这是无可争议的,数学建模的现象是应用数学的主要任务之一。然而,一旦模型适合一个现象,有必要从理论上分析这样一个模型,以结果发现适用于任何特定的情况下学习。

在过去的二十年里, 图动力系统(GDS)被显示为计算机过程的数学建模的一个重要工具。等制定模型,这些系统分解为较低的单位聚合 实体,每个实体 我 (数值)值吗 x 我 代表它的状态。当每个实体的可能状态是激活或不激活,一个实体的状态值 我 是正式通过考虑 x 我 ∈ { 0 1 } 。事实上,状态值可以属于一个更一般的布尔代数( 1]。实体之间的关系由一个图形称为表示 依赖关系图系统的,而进化或更新的系统实现 本地(布尔)功能共同构成一个全球(进化)算子。即为动态演化的任何实体,对应的本地函数作用于这样的国家和那些对应于相关的实体。

当美国的实体以同步的方式更新,系统被称为 平行动力系统(PDS) [ 2, 3),而如果他们以异步方式更新,系统命名 连续动力系统(SDS) [ 4]。

其他工具为数学建模细胞自动机(CA) ( 5- - - - - - 11(BN)[]或布尔网络 12- - - - - - 14)是特定情况下的PDS ( 15]。它显示了巨大的多功能性的新范式,应用不同的分支的科学是生物学( 12, 16, 17,生态 18- - - - - - 20.)、数学( 21, 22),密码( 23, 24)、物理( 25)和化学( 26]。(缩写GDS、PDS、SDS、钙、和BN为单数和复数形式编写的相应的条款,因为它看起来更好的从美学的观点。)

关于动力系统的研究的主要目的是给一个完整的描述的轨道结构( 27]。也就是说,获得尽可能多的信息的相图,基于初始状态和系统的进化算子。具体来说,在[指出 28),这意味着确定长度和数量的共存极限环和不同初始状态到达相同的极限环。

关于这些问题,在 3PDS和SDS进行了研究,考虑最简单的布尔函数或(分别地。),也没有(分别地。,N一个ND) as global evolution operators. These results are extended in [ 2]PDS与任何通用逻辑最大项(分别地。小项)作为全局函数;特别是,它证明了PDS独特周期性或最终周期轨道低于或等于2是可能的。

结果在 2]开其中一些问题设置了德里达和Pomeau [ 28关于这类系统的相图。其中之一在于研究周期轨道的不同时期的共存PDS与通用最大项(分别地。小项)相同的函数作为进化运营商Sharkovsky定理( 29日, 30.]。换句话说,它包含在猜测是否存在某些时期意味着其他的类似的方式的出现Sharkovsky的命令。

关于这个问题,在这个工作中,我们表明,Sharkovsky定理和秩序建立在PDS的背景下不适用。相反,我们表明,周期轨道的共存与不同时期是不可能的。

本文的主要目的是建立结果PDS与通用最大项(分别地。,米在ter米)funct我ons as evolution operators in the sense of the fixed point theorem by Banach. In fact, as we show in Example 8,存在PDS和几个固定的点,因此它自然出现的问题确定条件保证定点的独特性。

最初的结果,给出了基本的布尔代数中的实体的状态值 { 0 1 } ,后来都属于任何一般的广义状态值的布尔代数 2 p 元素, p ∈ N , p ≥ 1 。

具体系统对待这项工作出现真实的物理现象的动力学建模时的基因。特别是,当研究基因调控网络,它是观察到的结合位点基因受多个基因表现出协同效应。这可以通过连接布尔网络建模,但是他们不允许建模抑制性调节,需要从小项进化运营商形式化和分析相应的动力学(见[ 31日])。

本文组织如下。部分 2给了一些关于PDS预赛最大项和小项布尔函数。节 3,我们表明,周期轨道的共存与不同时期是不可能的,所以显示Sharkovsky定理不适用在这个上下文。节 4,我们建立一个PDS的不动点定理。节 5我们扩展我们的结果PDS与国家价值观属于任何一般的布尔代数 2 p 元素。最后,部分 6提供了一些结论和未来的研究方向。

在本节中,我们修改一些基本的观念有关 平行动力系统(PDS)(见[ 15),其中引用的详细信息)。

众所周知,PDS完全是由自己决定的 依赖关系图和它的 进化或 更新功能下面我们简要描述。

依赖图是由一个无向图 G = ( V , E ) ,在那里 V = { 1、2 , … , n } 顶点集和吗 E 边集。我们将代表吗 x 我 ∈ { 0 1 } 的 状态的顶点 我 ∈ V ,这意味着顶点 我 是 激活( x 我 = 1 )或 停用( x 我 = 0 )。

我们将假设 G 连接;否则,推理和结果我们将提供可以很容易地适应通过连接组件。

对于每一个顶点 我 ∈ V ,我们将考虑一组 一个 G ( 我 ) ⊆ V 相邻的顶点 我 ;也就是说, (1) 一个 G 我 = j ∈ V ∣ 我 , j ∈ E 。 然后,考虑到 W ⊆ V ,我们定义 (2) 一个 G W = ⋃ 我 ∈ W 一个 G 我 。

系统的进化或更新由当地实现功能 { f 我 } 我 ∈ V ,每 我 ∈ V ,只有在 { 我 } ∪ 一个 G ( 我 ) 。

每一个 f 我 通常是全局函数的限制 F 只有在实体的状态 { 我 } ∪ 一个 G ( 我 ) ,我们要想在这个文档。然而,每个 f 我 可被视为另一个函数 F 我 : (4) F 我 = 0 1 n ⟶ 0 1 , F 我 x 1 , x 2 , … , x 我 , … , x n = y 我 , 这样 F = ( F 1 , F 2 , … , F n ) 。

特别是,PDS的(全球)进化算子可以得到通过 布尔函数的 n 变量: (5) F : 0 1 n ⟶ 0 1 , 在哪里 F ( x 1 , x 2 , … , x n ) 是获得 x 1 , x 2 , … , x n ∈ { 0 1 } 使用逻辑“与”( ∧ )、逻辑或( ∨ ),逻辑不( ′ )和元素 0 1 。特殊情况下的布尔函数 最大项和 小项。回想一下,一个最大项(分别地。小项) n 变量 x 1 , x 2 , … , x n 是一个布尔函数 F 如 (6) F x 1 , x 2 , … , x n = z 1 ∨ z 2 ∨ ⋯ ∨ z n r e 年代 p 。 F x 1 , x 2 , … , x n = z 1 ∧ z 2 ∧ ⋯ ∧ z n , 在哪里 z 我 = x 我 或 z 我 = x 我 ′ 。

在这项工作中,我们处理这个特殊的PDS。

特别是,我们将代表MAX-PDS(分别地。,米我N-PDS) a PDS whose evolution operator is the maxterm MAX (resp., the minterm MIN).

在[ 2)结果表明,MAX-PDS(职责的周期轨道。MIN-PDS)是固定的点或2-periodic轨道。此外,当最大项MAX(分别地。,米在ter米米我N)has all the variables in its direct form, then only (eventually) fixed points can appear, while if it has all the variables in its complemented form, then only (eventually) 2-periodic orbits are possible.

然而,一些重要的问题仍然开放。其中之一在于研究周期轨道的共存与不同时期同样的Sharkovsky定理( 29日, 30.)与通用最大项(resp PDS。,米在ter米)funct我ons as evolution operators. In other words, it consists in guessing whether the existence of certain periods implies the appearance of other ones in a similar way to Sharkovsky’s order. Concerning this question, in this section, we prove that Sharkovsky’s Theorem and the order established with it do not apply in the context of PDS. In fact, we demonstrate that periodic orbits with different periods cannot coexist.

为了做到这一点,接下来,我们描述结构一个PDS必须以承认(最终)固定的点。我们将概述MAX-PDS的情况下的推理,虽然他们可以双重MIN-PDS重写。

会,我们有以下。

类似地,双重的结果可以得到以下结果。为了简明起见,我们不会状态。

因为所有系统的周期轨道是固定的点或2-periodic轨道(见[ 2]),由于定理 3我们有以下。

作为定理的直接后果 3和 5这一部分,我们得到的主要结果。

评论的介绍,我们的主要目标是获得一个PDS的公共不动点定理。观察到,尽管不动点和2-periodic轨道不能共存,PDS的状态空间包含多个定点,如以下示例所示。

因此,它将需要找到条件以确保系统有一个独特的定点。为了做到这一点,假设MAX-PDS至少有一个固定的点;也就是说,每一个顶点 我 ∈ W ′ 它是 W ∩ 一个 G ( 我 ) ≠ ∅ (见定理 3)。

让 G 1 , G 2 , … , G p 是造成的连接组件 G 当我们删除所有的顶点 W ′ 和边缘相邻的顶点。我们会说一个顶点 我 在 W ′ 和一个连接组件 G j 是相邻的 我 相邻的顶点吗 G j 。让我们考虑的子集 W 1 ′ 和 W 2 ′ 的 W ′ 给出的 (9) W 1 ′ = 我 ∈ W ′ : t h e r e e x 我 年代 t 年代 一个 u n 我 问 u e j , 1 ≤ j ≤ p , 年代 u c h t h 一个 t 我 我 年代 一个 d j 一个 c e n t t o G j W 2 ′ = W ′ ∖ W 1 ′ 。

让 x ^ = ( x ^ 1 , x ^ 2 , … , x ^ n ) 是一个系统的定点。正如我们所显示的定理的证明 3,尽管 我 ∈ W ′ ,它是 x ^ 我 = 1 。

此外,如果 j , 1 ≤ j ≤ p 是这样的, 一个 G ( G j ) ∩ W 1 ′ ≠ ∅ ,然后对所有 我 ∈ G j 它是 x ^ 我 = 1 。以看到,注意,在不动点 x ^ 所有的顶点 G j 必须激活或停用。让我们以 k ∈ 一个 G ( G j ) ∩ W 1 ′ 。然后,如果它是 x ^ 我 = 0 对所有 我 ∈ G j ,因为它是 x ^ 我 = 1 对所有 我 ∈ 一个 G ( k ) ∩ W ′ ,然后的状态 k 下一次迭代后将改变为0,这是一个矛盾。

因此,如果对每一个 j , 1 ≤ j ≤ p ,它是 一个 G ( G j ) ∩ W 1 ′ ≠ ∅ ,那么系统有一个独特的定点:激活的所有变量。

另一方面,如果一个 j , 1 ≤ j ≤ p ,它是 一个 G ( G j ) ∩ W 1 ′ = ∅ ,然后在一个固定的点可能有两种情况:要么所有的顶点 G j 被激活或全部停用。关于这个最后的评价,我们必须指出 我 ∈ W 2 ′ ,如果 G 我 1 , G 我 2 , … , G 我 l ( 我 ) , 2 ≤ l ( 我 ) ≤ p 连接组件相邻吗 我 ,并不是所有这些组件可以得到释放,同时在不动点;其他的价值 x 我 将改变从1到0以下迭代。

鉴于上面的解释中,我们证明了下面的结果。

在最近的工作( 1),概括介绍了PDS /图表,考虑到美国实体可以值的任意布尔代数 ( B , ⋎ , ⋏ , ′ , O , 我 ) 与 2 p 元素, p ∈ N , p ≥ 1 。我们代表等PDS ( B , G , 米 一个 X ] (职责。 ( B , G , 米 我 N ] )来表示依赖关系图 G 和最大项MAX(分别地。,米在ter米米我N)t一个ken as evolution operator. Note that the previous study corresponds to the particular case where B = { 0 1 } ;也就是说, p = 1 。

在这样一个工作,这是证明这些更一般的PDS的周期轨道也不动点或2-periodic轨道。证明这个结果的关键理念在于使用布尔代数的石头表示定理一个合适的方法 分解这个一般动力系统 p PDS实体采取价值的地方 { 0 1 } (见[ 1,部分 3 )的详细信息)。

然后,从我们的研究上面,一个简单的推理允许检查所有的结果部分 3和 4也对PDS的实体的状态值在任意布尔代数。(最终)固定分,(最终)2-periodic轨道不能共存。

特别是,我们有一个不动点定理在这更一般的上下文如下所述

本文提供了一个重要的进步PDS的相图的描述(全球)布尔操作符图,通过分析两个经典定理的真实性在动力系统理论框架。

特别是,我们表明,周期轨道的共存与不同时期是不可能在这样的系统。这意味着Sharkovsky离散动力系统与连续函数的定理并不是真正的PDS的上下文中。我们还获得一个不动点定理对这种动力系统,提供条件保证PDS的不动点的唯一性。换句话说,我们描述的PDS任何初始状态演化的平衡,对于真正的模型,是一个有意义的信息。

最后,通过这项工作中提供的技术,结果获得邀请研究相同的问题在其他类型的GDS,这些指示图( 32)和/或那些当地独立的进化算子给出通过布尔函数( 33]。

其他工具为数学建模细胞自动机(CA)或布尔网络(BN)是特定情况下的PDS在考虑相同的进化算子。最大项,CA和BN(分别地。,米在ter米)布尔函数年代over undirected graphs are particular cases of PDS with maxterm (resp., minterm) that we treat in this work. It shows the applicability to different branches of sciences and engineering that this new paradigm of PDS can have.