优势 行动研究进展 1687 - 9155<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 9147 Hindawi 10.1155 / 2020/4053983 4053983 研究文章 反相Truck-Drone网络问题找到最好的配置 https://orcid.org/0000 - 0003 - 2052 - 3557 丰富的 罗伯特。 Lagana 德牧 工业与系统工程 自由大学 林奇堡 弗吉尼亚州 美国 liberty.edu 2020年 22 1 2020年 2020年 16 10 2019年 03 12 2019年 21 12 2019年 22 1 2020年 2020年 版权©2020年罗伯特·富。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

许多行业在经济上寻求使用卡车/火车/船配备无人机技术来增强“最后一英里”的交付工作。虽然无人机技术比比皆是,很少有,如果有研究看看无人机的正确配置基于问题的重要特性:交付密度,操作区域,无人机范围,和速度。在这里,我们首先呈现truck-drone问题然后转化网络路由问题,最好的情况下安装在卡车的无人驾驶飞机的速度和范围是一个给定的场景基于网络交付密度。通过反相的问题,业务可以快速确定无人机的配置(适当的无人机的范围和速度)优化配送系统所必需的。另外,我们提供一个更有用的版本truck-drone路由问题的混合整数规划,可以很容易地采用标准化的软件用于解决线性编程。此外,我们计算metaheuristics和实验支持这项工作是可以下载的。metaheuristics使用此超越当前最佳算法在文献中找到。

1。介绍</t我tle> <p>无人机的使用或其他parallel-constrained资源结合主要交付资产提供了潜在的性能改进,可能是有益的。truck-drone的基本问题(DTSP)可以很容易地可视化为两个顾客一起工作来获取货物从超市的货架上尽可能的高效。作为一个顾客推着购物车,第二个购物者可能一起散步或者单独回购物车和操作并行抓取物品。虽然两个购物者可能独立任务并行操作,有时走在一起更有效率。事实上,很明显,有一组最优的路线对于每一个顾客,但是不太直观,必要的速度和范围的并行购物者将防止任何此类优化或显著延迟的主要顾客。在这里,我们研究这一关系。</p><p>truck-drone (UPS)说包裹递送系统,很容易想象,一个非常缓慢的无人机将承受卡车很少或根本没有好处。在几乎每一个站,卡车将等待悠闲地在寻找无人机的回报。动作迟缓的无人机提供只有一个包在一个平行的路径和几乎是useless-regardless的范围。此外,非常快的无人机提供没有真正改善交货时间如果只有很短的范围内。无人机只成为一个有用的仆人如果无人机的范围和速度正确的卡车的速度成比例。因此,不难想象,存在一个最佳的卡车的速度之间的关系,无人机,无人驾驶飞机的速度,和交付网络的密度。</p><p>对于这个问题,我们假设卡车可以发射无人机从任何交付位置只有一个包裹,然后会合w /无人机下游相邻交货地点在无人机提供并行路径卡车。这个truck-drone路由(图中进行了描述<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>)。</p><f我g id="fig1"> <label>图1</label> <p>卡车与single-drone包裹递送。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aor/2020/4053983.fig.001"></graphic> </fig> <p>剩下的部分由本如下。部分<xref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xref>讨论了反向问题和其他理论为“最好”的情况下解决无人机和无人驾驶飞机的速度范围。部分<xref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xref>论述了文学truck-drone周围的问题。部分<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>定义了一个更有用的版本的混合整数规划(MIP)。部分<xref ref-type="sec" rid="sec5"> 5</xref>制定truck-drone问题作为一个进化算法(EA)类型metaheuristic算法用来进行计算实验。部分<xref ref-type="sec" rid="sec6"> 6</xref>执行计算实验对最佳EA发现启发式在文学,和部分<xref ref-type="sec" rid="sec7"> 7</xref>总结了研究结果,以及未来研究的方向。</p></年代ec> <sec id="sec2"> <title>2。系统模型:理论见解</t我tle> <p>3个节点的问题,即节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示仓库和包裹交付节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>;然后,最好的交货时间系统是最大的无人驾驶飞机时间或卡车的时间。问题可以很容易地通过建立扩展,卡车的速度一直是一个,和无人驾驶飞机的速度是一个多个卡车的速度(或因素)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,由于无人机的速度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为卡车速度的因素,那么存在一个最优配置当无人机的速度等于无人机的范围<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。换句话说,我们不饱和无人机与不必要的资源(范围或速度)进行发货操作。如(图所示<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>),卡车发射无人驾驶飞机,移动的距离1单位在1单位的速度/距离,然后返回与无人机会合。总交货时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2、2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和最优配置存在当无人机的范围和速度是相等的(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)。</p><f我g id="fig2"> <label>图2</label> <p>卡车和一次无人机(最好的理由<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aor/2020/4053983.fig.002"></graphic> </fig> <p>然而,大多数问题并不是简单的3个节点的问题有一个卡车和一个无人驾驶飞机。推进网络问题,交付密度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>成为一个关键组件,当解决无人机的范围和速度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。交货数量密度的定义<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>所需的交货单位面积(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)交付的空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>为了建立求解最优速度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和范围<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们以“最佳案例”或精益的场景。在这种情况下,我们会认为大约50%的交付将由卡车和50%的无人驾驶飞机。此外,这些理想条件下,可以构造一组相同大小的三角形的区域内操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>代表所有的包裹交付(图<xref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>),三角形的顶点表示交货地点。我们将称之为<我talic> 实用最好的情况</我talic>。</p><f我g id="fig3"> <label>图3</label> <p>实际的最好情况下平行四边形。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aor/2020/4053983.fig.003"></graphic> </fig> <p>使用这些三角形和简单的平行四边形几何,我们可以很容易地计算出最佳的无人驾驶飞机的速度和无人机范围必须与卡车会合在完全相同的时间在每个并行交付操作。在这种情况下,我们不需要花费任何额外的不必要的资源,同时保证系统将执行优化。</p><p>为<我talic> 实用最好的情况</我talic>系统,我们计算密度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。使用密度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后替换<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,平行四边形的面积来表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因为我们有交货密度给定问题场景时,我们可以为适当的转化问题和解决无人机的能力(速度(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)和范围(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>解决问题):<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∼</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> κ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ρ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>此外,我们计算进行了几个实验以更好地理解精益供应和随机生成的随机情况之间的关系。对于每一个场景,随机均匀分布在交付地点的操作而无人驾驶飞机的速度(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>),范围(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>),和操作区(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)保持不变。交付的数量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>perturbated从10到200年交付的区域内操作。在这里,我们希望能够理解百分比获得改善<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mo> Π</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>(交货时间)在一个独立的卡车(没有无人机)输送系统。我们发现的交货密度随机场景<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>接近或走向精益解决方案的交付密度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 选择</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表演的时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mo> Π</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>(在一个独立的卡车)有所改善。在这样的情况下,交付和路由部分问题的随机生成的实验解决了使用下面描述的metaheuristics,而沿卡车的交货时间是使用标准的tsp metaheuristics解决。</p><p>结果(图<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>)显示的问题交付密度随机生成场景接近最优密度(定义为交付<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>无人机的速度(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)和范围(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>))的整体性能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mo> Π</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>改善不oversaturating系统不必要的资源。具体地说,横坐标(<我talic> x</我talic>设在)表示区别基于ακρ优化和基于密度ρ的问题<我talic> N</我talic>和交付。纵坐标(<我talic> y</我talic>设在)表示改善性能在兴修卡车专用输送系统(tsp-routed)。图显示两个密度紧密,系统的整体性能得到改善。鉴于良好的使用结果<我talic> 实用最好的情况</我talic>方法为基础来评估系统的性能,我们构造以下最小化问题解出正确的无人驾驶飞机的速度和无人机范围根据交付的数量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和大小交付的业务领域<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> 公里</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此,最小化问题这是用于选择系统参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>密度是适合一个特定的问题<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。它指出,由于问题的特性转化,解决方案的范围和速度为适当的速度和较低的界限范围的无人机配置:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 选择</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> 。</米米l:mo> <mml:mtext> t</米米l:mtext> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 选择</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 磅</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> κ</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 乌兰巴托</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 磅</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 乌兰巴托</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ρ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <fig id="fig4"> <label>图4</label> <p>改进百分比Π兴修卡车专用时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>朝着最优密度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 选择</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aor/2020/4053983.fig.004"></graphic> </fig> <p>总之,truck-drone的定理为最优参数如下。<list> <list-item> <label>(我)</label> </list-item> </list></p> <p>存在一个最大<我talic> 理论上限</我talic>时间改进因素很少,如果有的话,联系(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。这是基于比较truck-drone和兴修卡车专用解决方案:</p><d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∏</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <list> <list-item> <label>(2)</label> <p>最低<我talic> 下边界</我talic>时间改进(最坏情况)的truck-drone兴修卡车专用解决方案默认为兴修卡车专用路线时间或一茶匙路线。</p></list-item> <list-item> <label>(3)</label> <p>改善(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mo> Π</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>)随着兴修卡车专用朝着最优顶点均匀分布在一个交付领域走向最优密度:</p></list-item> </list> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 选择</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∼</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <p></p> <p>因此,对于交付的情况下,如果我们在附近的操作参数优化的“最佳”<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> Π</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后发现系统参数通过最小化交付密度之间的区别<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和最优密度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 选择</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。由此产生的无人驾驶飞机参数和两个做参数之间的关系<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>成为一个较低的边界最优配置的无人驾驶飞机。</p></年代ec> <sec id="sec3"> <title>3所示。文学</t我tle> <p>今天,大量的文学存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mtext> 茶匙</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和密切相关的车辆路径问题(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mtext> 蚁群</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)。几种方法在调查这两个问题都可以找到,报告和论文(<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>]。作为一个规则,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:mtext> 蚁群</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>问题范围<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mtext> 茶匙</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过添加附加约束。这些限制包括诸如时间窗,优先级范围内,虚度时间,路线段permissible-to-vehicle类型,负载配置和交通模式(<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>]。虽然许多的变体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 茶匙</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> 蚁群</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在文学包括multivehicle问题存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:mtext> mtsp</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>、客户皮卡和交付问题,多个同步约束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mtext> 蚁群</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>[],多个仓库车辆调度问题<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>],和多对多的牛奶运行路由问题[<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>),存在只有为数不多的研究有关<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mtext> dtsp</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,没有研究存在地址正确的配置(功能)的一个主要工具(卡车)和一个或多个辅助工具在解决最优网络路由。</p><p>工作地址的主要工具和约束协助工具Agatz等的工作。<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>和穆雷和楚<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]。这两个作者提出truck-drone问题的一种主要工具协助工具。他们的作品描绘的主要差异存在的问题及其具体版本的tsp问题,区分的无人驾驶飞机旅行的能力(/)卡车以及操作的卡车在多个并行操作描述为launch-deliver-rendezvous任务。这个界定之前,没问题直接处理的独特模式。具体地,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mtext> dtsp</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>描述了无人机作为并行资源所需的卡车定期对接与卡车由于载荷和距离限制。穆雷和楚<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>)正式定义<我talic> 飞行伙伴旅行商问题(FSTSP)</我talic>作为一个<我talic> 赋权</我talic>问题。他们的研究表明混合整数规划(MIP)方法以及metaheuristic方法。他们还考虑第二个类似的中心类型问题,地址的情况客户足够接近的仓库服务由无人驾驶飞机的直接从仓库<我talic> 并行无人机调度TSP (PDSTSP)</我talic>。穆雷和Agatz讨论优化的混合整数规划min-time路线。他们提到一个无人机受到限制的范围,是能力,和速度因为它关系到卡车。但是,它们充分解决这一相互关系。此外,Agatz只考虑稍微修改版本的FSTSP PDSTSP并没有解决。Agatz穆雷一样,认为truck-drone同时作为一个团队,卡车发射无人驾驶飞机,穿越到一个单独的交付地点的无人驾驶飞机,然后再与无人机会合。然而,方法之间的主要区别是,Agatz et al。<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)要求无人驾驶飞机和卡车导线沿道路网络系统;一个约束不强制执行<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]。他们这样做为了方便施工保证一定的启发式方法和近似交付系统的最大可获得“兴修卡车专用解决方案。”默里和楚<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>)正式定义<我talic> 飞行伙伴旅行商问题(FSTSP)</我talic>是一个np难问题。他们的研究表明混合整数规划(MIP)以及metaheuristic方法。他们还考虑第二个类似的毂型问题,地址的情况客户足够接近的仓库服务由无人驾驶飞机的直接从仓库<我talic> 并行无人机调度TSP (PDSTSP)</我talic>。</p><p>最近Agatz et al。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>]给出一个确切的解决方案方法truck-drone问题表示,无人驾驶飞机的旅行商问题(TSP-D)基于动态规划。他们建模问题作为一个整数程序然后开发多个route-first cluster-second启发式基于本地搜索和动态规划。他们的见解认为,更大的问题实例可以通过动态规划解决比其他数学规划方法在文献中找到。他们显示最坏情况近似比率启发式和比较性能为较小的情况下的最优解。他们应用启发式几个人工实例具有不同的特征和大小显示实质性的改进兴修卡车专用解决方案。</p><p>也许,这里最相似的问题是当前和描述的覆盖旅行推销员问题先令(<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。覆盖问题找到最短的旅游“tsp网络通过减少问题总节点的一个子集。在这种情况下,如果相邻节点可以达到或“覆盖”范围内就可以作为一个节点分组或停止,从而减少最终的最佳旅游以及显著的数量排列的问题。覆盖问题,他们提出了一个基于metaheuristic解决方案来解决更大的问题集。几个推广和扩展覆盖问题可以在文献中找到(<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>]。协助工具的主要工具,它并不足以绕过既无或覆盖的节点有三个原因:(1)首先,主要和辅助工具要求卡车和无人机会合的每个操作,因此他们的行动时机是一个因素的总时间。(2)其次,覆盖节点的范围内受到的帮助工具安装的主要工具。(3),第三,范围,速度和数量的辅助工具是相互依赖的节点坐标,从而确定可能的“覆盖”总面积为每个操作可能不同。</p><p>此外,辅助工具的速度和范围对系统的整体性能具有重要意义。在此,我们给一个封闭形式的方法来确定适当的速度和范围所必需的辅助工具来获得一个没有oversaturating系统系统的最优性能。这不是目前发现在任何文学。许多其他作者创建的主要变化/协助工具的问题,但没有解决这些基本关系。</p></年代ec> <sec id="sec4"> <title>4所示。Truck-Drone混合整数规划</t我tle> <p>并行资源truck-drone问题是承认当相关的第二资源约束保持在接近主要的车辆,分离时,它最终将与主车会合在下游位置。是允许暂时分开的主要资源,但是由于范围必须很快返回或操作限制。</p><p>为了建立一个通用的数学公式和完善驯良,软件建模(术语/ Lindo®)的这一问题,我们假设如下:(1)数量,位置,和客户(节点)之间的距离是已知的和确定的,(2)每个节点必须访问不超过一次,一辆车或一组车辆,(3)车辆必须遍历节点之间沿弧(边缘),(4)车辆单独和交会在节点的位置,而不是沿弧之间的空间节点,(5)任何车辆可能独立于集团提供一个节点之前它必须与主车会合下游节点(或组);一旦发生会合,每辆车再次允许单独到另一个交付节点在下游节点,然后再会合和(6)每个交付节点有一个单位的需求;因此,无人机或卡车出击之一是能够提供一个包裹。</p><p>我们有一个无人驾驶飞机(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)操作在邻近空间的主要交付卡车(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>),那么如果无人机(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)是用于交付,应当从卡车上启动节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>遍历,交付节点(客户)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>送货卡车,会合在第三个节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,即二进制元组变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>旗帜的路线段使用无人机。发射后无人驾驶飞机,卡车(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)有两种选择:(1)直接从发射节点遍历集合节点(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(图中描述)<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>)和(2)遍历到另一个交付节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>然后收益到无人机会合节点(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)。</p><f我g-group id="fig5"> <label>图5</label> <p>卡车和一次无人机问题描述:(a)卡车选项1和(b)卡车选项2。</p><f我g id="fig5a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aor/2020/4053983.fig.005a"></graphic> </fig> <fig id="fig5b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aor/2020/4053983.fig.005b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>的truck-drone dtsp问题的物质元素可以描述数学作为一个网络图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示customers-delivery-stops和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示停止之间的边缘。每个顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示的基数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或停止总数。一条边<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>所描述的两个顶点吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,而两个加入边缘被描述为三个顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>之间的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。此外,二进制变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示是否使用卡车优势一式三份<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或无人驾驶飞机<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> 或</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果使用,否则<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。二元变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果卡车横穿<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>然后进一步的遍历<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果一个无人驾驶飞机旅行在一辆卡车在休眠的配置中,无人机分配卡车的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>元组索引变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;交货,无人机可以在一个活跃的角色,因此,指定二进制变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>从顶点表示无人机发射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,交付给<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在顶点,随后恢复<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。这里的问题的一个重要特点是,第一个和最后一个顶点索引的卡车,无人机必须始终是相同的。距离矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>元组和建设三联体的距离<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示成本或遍历的距离<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。subtour消除变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>确保序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>遵循<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是解决方案的一部分;因此,它限制了subtour阵型。</p><p>马克斯的极小极大目标函数最小化<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>卡车或无人驾驶飞机的时间每一次访问三个节点的操作。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是用来评估每辆车的时间,在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>第一个和最后一个节点的三个访问点头卡车吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或无人驾驶飞机的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>大于或等于卡车或无人驾驶飞机时间,我们力吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>评估每个车辆的使用时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示卡车时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示无人机时间除以速度的因素<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这是一个卡车的速度的因素:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 最小化</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 受</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> ∀</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> κ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xref>)最小化最大时间之和任何路线三联体段开始<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>到最后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xref>)要求的总和最大时间是最大的卡车或无人驾驶飞机时间对于任何给定的操作描述为一个三个一组,手术可能是兴修卡车专用或truck-drone。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>)要求没有三个一组可以包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。每个操作必须是一个移动节点的位置<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>不同于节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>或节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。确保车辆闲逛。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>)执行一个操作的概念,一辆卡车和一个无人驾驶飞机在运营中必须遵循相同的启动和恢复节点;然而,交付节点可以是不同的。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>)部队被一辆卡车访问每个节点或无人驾驶飞机或组合。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xref>)限制了一辆卡车去一个城市一次,只有一次。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 11</xref>)限制了无人机只访问一个城市提供最多一次。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xref>)限制输入的每个元组段卡车由卡车退出相同。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</xref>)是一个subtour消除约束迫使路线的测序这样subtour是不可能的。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 14</xref>)部队所有无人机无人机的交付操作范围内交付<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>(发射、交付和交会)除非骑在一辆卡车在这种情况下<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>禁用约束。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</xref>)限制了所有欧几里得距离大于零。方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</xref>)分配的变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为二进制;和效用排序变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个整数1到节点的总数(或客户交付)。</p></年代ec> <sec id="sec5"> <title>5。Truck-Drone进化算法的方法</t我tle> <p>tournament-based进化算法(EA)实行<我talic> cluster-during-routing</我talic>方法解决truck-drone问题。更准确地说,它分配<我talic> 卡车</我talic>和<我talic> 无人驾驶飞机</我talic>标签在路由过程中。这非常不同于其他算法在文献中找到。的<我talic> 一流</我talic>发现在文学首先执行一个完整的路由操作,然后算法标签<我talic> 卡车</我talic>或<我talic> 无人驾驶飞机</我talic>。相反,文中算法EA创建一个人口矩阵表示为随机排列的路线,每个节点在评估潜在的drone-delivery旅游节点,除非该节点的范围。因为人口很多随机生成的旅游评价同时,无人机范围内任意节点autoassigned和标记<我talic> 无人驾驶飞机</我talic>。EA执行以下流程步骤:<list> <list-item> <label>(一)</label> </list-item> </list></p> <p>随机排列的人口<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>旅游,每个旅游作为一个基因组序列来表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>交付节点之旅。</p><list-item> <label>(b)</label> <p>决定了适合每个群体成员(旅游)基于总交货时间旅行。所有健身时间保存种子的比赛。</p></list-item> <list-item> <label>(c)</label> <p>总人口分为五组旅游每进行一组种子锦标赛。</p></list-item> <list-item> <label>(d)</label> <p>为每个组,最好的种子组内成员(五)选为单基因突变为其余四种子集团的成员。<list> <list-item> <label>(1)</label> </list-item> </list></p> <p>基因突变(旅游突变)第一册内的适者的成员组五种子比赛少取代四个成员。</p></list-item> <list-item> <label>(2)</label> <p>的四个不符合成员(现在相同的适者)然后略突变来改善健康。</p></list-item> <list-item> <label>(3)</label> <p>突变包括(a)中随机选择两个节点和交换之旅,(b)反向排序的两个节点之间的旅行,(c)滑动参观段节点之间向左或向右,和(d)取代中的最后一个节点和其他节点。</p></list-item> <p></p> <list-item> <label>(e)</label> <p>重复步骤(b),直到收敛。预算是基于预先确定的迭代停止条件,宽容,或饱和中发现改进。</p></list-item> <list-item> <label>(f)</label> <p>返回适当的整个人口的成员。</p></list-item> <p></p> <p>种子锦标赛遗传算法的优势在于能够保留多个路径对优化过程中,对任何网络路由问题至关重要。此外,由于有多个成员在种子比赛,该算法允许各种证明突变方法对种子的成员进行比赛。在这种情况下,互换、翻转和幻灯片突变已被证明是强大的,快,和极其精确的tsp等许多路由问题,multiple-truck tsp,以及车辆路径问题(vrp)。</p><p>算法的性能是基于底层理论原则:<list> <list-item> <label>(1)</label> </list-item> </list></p> <p>通过初始化一个相对较大的人口(即。,5<我talic> n</我talic>)的随机排列,多条路径(种子锦标赛)最优收敛的概率增加。</p><list-item> <label>(2)</label> <p>通过保存适当的基因在种子,然后轻微扰动(变异)最好的基因(旅游)发现种子群五旅游确保解决方案从来没有变得更糟,同时促进在每个迭代改进。</p></list-item> <list-item> <label>(3)</label> <p>autoassigning无人机到任何“范围内”节点,无人驾驶飞机的使用最大化整个路由过程,同时减少车的整体旅游长度。的风险分配错误的节点无人机是减轻,首先初始化人口与随机排列,然后对优化维护多个路径。</p></list-item> <list-item> <label>(4)</label> <p>多个路径随机搜索更快不必计算贪吃或每个社区范围内的精确算法。因此,该算法依赖于计算速度和迭代没有负担不必要的计算。</p></list-item> <p></p> <p>算法,我们随机交换旅游人口的初始种群的矩阵表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>组成<我talic> 米</我talic>旅游各有<我talic> n</我talic>在旅游节点(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>旅行的长度)。在这种情况下,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,:</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示第一个旅游人群中(1)矩阵和所有节点(:)第一次旅游。而变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示第一个旅游人口<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,:</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>也表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> th</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>节点在第一旅游或路线。这个函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示一个适当的距离函数计算的路线之间的距离。距离函数的命名法<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示节点之间的距离(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)和节点(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)中发现的路线<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ,:</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,社区功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示未来3节点或路由段<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>就像在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>用于评估一段是否可通过无人机的约束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:mtext> 无人机的范围</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在这种情况下,该算法的距离函数可以处理两个节点之间的距离,或三个节点的邻居<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。返回的距离<我talic> D</我talic>函数然后除以卡车或无人机的速度到达<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:mtext> 时间</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代ec> <sec id="sec6"> <title>6。Metaheuristic比较</t我tle> <p>如上所述,我们进化算法(EA)算法<xref ref-type="other" rid="alg1"> 1</xref>)metaheuristic使用<我talic> cluster-during-routing</我talic>方法,即每个无人机autoassigned旅游中的任何未来交付节点范围内。这就迫使无人机高度利用。接下来,我们与多个随机初始化种群排列路线提高潜在的优化道路从而帮助阻止当地的最适条件。在每个迭代中,每个旅游人群中略有改善使用突变由随机节点互换,随机旅游部分翻转,随机段左右滑动。</p><p我d="alg1"> <list list-content="algorithm"> <title><大胆>算法1:< /大胆>进化算法。</t我tle> <list-item> <label></label> </list-item> </list></p> <p> <bold> 数据</bold>:一个人口<我talic> P</我talic>矩阵的最初随机生成的旅游参观的地方<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> :</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>=<我talic> P</我talic>(1:)的人口规模<我talic> 米</我talic>和任何旅行的长度<我talic> n</我talic>。</p><list-item> <label></label> <p>距离函数距离(发射,交付,会合)决定了总节点之间的距离</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 结果</bold>:一个∼最佳旅游节点(1:<我talic> n</我talic>]。</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 为</bold>iter 1到预算<bold> 循环</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 为</bold> <italic> p</我talic>在<我talic> 米</我talic> <bold> 循环</bold>(为每个旅游人口)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>⟵<我talic> P</我talic>(<我talic> p</我talic>:];(人口内参观游览)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>⟵<我talic> P</我talic>(<我talic> p</我talic>1:<我talic> n</我talic>,1,2,3];(添加包装来仓库参观)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> 时间</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>⟵0;(初始化总旅行时间之旅)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 而</bold> <italic> 我</我talic>≤<我talic> n</我talic> <bold> 做</bold>(经历中的每个节点之旅)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>案例⟵1;(初始化默认情况下:卡车携带无人机和交付)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>发射⟵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我talic> 我</我talic>);(卡车发射节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>交付⟵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我talic> 我</我talic>+ 1);(无人驾驶飞机交付节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>会合⟵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我talic> 我</我talic>+ 1);(卡车和无人机会合节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>发射理解⟵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我talic> 我</我talic>+ 1);(检查下操作卡车发射节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>提供理解⟵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我talic> 我</我talic>+ 2);(检查下操作无人机交付节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>交会测量⟵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我talic> 我</我talic>+ 3);(检查下操作卡车/无人机会合节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>无人机dist⟵距离(发射,交付,会合)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>卡车dist⟵距离(发射、对接)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 如果</bold>无人机dist <范围<bold> 和</bold> <italic> 我</我talic>+ 1≤<我talic> n</我talic> <bold> 然后</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>案例⟵2;</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>理解1⟵max[(无人机dist) /(无人机的速度),(卡车经销)/(卡车速度)]</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>发射无人机dist 2⟵距离(理解,理解,理解会合)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>卡车dist 2⟵距离(理解,理解会合)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>理解2⟵max[(无人机dist 2) /(无人机的速度),(卡车dist 2) /(卡车速度)]</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 如果</bold>无人机dist 2 <范围<bold> 和</bold>理解2 <理解1<bold> 和</bold> <italic> 我</我talic>+ 2≤<我talic> n</我talic> <bold> 然后</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>案例⟵1;(保存下操作,无人机集卡车交付这个迭代)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>无人机dist⟵0;(没有无人机距离)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 如果</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 其他的</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>无人机dist⟵0;(无人机范围…)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 如果</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 开关情况</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 情况下</bold>= =<bold> 1</bold>(卡车交付)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>卡车经销:=距离(发射、交付);(找到卡车距离下一个节点)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> k</我talic>⟵<我talic> k</我talic>+ 1;</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 情况下</bold>= =<bold> 2</bold>(卡车和无人驾驶飞机交付)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>卡车经销:=距离(发射、对接);(找到卡车距离交会)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>无人机dist: =距离(发射,交付,对接);(找到无人机距离操作)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> k</我talic>⟵<我talic> k</我talic>+ 2;两个节点(满意)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 结束案例</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> 时间</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>=<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> 时间</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>+马克斯((无人机dist) /(无人机的速度),(卡车经销)/(卡车速度)](捕获和记录的总时间人口成员<我talic> p</我talic>)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> WHILE循环结束</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> FOR循环结束</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> P</我talic>人口⟵随机洗牌行矩阵<我talic> P</我talic>比赛(不改变旅游)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 为</bold> <italic> p</我talic>= 5:5:<我talic> 米</我talic> <bold> 循环</bold>(选择组由5各旅游人口<我talic> P</我talic>的大小<我talic> 米</我talic>)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>最佳时间⟵得到最佳时间(<我talic> P</我talic>(<我talic> p</我talic>:])的集团5旅游</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>最好的Id⟵找到路线Id群5的最佳时间(最好时间)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>1、2、3、4、5所示</年代ub>:]⟵替换所有旅游群体<我talic> P</我talic>(<我talic> p</我talic>:),适者之旅5旅游。</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>1</年代ub>:]⟵保持(不要变异)集团的适者之旅5(下一代保持)</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>2、3、4、5</年代ub>:]⟵变异如下:其他4不适合旅游</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>(1)旅游1:随机选择2点的路线<我talic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>2</年代ub>:]交换</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>(2)旅游2:随机选择2点<我talic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>3</年代ub>反向:],所有节点</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>(3)旅游3:随机选择2点的路线<我talic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>4</年代ub>:],去年与第一滑到左和替换</p></list-item> <list-item> <label></label> <p>(4)旅游4:替换第一个和最后一个节点<我talic> P</我talic>ʹ[<我talic> p</我talic><sub>5</年代ub>与两个随机选择的节点:]</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> FOR循环结束</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <italic> P</我talic>⟵更新<我talic> P</我talic>与所有的突变<我talic> P</我talic>′</p></list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> FOR循环结束</bold></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <bold> 返回</bold>最好的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> 时间</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>人口和最佳途径</p></list-item> <p></p> <p>具体地说,我们的<我talic> cluster-during-routing</我talic>EA是稳健、快速、能够解决大问题最优比任何其他文献中找到。说明,我们比较其性能数学程序(MIP),人工智能基于编程程序(CP),和“一流”启发式由Agatz et al。<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]。为了证明最优,我们比较了EA闭型混合整数规划方法对小尺寸问题少于15个节点,然后IBM基于编程(CP)更大的问题大小80交付节点。</p><p>E一个与下面的方法:<list> <list-item> <label>(1)</label> </list-item> </list></p> <p>闭型混合整数规划(MIP)较小的问题(少于12节点)来证明最优。</p><list-item> <label>(2)</label> <p>基于编程(CP)的更大的问题(少于80个节点)来证明最优。</p></list-item> <list-item> <label>(3)</label> <p>MST-gp-all(路线mst首先,集群与贪婪算法,迭代改进)</p></list-item> <list-item> <label>(4)</label> <p>MST-ep-all(路线mst第一,集群与精确分区与所有迭代的改进动态规划)</p></list-item> <list-item> <label>(5)</label> <p>TSP-gp-all(第一个路线茶匙、集群使用贪婪算法和迭代的改进)</p></list-item> <list-item> <label>(6)</label> <p>TSP-ep-all(第一个路线茶匙、集群使用的分区与所有迭代改进)</p></list-item> <p></p> <sec id="sec6.1"> <title>6.1。比较研究1(尺寸较小的问题:对一流)</t我tle> <p>为了简单起见,我们生成节点坐标在一个(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>笛卡儿坐标系统和假设卡车或无人机距离欧几里得距离基于均匀分布。在最初的比较问题<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>),metaheuristic比较实验从三个不同的分布:统一(随机)分布式节点,1-center系统节点,和2 Gaussian-nodes。在我们的研究中,我们分析了不同分布的结果,发现潜在的分布没有对我们的EA metaheuristic统计相关性;因此,为简单起见,我们采用了均匀分布的画我们的实验。此处对问题比较具体,所有节点都来自均匀分布与从{0,1,2,…,100}。</p><p>表(表<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>)提供了以下结果10随机生成的实例,每个实例类型的节点。为每个实例被定义为最优三角洲差距<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> 客观价值的启发式</米米l:mtext> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mtext> 最优的客观价值</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 最优的客观价值</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</label> <p>比较与一流的启发式。比较反对“一流”启发式最优解(统一的解决方案<我talic> n</我talic>= 10节点,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,平均超过10实例)。</p><table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2"></th> <th align="center" colspan="3">节点:笛卡尔coordinates-uniform分布(10节点)<break></break> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mtext> 从最优</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> </tr> <tr> <th align="center">Avg。</th><thalign="center">马克斯</th><thalign="center">#选择</th></tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">MTSP-gp-all [<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]</td><tdalign="center">2.0</td><tdalign="center">6.4</td><tdalign="center">1/10</td></tr> <tr> <td align="left">MTSP-ep-all [<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]</td><tdalign="center">0.7</td><tdalign="center">2.7</td><tdalign="center">4/10</td></tr> <tr> <td align="left">TSP-gp-all [<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]</td><tdalign="center">1。6</td><tdalign="center">3.1</td><tdalign="center">1/10</td></tr> <tr> <td align="left">TSP-ep-all [<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]</td><tdalign="center">0.4</td><tdalign="center">2.3</td><tdalign="center">6/10</td></tr> <tr> <td align="left"> <bold> EA</bold></td> <td align="center">0.00</td><tdalign="center">0.00</td><tdalign="center">10/10</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>结果证明了EA优于其他方法在文献中找到。EA在此证明最优为10/10实例大小类似的问题中发现当前文学。因此,我们增加了问题大小,构造一个基于约束模型(CP)模型为了比较优化,并进行了更多的试验。</p></年代ec> <sec id="sec6.2"> <title>6.2。计算研究2(尺寸更大的问题:MIP、CP和EA)</t我tle> <p>这项研究是运行在64位版本的Xumbutu®15.04 virtualBox™4.3.12管理程序与windows 7™主机操作系统。EA是编码MATLAB®。实验目的是我们创建的文件可以在Mathworks®文件交换(dtsp_ga_basic)进行评估/比较。的硬件配置包括英特尔®酷睿i7 - 4770 CPU和16 GB的RAM。的MIP和CP都编码在IBM OPL 12.8.0在个人电脑的英特尔酷睿i5 - 3537 @ 2.5 Ghz处理器和8 GB RAM。</p><p>总共有10个测试问题实例节点(10至100年)是随机生成的,然后取平均值。在其他的研究中,无人机被认为是卡车的速度的两倍<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在这种情况下,所有的客户都分布在正方形一个8英里。最大飞行耐力(无人机)范围和无人机范围设置为14英里。表<xref ref-type="table" rid="tab2"> 2</xref>总结了测试问题实例的计算结果。第一列显示不同大小的工作(节点的数量<我talic> n</我talic>)。列2 - 4、5 - 7和8 - 10记录经过计算处理时间(<我talic> 推移ti</我talic>),目标函数(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>),表示总时间和MIP的差距,CP和EA,分别从最优。计算的差距对如果最优保证最好的解决方案。为更大的问题,但是,如果最优性不能保证差距计算对MIP, CP, EA交货时间。在这种情况下,IBM CP和LINDO /术语MIP优化软件不能保证最优工作(节点数)大于20 +或者当计算机计算当前计算机系统时间超过1800秒。在这种情况下,CP报告它找到最好的解决方案并给出了最优的概率(即。,80的工作实例)。相反,EA持续交付的计算时间与最短的一种有效的解决方案。大尺寸的问题需要更多的计算机处理能力比较研究最优。</p><table-wrap id="tab2"> <label>表2</label> <p>运行时间和目标函数值大小根据不同的工作。</p><table> <thead> <tr> <th align="left">1</th><thalign="center">2</th><thalign="center">3</th><thalign="center">4</th><thalign="center">5</th><thalign="center">6</th><thalign="center">7</th><thalign="center">8</th><thalign="center">9</th><thalign="center">10</th></tr> <tr> <th align="left" rowspan="2">节点</th><thalign="center" colspan="3">米兰理工大学管理学院</th><thalign="center" colspan="3">CP</th><thalign="center" colspan="3">EA</th></tr> <tr> <th align="center">流逝的时间</th><thalign="center"> <italic> f</我talic></th> <th align="center">差距</th><thalign="center">运行时间</th><thalign="center"> <italic> f</我talic></th> <th align="center">差距</th><thalign="center">运行时间</th><thalign="center"> <italic> f</我talic></th> <th align="center">差距</th></tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">10</td><tdalign="center">1</td><tdalign="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <bold> 228.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">1</td><tdalign="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <bold> 228.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">1</td><tdalign="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <bold> 228.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td></tr> <tr> <td align="left">20.</td><tdalign="center">54岁的年代</td><tdalign="center">285.5</td><tdalign="center">0.0%</td><tdalign="center">20年代</td><tdalign="center"> <bold> 285.5</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">5 s</td><tdalign="center">285.5</td><tdalign="center">0.0%</td></tr> <tr> <td align="left">30.</td><tdalign="center">1834年代</td><tdalign="center">400.0</td><tdalign="center">8.4%</td><tdalign="center">十年代</td><tdalign="center"> <bold> 369.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">15秒</td><tdalign="center">374.0</td><tdalign="center">1.4%</td></tr> <tr> <td align="left">40</td><tdalign="center">1692年代</td><tdalign="center">621.0</td><tdalign="center">44.6%</td><tdalign="center">55岁的年代</td><tdalign="center"> <bold> 429.5</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">30年代</td><tdalign="center">434.0</td><tdalign="center">1.0%</td></tr> <tr> <td align="left">50</td><tdalign="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center">118年代</td><tdalign="center"> <bold> 466.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">45岁</td><tdalign="center">478.5</td><tdalign="center">2.7%</td></tr> <tr> <td align="left">60</td><tdalign="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center">422年代</td><tdalign="center"> <bold> 415.5</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">60年代</td><tdalign="center">419.5</td><tdalign="center">1.0%</td></tr> <tr> <td align="left">70年</td><tdalign="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center">1398年代</td><tdalign="center"> <bold> 511.5</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">90年代</td><tdalign="center">504.0</td><tdalign="center">1.7%</td></tr> <tr> <td align="left">80年</td><tdalign="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center">1745年代</td><tdalign="center"> <bold> 523.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td><tdalign="center">120年代</td><tdalign="center">546.5</td><tdalign="center">4.5%</td></tr> <tr> <td align="left">90年</td><tdalign="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center">120年代</td><tdalign="center"> <bold> 638.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td></tr> <tr> <td align="left">One hundred.</td><tdalign="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center"></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdalign="center"></td> <td align="center">120年代</td><tdalign="center"> <bold> 655.0</bold></td> <td align="center">0.0%</td></tr> </tbody> </table> <table-wrap-foot> <fn> <p>在大胆的最佳解决方案。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>最佳值,没有有效的期限内发现的1800年代。</p></fn></table-wrap-foot> </table-wrap> <p>所有的测试实例和MIP和CP日志位于以下链接:<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://drive.google.com/open?id=19ZZ9ukEwSSfjCqNID1P1kPsGMOyMefXC"> https://drive.google.com/open?id=19ZZ9ukEwSSfjCqNID1P1kPsGMOyMefXC</ext-link>。</p></年代ec> </sec> <sec id="sec7"> <title>7所示。结论</t我tle> <p>当前文学没有任何有用的信息在设计空间的产量最高的地区(速度、范围和数量的无人机)truck-drone配置,和任何公司考虑使用delivery-drone没有引导无人机参数的选择方法<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 速度的因素</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mtext> 和范围</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> κ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>没有一些高产地区可见性的操作空间。的<我talic> 精益几何方法</我talic>此处显示颠倒空间解决的问题最好在实际情况下无人机的速度和无人机范围给定一个随机生成的场景。因此,它是非常有用的实用设计决策关于适当的/最有效的无人驾驶飞机的速度和范围达到最大期望的产量在兴修卡车专用解决方案。因此,它作为一种屏幕的无意的选择低执行设计。</p><p>米IP的研究也给出了一个简化版本中没有任何其他研究以及一个有用的和容易实现metaheuristic必须解出最优路线和最佳时间truck-drone问题。我们使用一个简单的单染色体进化算法(EA) metaheuristic测试每种情况。EA建模为函数在MATLAB®开发环境的语言,和文件可用Mathworks®文件交换(dtsp_ga_basic)进行评估。EA对当前一流启发式测试发现在文学,大大超过了他们的精度以及计算时间性能。</p><p>总之,这项研究回答的问题将在时间预计将有truck-drone配置效率以及寻找“什么是适当的配置的无人机和无人驾驶飞机的速度范围truck-drone情况”给出一个典型的交货情况。它给业务基础评估各种典型配置对他们每天最后一英里的快递情况。为未来的研究工作也打开几个额外的问题。最明显的问题涉及到设计空间的时间和/或效率1-truck由许多无人机。</p></年代ec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>metaheuristic编码和算法是可用的<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://MATLAB.com"> MATLAB.com</ext-link>并从相应的作者。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="incollection"> <label>1</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Agatz</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> Bouman</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 施密特</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 优化方法对无人机的旅行推销员问题</article-title> <source> <italic> 社会科学研究网</我talic> <year> 2015年</year> <publisher-loc> 荷兰阿姆斯特丹</publisher-loc> <publisher-name> 社会科学电子出版由爱思唯尔公司</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="incollection"> <label>2</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 金</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Raghavan</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Wasil</年代urname> <given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 车辆路径问题:最新进展和新的挑战</article-title> <source> <italic> 运筹学/计算机科学接口</我talic> <year> 2008年</year> <volume> 43</volume> <publisher-loc> 柏林,德国</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-0-387-77778-8</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84888590252</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="book"> <label>3</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 托斯</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 比戈</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 车辆路径问题:暹罗专著离散数学和应用程序</我talic> <year> 2002年</year> <publisher-loc> 美国费城,宾夕法尼亚州</publisher-loc> <publisher-name> 暹罗专著离散数学和应用程序</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 库马尔</年代urname> <given-names> s . N。</given-names> </name> <name> <surname> Panneerselvam</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一项调查对车辆路径问题及其变体</article-title> <source> <italic> 智能信息管理</我talic> <year> 2012年</year> <volume> 4</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4236 / iim.2012.43010</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 米勒</年代urname> <given-names> c, E。</given-names> </name> <name> <surname> 塔克</年代urname> <given-names> e·W。</given-names> </name> <name> <surname> Zemlin的话来说</年代urname> <given-names> r。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 整数规划配方和旅行推销员问题</article-title> <source> <italic> ACM的杂志</我talic> <year> 1960年</year> <volume> 7</volume> <fpage> 326年</fpage> <lpage> 329年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 那个</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 同步在车辆路由vrp的调查中有多个同步约束</article-title> <source> <italic> 交通科学</我talic> <year> 2012年</year> <volume> 46</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 297年</fpage> <lpage> 316年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1287 / trsc.1110.0400</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84865109540</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pepin</年代urname> <given-names> 其子a.s.。</given-names> </name> <name> <surname> Desaulniers</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> <name> <surname> 赫兹</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 豪氏威马</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 比较多个仓库五启发式的车辆调度问题</article-title> <source> <italic> 杂志的调度</我talic> <year> 2009年</year> <volume> 12</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 17</fpage> <lpage> 30.</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s10951 - 008 - 0072 - x</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 60349130126</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 林</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 扁</年代urname> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 太阳</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 徐</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模拟退火算法的两阶段多对多牛奶运行管道路由问题库存成本</article-title> <source> <italic> 数学问题在工程</我talic> <year> 2015年</year> <volume> 2015年</volume> <lpage> 22</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 428925年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2015/428925</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84941671056</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 穆雷</年代urname> <given-names> C . C。</given-names> </name> <name> <surname> 楚</年代urname> <given-names> a·G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 飞行伙伴货郎担问题:优化drone-assisted包裹递送</article-title> <source> <italic> 交通研究部分C:新兴技术</我talic> <year> 2015年</year> <volume> 54</volume> <fpage> 86年</fpage> <lpage> 109年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.trc.2015.03.005</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84925393679</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="misc"> <label>10</label> <element-citation publication-type="other"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bouman</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Agatz</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> 施密特</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 动态规划方法对无人机的旅行推销员问题</article-title> <year> 2017年</year> <comment> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://ssrn.com/abstract=3035323"> https://ssrn.com/abstract=3035323</ext-link> </comment> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 当前的</年代urname> <given-names> j . R。</given-names> </name> <name> <surname> 先令</年代urname> <given-names> d . A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 覆盖推销员问题</article-title> <source> <italic> 交通科学</我talic> <year> 1989年</year> <volume> 23</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 208年</fpage> <lpage> 213年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1287 / trsc.23.3.208</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="incollection"> <label>12</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gulczynski</年代urname> <given-names> d . J。</given-names> </name> <name> <surname> 希斯</年代urname> <given-names> j·W。</given-names> </name> <name> <surname> 价格</年代urname> <given-names> C . C。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Alt</年代urname> <given-names> f . B。</given-names> </name> <name> <surname> 傅</年代urname> <given-names> m . C。</given-names> </name> <name> <surname> 金</年代urname> <given-names> b . L。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 足够近的旅行推销员问题:讨论几种启发式</article-title> <source> <italic> 运筹学/计算机科学接口系列</我talic> <year> 2006年</year> <volume> 36</volume> <publisher-loc> 波士顿,美国</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <fpage> 271年</fpage> <lpage> 283年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978 - 0 - 387 - 39934 - 8 _16</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Agatz</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> Bouman</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 施密特</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 与无人驾驶飞机旅行商问题的优化方法</article-title> <source> <italic> 交通科学</我talic> <year> 2018年</year> <volume> 52</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 965年</fpage> <lpage> 981年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1287 / trsc.2017.0791</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85047608849</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>