2.2。从沃尔泰拉内核二进制内核
输出<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
n米米l:mi>
]米米l:mo>
一般的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
问米米l:mi>
阶非线性动态系统的输入<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
n米米l:mi>
]米米l:mo>
可以通过沃尔泰拉级数展开[建模
5,
21),
(5)米米l:mtext>
y米米l:mi>
n米米l:mi>
=米米l:mo>
∑米米l:mo>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
问米米l:mi>
H米米l:mi>
p米米l:mi>
b米米l:mi>
n米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
H米米l:mi>
p米米l:mi>
被称为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
p米米l:mi>
阶沃尔泰拉操作符定义为
(6)米米l:mtext>
H米米l:mi>
p米米l:mi>
b米米l:mi>
n米米l:mi>
=米米l:mo>
∑米米l:mo>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
⋯米米l:mo>
∑米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
h米米l:mi>
p米米l:mi>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
b米米l:mi>
n米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
⋯米米l:mo>
b米米l:mi>
n米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
米米米l:mi>
代表了<我talic>
记忆长度我talic>的动态系统,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
h米米l:mi>
p米米l:mi>
代表了<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
p米米l:mi>
阶<我talic>
沃尔泰拉的内核我talic>。
为高斯白噪声估计沃尔泰拉内核,输入不是理论上可行的非正交性的困难。相反,它是首选的估计<我talic>
维纳内核我talic>在沃尔泰拉级数展开后gram - schmidt正交过程(
21]。这种方法可以扩展到处理输入产生所谓的m序列<我talic>
二进制内核我talic>估计(
13,
16]。一个<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
p米米l:mi>
阶二进制内核是由
(7)米米l:mtext>
w米米l:mi>
p米米l:mi>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
p米米l:mi>
!米米l:mo>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
p米米l:mi>
y米米l:mi>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
2米米l:mn>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
p米米l:mi>
阶互相关的输入<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
n米米l:mi>
]米米l:mo>
和输出<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
n米米l:mi>
]米米l:mo>
是
(8)米米l:mtext>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
p米米l:mi>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
2米米l:mn>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
]米米l:mo>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
l米米l:mi>
∑米米l:mo>
我米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
l米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
]米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
2米米l:mn>
]米米l:mo>
⋯米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
p米米l:mi>
]米米l:mo>
。米米l:mo>
让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
k米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
1米米l:mn>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
l米米l:mi>
我米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
我米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
我米米l:mi>
,然后(
7)和(
8)成为
(9)米米l:mtext>
w米米l:mi>
p米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
p米米l:mi>
!米米l:mo>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
p米米l:mi>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
,米米l:mo>
(10)米米l:mtext>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
p米米l:mi>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
l米米l:mi>
∑米米l:mo>
我米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
l米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
]米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
]米米l:mo>
×米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
⋯米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
- - - - - -米米l:mo>
⋯米米l:mo>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
。米米l:mo>
根据shift-and-product属性,(
10)成为
(11)米米l:mtext>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
p米米l:mi>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
l米米l:mi>
∑米米l:mo>
我米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
l米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
]米米l:mo>
b米米l:mi>
(米米l:mo>
我米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
k米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
f米米l:mi>
(米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
)米米l:mo>
]米米l:mo>
=米米l:mo>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
y米米l:mi>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
,米米l:mo>
转让多变量相关函数<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
p米米l:mi>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
]米米l:mo>
成一个单一的变量互相关函数<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
y米米l:mi>
(米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
]米米l:mo>
。用(
11)(
9)的收益率
(12)米米l:mtext>
w米米l:mi>
p米米l:mi>
k米米l:mi>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
p米米l:mi>
!米米l:mo>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
y米米l:mi>
k米米l:mi>
+米米l:mo>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
。米米l:mo>
鉴于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
,(
12)提出了一种部分的核函数值沿对角线和副斜杆尺寸和被称为二进制<我talic>
内核部分我talic>。考虑到限制的独立变量<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
w米米l:mi>
p米米l:mi>
片的内核可能是无法完全覆盖这个维度上真正的二进制内核。考虑到内存长度相似(
6),所有的变量<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
p米米l:mi>
阶内核片必须在内存长度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
米米米l:mi>
;因此,
(13)米米l:mtext>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
∈米米l:mo>
(米米l:mo>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
米米米l:mi>
)米米l:mo>
;米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
2米米l:mn>
∈米米l:mo>
(米米l:mo>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
)米米l:mo>
;米米l:mo>
…米米l:mo>
;米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
∈米米l:mo>
(米米l:mo>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
2米米l:mn>
- - - - - -米米l:mo>
⋯米米l:mo>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
)米米l:mo>
;米米l:mo>
k米米l:mi>
∈米米l:mo>
(米米l:mo>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
- - - - - -米米l:mo>
⋯米米l:mo>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
)米米l:mo>
,米米l:mo>
这表明<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
w米米l:mi>
p米米l:mi>
通过互相关函数定义的吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
ϕ米米l:mi>
b米米l:mi>
y米米l:mi>
之间的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
+米米l:mo>
(米米l:mo>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
- - - - - -米米l:mo>
⋯米米l:mo>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
p米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
)米米l:mo>
。因此,如果两个相邻切片的转移功能满足
(14)米米l:mtext>
f米米l:mi>
年代米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
f米米l:mi>
问米米l:mi>
≤米米l:mo>
米米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
- - - - - -米米l:mo>
⋯米米l:mo>
- - - - - -米米l:mo>
l米米l:mi>
问米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
即任意内核之间的间隔片秩序<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
年代米米l:mi>
和另一个内核的秩序<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
问米米l:mi>
小于前片的长度,然后一片重叠发生。内核片重叠条件如图
1。
图1
说明两个任意内核片重叠的条件。一块互相关函数包含<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
问米米l:mi>
th - - -<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
年代米米l:mi>
阶内核片,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
w米米l:mi>
年代米米l:mi>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
w米米l:mi>
问米米l:mi>
,分别。相应的转移函数<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
f米米l:mi>
问米米l:mi>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
f米米l:mi>
年代米米l:mi>
指定内核片的开端。的持续时间<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
w米米l:mi>
问米米l:mi>
依赖于记忆长度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
米米米l:mi>
和转变滞后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个>
(米米l:mo>
l米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
⋯米米l:mo>
+米米l:mo>
l米米l:mi>
问米米l:mi>
- - - - - -米米l:mo>
1米米l:mn>
)米米l:mo>
。根据(
14),nonoverlap和重叠情况下提出了在(a)和(b),分别。
(一)
(b)