不受模块数量的影响(图)
9（c） ）.这些值不断增加，直到达到峰值
K = 2。在那之后，它开始减少，为零
K
大于3.数字
10 显示标准和反逻辑RBN的复杂性。反核性RBN的复杂性与标准网络的复杂性非常相似。
图10
标准和反模rbn的复杂性。(一)标准网络。(b)模块化的网络。(c)重叠的情节。
(一)
![]()
(b)
![]()
（C）
![]()
要比较从模块化/反逻辑RBN获得的结果以及生物网络的属性，我们从CellCollective.org收集了七个生物网络[
19 - - - - - -
25. ]．数字
11 显示了与感染治疗相关的一个生物网络的邻接矩阵和模块性。在邻接矩阵中，蓝色和红色的方框表示Fortunato算法检测到的非齐次模块。
图11
与感染治疗相关的生物网络的邻接矩阵和模块性。
(一)
![]()
(b)
![]()
数字
12 揭示了七种生物网络的复杂性和模块化。为了研究复杂度和模块化之间的相关性，我们计算Pearson相关系数(
r = 0.4764)。数字
13 以图形方式示出了相关性。我们发现复杂性和模块化具有中等的正相关性。此结果支持我们发现模块的数量对模块化RBN中的复杂性产生影响。
图12
七种生物网络的模块化和复杂性。
(一)
![]()
(b)
![]()
图13
复杂性与模块化七个生物网络。
![]()
数字
14 显示了微观和宏观rbn复杂性的热图。当
K
所述宏网络（的宏观
K )大于4，其复杂性被改变
K
微型网络(micro-
K ）.微-
K 当复杂度小于2时，复杂度接近于零。然而，作为价值
K
随着时间的增加，复杂性也越来越高。尽管这种趋势保持不变
t （即，MicronetWorks的节点状态更新的时期）是不同的。换句话说，较低规模的动态仅在较低规模存在有序动态时影响更高的尺度：它们抑制了更高规模的预期混沌动态。
图14
微观和宏观rbn复杂性的热图。
![]()
相反，微网络的复杂性不受宏网络的影响
K 但大多数依赖于微米 -
K ．微网络的复杂性不断增加，直到微
K 从那时起，从那时起，作为微量的价值减少了
K 变大。这一趋势在更大范围内得到了体现
t
．因此，这项研究没有检测到复杂性的向下因果关系，或者至少没有检测到宏观网络对微观网络的影响。
作为多尺度影响的另一个实验，进行了对吸引子的分析。可以在图中看到的
15 微观网络和宏观网络的吸引子相似，但微观网络的吸引子较短。这一结果表明宏观网络的吸引子支配着微观网络的动力学。
图15
热图显示吸引子的数量，具体取决于微观和宏观 -
K ．（a）macronetwork。（b）微米术。
(一)
![]()
(b)
![]()
让我们回想一下，吸引子是一组重复的状态。如果宏网络的时间步长没有在特定的节点上产生变化，这将迫使它的微网络回到只有1或0的状态。因此，即使微网是混沌的，也能观察到规则的图案。换句话说，如果没有宏观影响，它实际上将是短暂的。
即使宏网络的节点发生了变化，也会将其微网络推回到两种可能的状态之一。因此，微观网络的吸引子平均较短，因为宏节点不会改变微米网络上相同初始状态的力，而宏观网络可以有由微吸引子组合而成的较长的吸引子，如图所示
16 ．
图16
时间动力学(时间向下移动，列表示节点，颜色表示状态)显示了宏网络的吸引子如何在混沌微网络中产生吸引子。
![]()
4.结论
我们的计算实验表明，模块化增加了网络动态的“多样性”。也就是说，随着模块数量的增加，吸引子也会越来越长。对于反模性，模的增加不影响吸引子的长度和数量。
具有中位数模块的网络扩展了rbn的复杂性。所有的网络都有一个“关键”区域，其复杂性很高(由于有限的规模效应，标准网络的复杂性约为2.3，因为理论相变发生在
K = 2在热力学极限，即用于无限网络）。除了极少数或者很多模块的网络具有拓扑这是更类似于标准的拓扑结构，而模块的位数意味着结构，允许鲁棒性和适应性，更好的平衡，这正是标准RBNS的特性具有高复杂。我们可以得出结论，模块化“扩展”在RBNS临界，因为我们的复杂性的措施是在最大的参数临界区（不仅在RBNS）。
反模rbn表现出与标准rbn相似的动力学特性。我们可以从图中推断出原因
17 ．在该图中，标准的，模块化的，并且antimodular RBNS的邻接矩阵呈现。在标准的网络和一个antimodular的邻接矩阵，链接更大数量分布对角线模块外部。因为antimodular网络具有用于在邻接矩阵链路的分布相对较大的空间，特别是随着网络规模的增加，它更类似于其中链接相比，模块化网络随机排列标准的网络。
图17
与标准的，模块化的，antimodular RBN的邻接矩阵
N = 16，
K = 2。
(一)
![]()
(b)
![]()
（C）
![]()
为微观和宏观RBNS之间的因果关系，在宏网络中的复杂性，通过改变
K
当
K
Macronetwork大于4。无论微术机组中的节点状态更新的时期，无论该期限如何，都保持了这种趋势。同时，微型工厂的复杂性仅由自己的结构决定。这表明在复杂性分析中两种尺度之间没有向下效果。
然而，对多尺度网络的吸引子的研究表明，MacronetWork中的吸引子会影响微型机构的行为方式。我们的复杂性度量是基于香农的信息，因此它是网络动态的统计近似。换句话说，它不区分比特的精确排列，并且仅侧重于它们的概率分布。例如，随机比特序列具有比有序的字符串相同的信息（最大）和复杂性（最小），这些字符串恰好是所有零的一半和所有零的另一半。在我们的实验中，网络动力学（即复杂性）的统计特性主要由较低的规模确定。然而，动态（即，吸引子）的精确顺序主要由更高的规模确定。
我们的结果表明，只有在我们对某些统计属性感兴趣的情况下，只有较低的系统等级就会有意义。尽管如此，如果我们想了解并尝试预测精确的动态，我们需要研究两种尺度以及它们是如何互动的。这可以用碳原子的不同布置的经典例子说明，该碳原子的较低规模相同，但根据其结构在较高尺度（木炭，金刚石，石墨烯等）上它们可以具有非常不同的性质两个尺度。尽管如此，研究是否可以向所有现象推广我们的RBN的结果是一种超越本文范围的雄心勃勃的任务。
为了进一步研究，我们计划研究模块化/反模块化与不同拓扑结构(如循环或星形)以及不同结构的微观和宏观网络的多尺度效应之间的关系。此外，我们还将研究如何控制模块化、反模块化和多层网络的状态，使我们的研究可以应用到更多的领域。具体来说，使用数学方法，如半张量积技术(STP) [
26. - - - - - -
28. ，我们将研究网络的动力学，并为它们设计控制器。