许多应用程序和现象在物理学、生物学、医学领域,其他领域可以被描述为一个数学模型来理解或预测这些现象的动态或应用程序( 1- - - - - - 3]。捕食者-食饵模型是一个著名的biomathematical模型已广泛调查研究生态系统的动态和掠食者和猎物之间的一个十字路口 4]。生态模型被称为捕食模型研究人口过程( 5- - - - - - 7]。研究了模型在考虑疾病的影响( 8],猎物保护区[ 9食物链],[ 10),或竞争种群( 11]。模型还被开发研究两个不同种群的捕食者和猎物之间的交集( 12, 13]。最近,模型修改为两个相同的物种的捕食者之间的交叉研究(男性和女性)和一个猎物。在一些物种中,雄性和雌性,和他们一起喂交配的时期。该模型给出了如下( 14]: (1) u t = 一个 1 u − 一个 2 u 2 − 一个 3 u v − 一个 4 u v 2 , v t = D 2 Δ v + 一个 3 u v − 一个 5 v − 一个 6 v 2 + 一个 4 u v 2 , 在哪里 u 和 v 分别是猎物和捕食者的总数。 一个 1 是猎物的增长率。 一个 2 , 一个 3 , 一个 4 猎物的衰变率是由于男性和女性之间的竞争在食品供应,捕食者和猎物之间,分别和两个捕食者和猎物之间。 一个 5 捕食者的死亡率。 一个 6 捕食者的衰变率是由于竞争食物供应之间的男性和女性。 D 2 是食肉动物的扩散项。在文献[ 14),系统( 1)是新,成为一个无量纲非线性系统如下: (2) U t = U − U 2 − U V − U V 2 , V t = V X X − k 2 k 1 V − k 1 V 2 + k 1 V U + k 1 U V 2 , 在哪里 k 1 = 一个 4 一个 1 / 一个 2 = 一个 3 / 一个 2 和 k 2 = 一个 5 / 一个 1 k 1 。

计算领域的数学家提出更多的努力来提高不同的技术能够找到一致的解决方案对于实际的应用程序,例如,geometric-qualitative方法,semiapproximate方法,定性方法、数值方法和分析方法。不同分析方法生成解决方案基于许多因素如拟设使用。有许多方法来获得解析解等 G ′ / G 2 扩张的方法( 15)和直接代数法( 16- - - - - - 19]。他们能够获得解决方案没有一个初始条件。每个方法都可以引入新的系统解决方案。系统的解决方案( 2)是由两种分析方法,发现 G ′ / G 2 扩展方法和直接代数法( 15]。因为分析方法给出不同的解决方案,很难确定哪些解决方案预测的应用程序。另一方面,初值问题的数值方法是找到近似解的方法和收敛于只有一个解决方案的基础上,从应用程序获得的初始条件,例如,有限差分法( 20.- - - - - - 22),Adomian分解方法(ADM) ( 23(LADM)],拉普拉斯算子Adomian分解方法,多级微分变换法( 24, 25),和指数时间差分方法( 26]。系统的数值解( 2)将通过指数时间差分方法介绍了自方法是四阶准确而不是局部收敛比较ADM或LADM。结果确定哪些预测问题的解析解或找到一个新的解决方案。

本文的组织结构如下:第二部分介绍了数值结果和方案的使用方法,第三部分论述了数值解从生物学的角度来看,第四部分是上述的比较与先前的研究模型,最后部分是我们的分析和结果的总结。

在本节中,我们给出的近似数值解系统( 2)。首先,系统在空间利用离散傅里叶谱方法。因此,我们获得以下常微分方程组(常微分方程),只取决于时间: (3) d u ^ k t d t = u ^ k t + F ^ k u ^ k t , v ^ k t , t , (3 b) d v ^ k t d t = c v ^ k t + G ^ k u ^ k t , v ^ k t , t , 的参数 c = k 2 − k 2 k 1 线性部分相关联, k 代表了波数,这两个术语 (4) F ^ k u ^ k t , v ^ k t , t = f f t − U 2 t − U t V t − U t V 2 t , G ^ k u ^ k t , v ^ k t , t = k 1 f f t − V 2 t + U t V t + U t V 2 t , 代表非线性强迫项,fft的MATLAB命令代表了快速傅里叶变换(fft)。

第二,我们将获得非耦合系统的常微分方程(3)在时间的帮助下四阶指数时间差分方法ETD4RK [ 27- - - - - - 29日]。应用ETD4RK方法( 3 b)的公式 (5) 一个 k , n = v ^ k , n e c Δ t / 2 + e c Δ t / 2 − 1 G ^ k , n c , b k , n = v ^ k , n e c Δ t / 2 + e c Δ t / 2 − 1 G ^ 一个 k , n , t n + Δ t / 2 c , C k , n = 一个 k , n e c Δ t / 2 + e c Δ t / 2 − 1 2 G ^ b k , n , t n + Δ t / 2 − G ^ k , n c , (6) v ^ k , n + 1 = v ^ k , n e c Δ t + c 2 Δ t 2 − 3 c Δ t + 4 e c Δ t − c Δ t − 4 G ^ k , n + 2 c Δ t − 2 e c Δ t + c Δ t + 2 G ^ 一个 k , n , t n + Δ t 2 + G ^ b k , n , t n + Δ t 2 + − c Δ t + 4 e c Δ t − c 2 Δ t 2 − 3 c Δ t − 4 G ^ C k , n , t n + Δ t c 3 Δ t 2 , 在哪里 Δ t 代表了时间步(类似的公式得到应用ETD4RK方法时( 3), c = 1 )。

时间集成始于初始条件(取自[ 30.)由 (7) u ^ 0 = 6 35 − 2 × 1 0 − 7 x − 225年 x − 675年 , v ^ 0 = 116年 245年 − 3 × 1 0 − 5 x − 450年 + 180年 × 1 0 − 4 。

我们的实验数据所示的结果。

解决方案是稳定的 0 ≤ k 2 ≤ 1 + 5 / 2 基于稳定性分析的文献[ 14]。产生一个数值解图 1对不同的价值 k 2 。我们意识到解决方案改变了 k 2 。当 k 2 = 1.5 , U 增加而 V 减少,直到他们达到稳定状态。为 k 2 = 0.1 ,解决方案是周期性的。的参数 k 2 = 一个 2 一个 5 / 一个 1 一个 4 一个 1 = 一个 5 一个 2 / 一个 1 一个 3 有直接关系 一个 5 和 一个 2 和消极的关系 一个 1 , 一个 3 , 一个 4 。

新学期的学习模型 一个 4 v 2 u 。因此,使用数值解研究这一项的影响在传统的捕食者-食饵模型。传统模式的解决方案是一个无阻尼振荡,和洛特卡解释这种行为,因为质量作用定律( 5),提出了模型( 2)与小一个振荡的解决方案 k 2 在一个有界解收敛于稳态和空间的空间,因为 一个 4 v 2 u 与猎物之间的交互和两个食肉动物在交配期间消失后,这一时期也发生在一个特定位置的捕食者生。

大的 一个 4 表明食肉动物饲料在这一时期大量的猎物,这导致大型捕食者人口比猎物的人口。这不是一个最优动态人口正常生活(见图 2当 一个 4 = 10 )。因此,捕食者人口将减少由于缺乏食物来源,而猎物人口将恢复增长。新学期 一个 4 v 2 u 有更多的影响比 一个 3 u v 腐烂猎物种群的我们看到通过比较数据 3和 2。

方程的解析解( 2)被发现Aljahdaly和Alqudah 31日)使用 G ′ / G 和广义辅助方程( 15]。解决方案是 U x , t 和 V x , t 表示猎物和捕食者的数量,分别在一个补丁。解决方案预测后的两个行为

捕食者-食饵系统的额外的术语 一个 4 v 2 u ( 1)是一种新的非线性动力学方程组的文学。它解决了分析了两种不同的方法给出了两种不同的解决方案。本文的数值解的重要性使之间的联系从生物角度获得解析解。研究了模型的数值解预测动态以及证明新的额外的影响模型。