非线性偏微分方程出现在许多领域的工程、物理学、应用数学。在过去的几十年里,非线性部分偏微分方程得到了太多的关注由于其应用科学和工程的许多分支如多孔介质、流体流动、分形、热传导、控制理论、动态过程,和其他地区。人们普遍知道分数微积分能够提出更好的结果比经典微积分。许多方法被用来研究和分析分数微分方程,李群的分析方法是一种有效的工具来研究对称性的普通和偏微分方程。之后,这个方法被推广到研究部分偏微分方程( 1- - - - - - 9]。Djordjevic和Atanackovic获得相似解决非线性分数热传导方程和汉堡/ KdV方程[ 9]。提到最近的两个文件是非常重要的( 10, 11]。首先,在文献[ 10],作者提出并讨论了分段非线性偏微分方程利用相似性削减和恢复一些有趣的结果与哈利Dym-type相关方程。此外,在裁判。 11),讨论了分段非线性时空波散布方程和相似方法解决利用部分衍生品在卡普托,Riesz-Feller,黎兹感官。在这项工作中,我们应当把time-fractional扩散/哈利Dym方程的非线性模型 (1) ∂ α u ∂ t α = u n ∂ n u ∂ x n , 0 < α < 1 , n = 2 , 3 并进一步研究space-fractional扩散/哈利Dym方程的非线性模型 (2) ∂ u ∂ t = u β ∂ β u ∂ x β , 2 ≤ β ≤ 3 ,

与 2 ≤ β ≤ 3 ,我们可以获得所有方程之间的扩散和哈利Dym方程。在下面,我们想研究相似解决方案与方程( 1),包括行波相似的解决方案和一种数值解。此外,两种相似的解决方案在方程( 2)也产生了。

首先,我们回忆起几个相关的符号。为连续函数 f t ,左Riemann-Liouville分数导数的秩序 0 < α < 1 给药 (3) d α f d t α = 1 Γ 1 − α d d t ∫ 0 t f τ t − τ α d τ = 1 Γ 1 − α f 0 t α + ∫ 0 t f 1 τ t − τ α d τ , 在哪里 Γ 。 欧拉伽马函数吗 (4) Γ α = ∫ 0 ∞ e − z z α − 1 d z 。

同样的,对 n − 1 < β < n , 我们有 (5) d β f d t β = 1 Γ n − β d n d t n ∫ 0 t f τ t − τ β + 1 − n d τ 。

首先,我们将证明非线性模型( 1)具有相似的解决方案,考虑李群缩放变换引入新变量 t ~ , x ~ , u ~ 形式( 9] (6) t = λ t ~ , x = λ p x ~ , u = λ 问 u ~ x ~ , t ~ , 在哪里 p 和 问 参数确定后。很容易验证转换方程 (7) λ 问 − α ∂ α u ~ ∂ t ~ α = λ n + 1 问 − n p u ~ n ∂ n u ~ ∂ x ~ n , 这意味着 问 − α = n + 1 问 − n p , 这是 (8) p − 问 = α n 。

自 (9) t t ~ = x x ~ 1 p , u u ~ = x x ~ 问 p , 为了获得time-fractional哈利Dym方程的行波相似的解决方案 (10) ∂ α u ∂ t α = u 3 u x x x , 0 < α < 1 , 我们考虑到相似变换 (11) u = x 问 p U ξ , ξ = c t x − 1 , 在哪里 p , 问 , c 是常数待定。我们发现 (12) ∂ α u ∂ t α = 1 Γ 1 − α ∂ ∂ t ∫ 0 t x 问 / p U c t / x − 1 t − τ α d τ 。

集 y = c t / x − 1 ;然后 t − τ = x / c ξ − y , ∂ / ∂ t = x / c d / d ξ ,然后方程( 12)成为 (13) ∂ α u ∂ t α = 1 Γ 1 − α c x d d ξ ∫ − 1 ξ x 问 / p U y x / c α ξ − y α x c d y = c α x 问 − α p p d α U ξ d ξ α , (14) ∂ u ∂ x = x 问 − p p 问 p U ξ − ξ + 1 U ′ ξ , (15) ∂ 2 u ∂ x 2 = x 问 − 2 p p 问 问 − p p 2 U ξ + 2 p − 问 p ξ + 1 U ′ ξ + ξ + 1 2 U ′ ′ ξ , (16) ∂ 3 u ∂ x 3 = x 问 − 3 p p 问 问 − p 问 − 2 p p 3 U ξ + 3 问 − p 2 p − 问 p 2 ξ + 1 U ′ ξ + 3 问 − 6 p p ξ + 1 2 U ′ ′ ξ − ξ + 1 3 U ′ ′ ′ ξ 。

插入( 13)和( 16)方程( 10)导致 (17) c α x 问 − α p p d α U ξ d ξ α = x 4 问 − 3 p p T ξ U 3 ξ ,

它很容易找到 问 − α p = 4 问 − 3 p , 这是 (18) 问 p = 1 − α 3 。

然后,读取相应的普通非线性分数哈利Dym方程 (19) c α d α U ξ d ξ α = T ξ U 3 ξ 。

我们要特别的解决方案( 19)的形式: (20) U ξ = N ξ ρ , ξ ≥ 0 0 , ξ < 0 。

用( 20.)方程( 19)给 (21) c α N Γ 1 + ρ Γ 2 − α + ρ 1 − α + ρ ξ ρ − α = 问 问 − p 问 − 2 p p 3 ξ 3 + 3 问 − p 2 p − 问 p 2 ξ + 1 ρ ξ 2 + 3 问 − 6 p p ξ + 1 2 ρ ρ − 1 ξ − ξ + 1 3 ρ ρ − 1 ρ − 2 N 4 ξ 4 ρ − 3 , 导致 ρ − α = 4 ρ − 3 , 然后 (22) ρ = 1 − α 3 。

通过使用( 18)和( 22),从方程( 21),我们得到 (23) N = 18 3 − 2 α c α Γ 2 − 1 / 3 α α 3 − 9 α Γ 3 − 4 / 3 α 1 3 。

因此,我们得到方程的行波相似的解决方案( 10)如下: (24) u x , t = x 问 p N ξ ρ = N c t − x 1 − 1 3 α = 18 3 − 2 α c α Γ 2 − 1 / 3 α α 3 − 9 α Γ 3 − 4 / 3 α 1 3 c t − x 1 − 1 3 α 。

从( 23),我们得到 (25) c = N 3 α 3 − 9 α Γ 3 − 4 / 3 α 18 3 − 2 α Γ 2 − 1 / 3 α 1 α 。

插入( 25)( 24),我们终于获得了 (26) u x , t = x 问 p N ξ ρ = N N 3 α 3 − 9 α Γ 3 − 4 / 3 α 18 3 − 2 α Γ 2 − 1 / 3 α 1 α t − x 1 − 1 3 α 。

为了获得time-fractional扩散方程的数值解 (27) ∂ α u ∂ t α = u 2 u x x , 0 < α < 1 , 我们考虑到相似变换 (28) u = x 问 p U ξ , ξ = x − 1 p t , 在哪里 U ξ , ξ , p , 问 是常数待定。我们发现 (29) ∂ α u ∂ t α = 1 Γ 1 − α x − 1 p d d ξ ∫ 0 ξ x 问 / p U τ x − α / p ξ − τ α x 1 p d τ = x 问 − α p d α U ξ d ξ α , (30) ∂ u ∂ x = x 问 − p p 问 p U ξ − 1 p ξ U ′ ξ , (31) ∂ 2 u ∂ x 2 = x 问 − 2 p p 问 问 − p p 2 U ξ + p − 2 问 + 1 p 2 ξ U ′ ξ + 1 p 2 ξ 2 U ′ ′ ξ 。

用( 29日)和( 31日)( 27),我们有相应的普通非线性部分扩散方程 (32) d α U ξ d ξ α = 问 问 − p p 2 U 3 ξ + p − 2 问 + 1 p 2 ξ U 2 ξ U ′ ξ + 1 p 2 ξ 2 U 2 ξ U ′ ′ ξ , p − 问 = α 2 。

在下面,我们将讨论它的数值解。在裁判。 12),假设一个给定的函数 f t 已经连续第一和第二衍生品,那么我们得到了什么 (33) f α t = t 1 − α Γ 2 − α f 1 t + ∑ n = 1 ∞ Γ n − 1 + α Γ α − 1 n ! t n ∫ 0 t τ n f 2 τ d τ + f 0 t α Γ 1 − α 。

利用分部积分法在右边 (34) f α t = 1 Γ 2 − α f 1 t 1 + ∑ n = 1 ∞ Γ n − 1 + α Γ α − 1 n ! t 1 − α − α − 1 t α f t + ∑ n = 2 ∞ Γ n − 1 + α Γ α − 1 n − 1 ! f t t α + V n ~ t n − 1 + α + f 0 t α Γ 1 − α , 的时刻 V n ~ 读取 (35) V n ~ = 1 − n ∫ 0 t τ n − 2 f τ d τ , n = 2 , 3 , ⋯

作为一个应用程序,我们在资金有限的条件( 34),也就是说,我们 n = 2 , 3 , ⋯ , N 与合适的选择 N N = 7 。因此,从分数阶导数公式后, (36) f α t = 1 Γ 2 − α f 1 t 1 + ∑ n = 1 N Γ n − 1 + α Γ α − 1 n ! t 1 − α − α − 1 t α f t + ∑ n = 2 N Γ n − 1 + α Γ α − 1 n − 1 ! f t t α + V n ~ t n − 1 + α + f 0 t α Γ 1 − α , 在哪里 V n ~ 是由( 35)。类似于参的方法。( 13- - - - - - 15),分数方程可以被一个一阶方程组的整数阶使用( 36)。

接下来,我们考虑方程( 32)。我们利用替换 x 1 = U , x 2 = U 1 和( 35表达分数阶导数) U α 。然后,我们有以下一阶方程组( ξ = t ) (37) x 1 1 = x 2 , x 2 1 = p 2 x 1 2 t 2 Γ 2 − α x 2 t 1 + ∑ n = 1 N Γ n − 1 + α Γ α − 1 n ! t 1 − α − α − 1 t α x 1 t + ∑ n = 2 N Γ n − 1 + α Γ α − 1 n − 1 ! x 1 t t α + V n ~ t n − 1 + α + α + 1 − p t x 2 t − α 2 − 2 α p 4 t 2 x 1 t , 变量的微分方程 V n ~ , n = 2 , ⋯ , 7 (38) V 2 ~ 1 t = − x 1 t , V 3 ~ 1 t = − 2 t x 1 t , ⋯ = ⋯ , V 7 ~ 1 t = − 6 t 5 x 1 t , 受 (39) x 1 0 = x 0 , x 2 0 = v 0 , V 2 ~ 0 = 0 , V 3 ~ 0 = 0 , ⋯

相似变换space-fractional扩散/哈利Dym方程( 2)类似于对应的讨论time-fractional扩散/哈利Dym方程( 1)。采取以下转换: (40) t = λ t ~ , x = λ p x ~ , u = λ 问 u ~ x ~ , t ~ 。

方程( 2)转换为 (41) λ 问 − 1 ∂ u ~ ∂ t ~ = λ 问 + β 问 − β p u ~ β ∂ β u ~ ∂ x ~ β , 这给了 (42) p − 问 = 1 β 。

而言, (43) x x ~ = t t ~ 1 p , u u ~ = t t ~ 问 , 我们有 (44) ξ = t − p x , u = t 问 U ξ 。

然后,它很容易找到 (45) u t = t 问 − 1 问 U ξ − p ξ U ′ ξ ,

为 n − 1 < β < n , 利用定义( 5),一个可以计算 (46) d β u x , t d x β = 1 Γ n − β ∂ n ∂ x n ∫ 0 x u x ~ , t x − x ~ β + 1 − n d x ~ 。

让 (47) 我 x , t = 1 Γ n − β ∫ 0 x u x ~ , t x − x ~ β + 1 − n d x ~ 。

我们有 (48) ∂ n 我 x , t ∂ x n = 1 Γ n − β ∂ n ∂ x n ∫ 0 x t 问 U t − p x ~ x − x ~ β + 1 − n d x ~ 。

集 ζ = t − p x ~ ;然后,我们有 (49) x − x ~ = t p ξ − ζ , ∂ n ∂ x n = t − n p d n d ξ n 。

用上述计算方程( 46),我们有 (50) d β u x , t d x β = 1 Γ n − β t − n p d n d ξ n ∫ 0 ξ t 问 U ζ t p t p β + 1 − n ξ − ζ β + 1 − n d ζ = t 问 − β p d β U ξ d ξ β 。

将上述结果插入( 2)的收益率 (51) t 问 − 1 问 U ξ − p ξ U ′ ξ = t 问 + β 问 − β p U β ξ d β U ξ d ξ β , 导致 (52) p − 问 = 1 β , 相当于( 42)。因此,我们有以下部分常微分系统: (53) 问 U ξ − p ξ U ′ ξ = U β ξ d β U ξ d ξ β 。

让我们考虑这种形式的解决方案: (54) U ξ = W ξ σ 然后插入( 54)( 53);我们有 (55) 问 − p σ ξ σ = W β Γ 1 + σ Γ 2 + σ − β 1 − β + σ ξ σ + σ β − β , 这给了 σ = σ + σ β − β ,这是 (56) σ = 1 。

的( 52)和( 56),从方程( 55),我们得到 (57) W = Γ 3 − β β β − 2 1 β 。

然后,我们得到以下方程相似解决方案( 2): (58) u x , t = Γ 3 − β β β − 2 1 β x t − 1 β 。

类似的讨论time-fractional哈利Dym方程( 10),我们可以获得相似的行波解space-fractional扩散/哈利Dym方程( 2)。一个合适的相似变换读取获得此解决方案 (59) u = t 问 p U ξ , ξ = x t − c ¯ , 在哪里 p , 问 , c 是常数以后待定。我们可以看到, (60) ∂ u ∂ t = t 问 − p p 问 p U ξ − ξ + c ¯ U ′ ξ , (61) ∂ β u ∂ x β = 1 Γ n − β ∂ n ∂ x n ∫ 0 x t 问 / p U x ¯ / t − c ¯ x − x ¯ β + 1 − n d x ¯ 。

集 z = x ¯ / t − c ¯ ,然后 x − x ¯ = t ξ − z , ∂ n / ∂ x n = t − n d n / d ξ n ;然后,方程( 61年)成为 (62) ∂ β u ∂ x β = 1 Γ n − β t − n d n d ξ n ∫ − 1 ξ t 问 / p U z t β + 1 − n ξ − z β + 1 − n t d z = t 问 − β p p d β U ξ d ξ β 。

插入( 60)和( 62年)( 2)的收益率 (63) t 问 − p p 问 p U ξ − ξ + c ¯ U ′ ξ = t 问 + β 问 − β p p U β ξ d β U ξ d ξ β , 衍生出的 (64) 问 p = 1 − 1 β 。

因此,我们得到以下部分常微分系统: (65) d β U ξ d ξ β = 1 − 1 β U 1 − β ξ − ξ + c ¯ U − β ξ U ′ ξ 。

我们要特别的解决方案( 65年)的形式 (66) U ξ = U 1 ξ δ , ξ ≥ 0 0 , ξ < 0 。

用( 66年)方程( 65年)给 (67) U 1 Γ 1 + δ Γ 2 + δ − β 1 − β + δ ξ δ − β = U 1 1 − β 1 − 1 β ξ − δ ξ + c ¯ ξ δ − δ β − 1 , 这意味着 (68) δ = 1 − 1 β 。

然后,我们有 (69) U 1 = c ¯ Γ 3 − β − 1 / β β − 1 Γ 2 − 1 / β 1 β 。

因此,我们得到下面的行波相似的解决方案: (70) u x , t = c ¯ Γ 3 − β − 1 / β β − 1 Γ 2 − 1 / β 1 β x − c ¯ t 1 − 1 β 。

本文通过相似变换,两个非线性模型time-fractional和space-fractional扩散/哈利Dym方程转化为相应的普通分数微分方程,提出了四个相似的解决方案,包括行波相似解和数值解。本文中提供的技术可以应用到其他部分偏微分方程,如multi-equation系统和( 2 + 1 维方程,得到更多的各种相似解决方案,这将丰富和补充了已有的结果。