AMP 数学物理学进展 1687-9139. 1687-9120 后维 10.1155 / 2020/5631684 5631684 研究文章 氮化硼纳米锥与纳米管的连接 https://orcid.org/0000-0003-2382-6553 Alshammari 那霸 麦金 麦金 数学系 科学与理论研究学院 沙特电子大学 沙特阿拉伯 seu.edu.sa 2020 30. 4 2020 2020 25. 03 2020 16 04 2020 30. 4 2020 2020 版权所有©2020 Nawa alshammari。 这是一篇在知识共享署名许可下发布的开放存取的文章，它允许在任何媒体上无限制地使用、传播和复制，只要原始作品被适当地引用。

实验观察到氮化硼的不同纳米结构，如富勒烯、管、锥和石墨烯。由于它们的物理、化学和电子特性，使得它们在许多纳米级器件中得到了广泛的应用，因此受到了广泛的关注。纳米结构之间的连接产生了新的结构，具有优异的性能和潜在的应用于扫描隧道显微镜探针和其他纳米尺度器件的设计，作为药物传递和液体分离的载体。本文利用变分法模拟了两种类型的氮化硼纳米结构，即氮化硼纳米管和氮化硼纳米锥之间的连接。根据连接曲线的曲率，可将这些结构的连接分为两种模型。模型I指的是连接剖面只包含正曲率，模型II同时包含正曲率和负曲率。这里的主要目标是阐明基本的基础结构，从这个结构可以将任何这样的小扰动视为对理想模型的偏离。对于这种连接场景，我们成功地提出了将氮化硼纳米管连接到五个不同角度的氮化硼纳米锥的简单模型。

 1.介绍

氮化硼(BN)纳米结构是近年来广泛研究的热点。氮化硼纳米结构是含有硼和氮原子的化合物。它们在几何结构上与碳纳米材料相似，但在物理化学性质上有所不同。特别是氮化硼在纳米材料中的重要作用，因为它具有电子、光学、机械和磁性等特性。具有高的抗氧化性、高的热导率、恒定的宽带隙和较低的毒性。这使它们成为在不同条件下应用的有前途的候选者[ 1]．与碳纳米结构类似，纳米尺度下的BN具有不同的结构，如纳米管、薄片、富勒烯和纳米锥[ 2]．

氮化硼纳米管(BNNTs)于1994年首次被预测并于1995年合成。通过将石墨烯薄片滚动成圆柱体，可以生成BNNTs。由于它们不同的物理性质，近年来引起了人们的广泛关注。例如，它们具有高的热导率，机械强度为1.2 TPa的弹性模量，宽带隙约为5 ．与碳NTS相比，5eV以卓越的辐射屏蔽[ 3.， 4]．此外，它们在空气和惰性气氛中是稳定的。基于这些奇妙的特性，BNNTs有不同的应用，如生物医学应用，特别是药物输送和骨支架，电子和微电子机械设备，以及能量存储[ 3.， 5， 6]．此外，它们可以用作CNT的替代方案来帮助提高材料的强度[ 4]．

氮化硼纳米锥是氮化硼纳米结构的另一种形式。作为帽状纳米管的末端，bnnc于1994年被发现;然后，它们被不同的基团合成为自由结构。bnnc可以通过轧制纳米结构薄片制成[ 1， 7]．它们的物理、化学和电子特性，如化学氧化惰性、机械韧性和热稳定性，吸引了研究人员更多的关注，以探索其在不同方面的潜在应用[ 2， 8]．

纳米结构的加入可以提高纳米结构的理化性能和化学性能，具有新的应用前景。特别是，新产生的结构对扫描隧道显微镜探针、能量存储和其他电子设备作为药物传递载体的设计非常有用[ 9]．

研究[ 9]， [ 10- - - - - - 13利用变分法确定两个碳纳米结构之间的连接曲线，使只依赖于轴向曲率的弹性能最小化。后( 9- - - - - - 14，本文将该模型扩展到两种氮化硼纳米结构:氮化硼纳米管和氮化硼纳米锥之间的连接曲线。我们评论说，这个模型没有考虑化学问题，如原子和键的位置。最后，使用取决于轴向和旋转曲率的Willmore能量来确定纳米结构之间的连接，产生了类似的使用弹性能的连接轮廓，如[ 15]．此外，许多研究已经使用和研究了类似的技术，例如[ 16- - - - - - 18]和[ 19]．

在下一节中，我们将陈述变量演算的基本方程，以模拟BNNTs和BNNCs之间的连接区域。即模型I为正连接曲率，模型II为正连接曲率和负连接曲率。结果和讨论在本节中给出 3.．部分 4提供了结论。

 2.模型

在该部分中，配制了用于加入氮化硼纳米碘和氮化硼纳米管的模型的基本变分方程。特别地，变分性微积分用于将线路平稳地连接到垂直BN纳米管的线采用的曲线，其中指定了连接曲线的电弧长度和BN纳米尼碱基的缺陷部位。因此，距离 y -方向 y 0 未指定连接到圆柱形管，并将其作为解决方案的一部分。

用变分法求曲线 y x ，带有弧长元素 d 年代 ，使能量功能最小化 J y 那是由 （1） J y ＝ ∫ 0 ℓ κ 2 d 年代 + λ ∫ 0 ℓ d 年代 ， 在哪里 κ 曲率, λ 拉格朗日乘子是否对应于定长约束 ℓ 是加入曲线的长度。加入区域的界限是 x 0 和 x 1 ,在 x ＝ x 0 ；我们有 年代 ＝ 0 和AT. x ＝ x 1 ；我们有 年代 ＝ ℓ ．用于两个维度的曲线描述为图形 y ＝ y x ， 我们有 κ ＝ y ¨ / 1 + y ̇ 2 3. / 2 , d 年代 ＝ 1 + y ̇ 2 1 / 2 d x ，所以这个方程( 1)成为 （2） J y ＝ ∫ 一个 b 罪 γ / 2 y ¨ 2 1 + y ̇ 2 5 / 2 d x + λ ∫ 一个 b 罪 γ / 2 1 + y ̇ 2 1 / 2 d x ， 在整篇论文中，点表示关于的微分 x ．应用两次变分算子和分部积分，标准方程可以写成 （3) δ J y ＝ F y ̇ − d d x F y ¨ δ y + F y ¨ δ y ̇ 一个 b 罪 γ / 2 + ∫ 一个 b 罪 γ / 2 F y − d d x F y ̇ + d 2 d x 2 F y ¨ δ y d x ， 下标表示偏导数这里是函数 F 是（谁）给的 (4） F y ̇ ， y ¨ ＝ y ¨ 2 1 + y ̇ 2 5 / 2 + λ 1 + y ̇ 2 1 / 2 ．

通过强加函数的连续性 y 及其衍生物，可以确定连接到纳米核尼的边界条件 （5) y b 罪 γ 2 ＝ b 因为 γ 2 ， y ̇ b 罪 γ 2 ＝ 床 γ 2 ．

纳米管的高度 y 0 是未知的，则要求由 (6） F y ̇ − d d x F y ¨ x ＝ 一个 ＝ 0 ．

的价值 y ̇ ，在模型I中，范围为 床 γ / 2 ,在 x ＝ b 罪 γ / 2 ， 到 ∞ 在 x ＝ 一个 ．因此，该模型的边界条件是 y ̇ 一个 ＝ ∞ ．模型二, y ̇ 范围从 床 γ / 2 到 ∞ ，它改变符号，然后取值范围 − ∞ 转向之前到了一些有限的负值 − ∞ ．因此，模型II的情况下的边界条件是 y ̇ 一个 ＝ − ∞ ．从方程( 3.的欧拉-拉格朗日方程 F x ， y ， y ̇ ， y ¨ ，是由 （7） F y − d d x F y ̇ + d 2 d x 2 F y ¨ ＝ 0 ．

解这个方程并利用上面的可选边界条件， (8） F − y ¨ F y ¨ ＝ − α ， 在哪里 α 是一个任意常数的集成。现在，取代（ 4) ( 8),曲率 κ 可以写作[ 11］， （9) κ ＝ ± λ + α 1 + y ̇ 2 1 / 2 1 / 2 ．

2．1．模型I:正曲率

模型I中的曲率沿整个弧长为正 ℓ 如图所示 1(一)．基于此，来自( 9)仅被考虑。通过使用 y ̇ ＝ 棕褐色 θ 方程( 9)成为 （10） κ ＝ λ + α 因为 θ 1 / 2 ．

模型I:正曲率，模型II:正曲率和负曲率[ 11]．

我的模型

模型二世

从曲率的定义 κ ＝ y ¨ / 1 + y ̇ 2 3. / 2 ，用同样的替换 y ̇ ，并通过引入新的参数变量来简化为此 ϕ 定义为 (11） 因为 θ ＝ 1 − 2 k 2 罪 2 ϕ ， 在哪里 k ＝ γ + α / 2 α 1 / 2 ,给 (12） d y d ϕ ＝ 2 β k 罪 ϕ ， 在哪里 β ＝ 2 / α 1 / 2 ．现在通过将此方程集成并使用该方程式的边界条件 b 罪 γ / 2 ， b 因为 γ / 2 与纳米尼核素的附着点找到整合的常数，我们有 （13） y ϕ ＝ 2 β k 因为 ϕ 0 − 因为 ϕ + b 因为 γ 2 ， 在哪里 （14） ϕ 0 ＝ 罪 − 1 1 − 罪 γ / 2 2 k 2 1 / 2 ， 对应于 θ ＝ π / 2 − γ / 2 ， 在点 b 罪 γ / 2 ， b 因为 γ / 2 ．现在如果我们用管子开口的边界条件在这一点 一个 ， y 0 与 ϕ t ＝ 罪 − 1 1 / 2 k ， 在哪里 θ ＝ π / 2 ， 我们发现 （15） y 0 ＝ 2 β k 因为 ϕ 0 − 因为 ϕ + b 因为 γ 2 ， 在这个模型中 θ ∈ π / 2 − γ / 2 ， π / 2 ． 同样的,我们得到 （16） x ϕ ＝ b 罪 γ 2 + β 2 E ϕ ， k − E ϕ 0 ， k − F ϕ ， k − F ϕ 0 ， k ， 在哪里 F ϕ ， k 和 E ϕ ， k 分别表示第一类和第二类勒让德不完全椭圆积分。利用这一点的边界条件 一个 ， y 0 在露天管上，我们有 （17) 一个 − ＝ β 2 E ϕ t ， k − E ϕ 0 ， k − F ϕ t ， k − F ϕ 0 ， k ．

根据弧长的定义，我们有 (18） ℓ ＝ ∫ b 罪 γ / 2 一个 1 + y ̇ 2 1 / 2 d x ．

在替换 y ̇ ＝ 棕褐色 θ ，更改参数到 ϕ 如此 因为 θ ＝ 1 − 2 k 2 罪 2 ϕ ， 积分，我们有 （19） ℓ ＝ β F ϕ t ， k − F ϕ 0 ， k ．

现在，代入方程( 19)变成方程式( 17),我们得到 （20） μ ＝ 2 E ϕ t ， k − E ϕ 0 ， k F ϕ t ， k − F ϕ 0 ， k − 1 ， 在哪里 μ ＝ 一个 − b 罪 γ / 2 / ℓ ， 和 − 1 < μ < 1 ． 的规定值 一个 ， b ， γ , ℓ 方程( 20.)可以数值求解，以确定的值 k ．然后,用 k 在方程( 19)的价值 β 可以确定，因此， y 0 可从( 15) ［ 11]．

 2.2。二世模型二：正负曲率

该模型考虑两个区域，如图所示 1 (b)；第一个涉及从纳米锥体上的附着点开始的正曲率 b 罪 γ / 2 ， b 因为 γ / 2 直到临界点 x c ， y c 那里的曲线符号改变了。在本例中，我们遵循与上一节相同的过程。第二个区域从临界点开始 x c ， y c 到纳米管的附件点 一个 ， y 0 曲率为负的地方。参数值 θ 如前一节所定义的，临界点用 θ c ，从几何上考虑，我们有 0 < θ c < π / 2 ．同样的过程也适用于正曲率区域，该区域被曲率点所包围 κ ＝ 0 ；使用等式（ 10),我们发现 (21） θ c ＝ 因为 − 1 − λ α ．

应用参数变量 ϕ 由方程( 11),我们得到 ϕ ＝ π / 2 ,当 θ ＝ θ c ，由式( 13)及方程式( 16)，我们有参数方程 y c 和 x c 作为 (22） y c ＝ 2 β k 因为 ϕ 0 + b 因为 γ 2 ， (23） x c ＝ b 罪 γ 2 + β 2 E k − E ϕ 0 ， k − K k − F ϕ 0 ， k ， 在哪里 β ， k , ϕ 0 在最后一节中定义。 F ϕ 0 ， k 和 E ϕ 0 ， k 分别定义为常见的第一类和第二类不完全椭圆积分， k k 和 E k 分别为第一类和第二类完全椭圆积分。

同理，考虑方程的负号( 9）和整合，我们获得 (24） y ϕ ＝ 2 β k 因为 ϕ 0 + 因为 ϕ + b 因为 γ 2 ， 注意到 ϕ ＝ π / 2 ， 积分常数由 y ＝ y c ，然后使用方程( 22.) y c ．从纳米管附着点的边界条件，我们得到 ϕ ＝ ϕ t ，在这一点 一个 ， y 0 ， 所以我们有 (25） y 0 ＝ 2 β k 因为 ϕ 0 + 因为 ϕ t + b 因为 γ 2 ．

同样，取方程的负号( 9）并解决参数形式 x ， 我们发现 (26） x ϕ ＝ b 罪 γ 2 + β 2 2 E k − E ϕ ， k − E ϕ 0 ， k − 2 K k − F ϕ ， k − F ϕ 0 ， k ．

当时 一个 ， y 0 在哪里 ϕ ＝ ϕ t ， 我们有 (27） 一个 − b 罪 γ 2 ＝ β 2 2 E k − E ϕ t ， k − E ϕ 0 ， k − 2 K k − F ϕ t ， k − F ϕ 0 ， k ．

由这两个区域，得到弧长约束为 (28） ℓ ＝ ∫ b 罪 γ / 2 x c 1 + y ̇ 2 1 / 2 d x + ∫ x c 一个 1 + y ̇ 2 1 / 2 d x ， 通过使用 y ̇ ＝ 棕褐色 θ ，并更改为参数 ϕ ， （29) ℓ ＝ β 2 K k − F ϕ t ， k − F ϕ 0 ， k ， (30） μ ＝ 2 2 E k − E ϕ t ， k − E ϕ 0 ， k 2 K k − F ϕ t ， k − F ϕ 0 ， k − 1 ． 我们可以解决方程（ 30.）数字地找到值 k ，通过代入 k 在方程( 29.)，我们可以确定的价值 β 这 y 0 可以确定。注意这个等式( 20.与…一致 30.)的值 k ＝ 1 / 2 , k ＝ 1 − 罪 γ / 2 / 2 1 2 ． 为 k ＝ 1 / 2 ， 的价值 μ 用 μ 1 ,当 k ＝ 1 / 2 , k ＝ 1 − 罪 γ / 2 / 2 1 / 2 ， 的价值 μ 用 μ 2 ［ 11]．

 3.数值结果

在本节中，我们研究了当模型I和模型II被无量纲参数表征时的数值解 μ ＝ 一个 − b 罪 γ / 2 / ℓ ． 数字 2显示了 μ ＝ 一个 − b 罪 γ / 2 / ℓ ， 在哪里 − 1 < μ < 1 , B ＝ 1 / k 2 ．主要有两个区域;第一个区域是何时确定的 μ < μ 0 和价值 B < 2 ， 在哪里 μ 0 是渐近价值 μ 什么时候 k 趋于零，由[ 11］ （31) μ 0 ＝ 1 + 2 1 − 2 因为 ω ln 2 − 1 / 棕褐色 ω / 2 ， 在哪里 ω ＝ π − γ / 4 ．该区域可分为三个分区域。第一个分区域是何时 μ 3. < μ < μ 0 ， 在哪里 μ 3. 的渐近值是 μ 什么时候 k 倾向于 ∞ ［ 11］ (32） μ 3. ＝ 2 γ 1 − 因为 γ 2 ．

参数之间的关系 μ ＝ 一个 − b 罪 γ / 2 / ℓ , B ＝ 1 / k 2 ．

参数的值 B 在这个分区域为负值，负值为 α 一个虚构的模量 k 对于椭圆函数。第二个分区域是 μ 1 < μ < μ 3. ，参数的值 B 对应于 0 < B ≤. 2 ，积极的价值 α 和真正的 k ．第三个次区域是 − 1 < μ < μ 1 ，参数的值 B 在。。。之间 1 < B ≤. 2 ，为正值 α ．

第二个区域是什么时候 μ > μ 0 ，值的价值 B > 2 / 1 − 罪 γ / 2 ．该地区还涉及两个次区域;第一个次区域是 μ 0 < μ < μ 2 ，对应模型I，第二个分区域为 μ 2 < μ < 1 ，对应于模型二。参数的值 B 对于这两个分区域，为正，为负 α ．

基于上述结果，我们将纳米锥与纳米管连接，如图1和图2所示 3.和 4,分别。特别地，在这里，我们假设圆锥的高度相等，圆锥的半径由 r ＝ h 棕褐色 γ / 2 ．这五个可能的纳米锥都有固定的弧长 ℓ ＝ 3. ．

加入情节 y ＝ y x ，为模型I，为顶点角为 18 0 ∘ ， 112 ． 9 ∘ ， 83. ． 6 ∘ ， 6 0 ∘ ， 38. ． 9 ∘ , 19 ． 2 ∘ ， ℓ ＝ 3. , B ＝ − 10 ．

加入情节 y ＝ y x ，模型II为顶点角为的纳米锥 18 0 ∘ ， 112 ． 9 ∘ ， 83. ． 6 ∘ ， 6 0 ∘ ， 38. ． 9 ∘ , 19 ． 2 ∘ ， ℓ ＝ 3. , B ＝ 1．5 ．

 4.结论

本文采用常规应用数学建模在基本上离散的问题中确定氮化硼纳米管和氮化硼纳米酮之间的连接曲线。这些新的组合纳米结构可用于设计用于扫描隧道显微镜和其他纳米级装置的探针。特别地，变次差异用于最小化接合曲线的弹性能，这导致最小化共价键能量。在此加入期间，根据曲率的符号考虑两种模型：模型I仅指的阳性曲率，模型II指的是正负曲率。通过考虑这两种型号，我们加入两种氮化硼纳米结构，该纳米结构是纳米管和纳米能源。由于具有在锥体中的五边形中包括的顶层的真实物理复合结构，假设该系统被认为是轴对称的并且这是可以减少到两个维度的问题。这里的主要目的是制定轴对称模型，以便具有比较真实物理结构的参考依据，其中据信过度是小的。结果，这些模型导致复杂结构的重要近似。

 数据可用性

用于支持本研究结果的任何数据和信息将由作者根据要求提供。

 的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

 Vessally E。 莫拉塞尔 R。 Mousavi-Khoshdel s M。 Esrafili M. D. Hosseinian 一个。 Edjlali l 纯铝掺杂氮化硼纳米片、纳米笼和纳米锥上clcn吸附的密度泛函研究 薄固体电影 2018 645 363 369 10.1016 / J.TSF.2017.11.002 2 - s2.0 - 85033363887 y J. W. l k . M。 用原子连续体方法预测单壁氮化硼纳米管和纳米锥的弹性特性 复合结构 2015 125 489 498. 10.1016 / j.compstruct.2015.02.043 2 - s2.0 - 84923920255 Kakarla A. B. 香港 C。 香港 W. 香港 我。 硼氮化物纳米管 - 聚己内酯纳米复合材料的合成与表征 材料科学论坛 2019 951 4 39. 44. 10.4028 / www.scientific.net / msf.951.39 2 - s2.0 - 85071645765 高桥 l 纳卡瓦 T. 高桥 K。 八角形氮化硼纳米管的电子结构 国际量子化学杂志 2017 118 11 e25542 10.1002 / qua.25542 2 - s2.0 - 85033594174 库马尔 V. Lahiri D。 Lahiri 我。 氮化硼纳米管和氮化硼纳米片的合成及其在生物成像中的应用 今天材料:诉讼 2018 5 8 16756 16762 10.1016 / j.matpr.2018.06.037 2 - s2.0 - 85052976440 扇子 G。 朱 年代。 徐 H。 氮化硼纳米管与黄酮醇相互作用机理及光学性质的密度泛函理论研究 国际量子化学杂志 2018 118 7 e25514 10.1002 / qua.25514 2 - s2.0 - 85031107693 Hosseinian 一个。 薪水 M。 arshadi 年代。 Vessally E。 Edjlali l 光气与不同bn纳米锥的相互作用:Dft研究 固态通信 2018 269. 23. 27. 10.1016 / j.ssc.2017.10.011 2 - s2.0 - 85032267783 布里托 E。 席尔瓦 t·S。 Guerra. T. 雷特 l 代理 年代。 Freitas 一个。 Kaschny J. R. 双壁氮化硼纳米锥的结构和电子性能 物理学E:低维系统和纳米结构 2018 95. 125 131. 10.1016 / j.physe.2017.09.019 2-S2.0-85030096667 Alshammari N. A. Thamwattana N。 麦科伊 J。 Duangkamon B。 考克斯 B。 爬坡道 j . M。 利用变异演算对各种碳纳米结构的连接进行建模 连续、离散和脉冲系统的动力学系列B:应用与算法 2018 25. 307 339 考克斯 b . J。 爬坡道 j . M。 纳米管垂直接合到平面板的变分方法 物理学杂志A：数学与理论 2008 41. 12 125203 125212 10.1088 / 1751 - 8113/41/12/125203 2 - s2.0 - 41149097208 宝邦 D。 考克斯 b . J。 爬坡道 j . M。 模拟纳米锥和纳米管的连接 数学化学杂志 2011 49. 2 475 488 10.1007 / s10910 - 010 - 9753 - 8 2 - s2.0 - 78751644738 宝邦 D。 考克斯 b . J。 爬坡道 j . M。 连续模型，用于加入两个富勒烯 哲学杂志 2008 88. 23. 2953 2964 10.1080 / 14786430802446682 2 - s2.0 - 65249084019 宝邦 D。 考克斯 b . J。 爬坡道 j . M。 建模两个共轴碳纳米管之间的连接曲线 数学和物理学是我们的时代 2012 63. 2 331 338 10.1007 / s00033 - 011 - 0140 - 5 2 - s2.0 - 84859515970 宝邦 D。 考克斯 b . J。 爬坡道 j . M。 氮化硼纳米管和氮化硼薄片之间的结 纳米技术 2008 19 7 075704 10.1088 / 0957 - 4484/19/7/075704 2 - s2.0 - 38949119362 21817652. Sripaturad P。 Alshammari N. A. Thamwattana N。 麦科伊 j . A。 宝邦 D。 将更多的能量用于碳纳米结构的连接 哲学杂志 2018 98. 16 1511. 1524 10.1080 / 14786435.2018.1442029 2 - s2.0 - 85042943424 张 l Arain m B。 巴蒂 M . M。 Zeeshan 一个。 Hal-Sulami H。 磁性雷诺数对纳米流体旋转圆形板之间的旋转术微生物游泳的影响 应用数学和力学 2020 41. 4 637 654 10.1007 / s10483 - 020 - 2599 - 7 麦金 M。 他 年代。 双孔隙热弹性偶极体的存在性和稳定性结果 连续介质力学与热力学 2016 28. 6 1645 1657 10.1007 / s00161 - 016 - 0503 - 4 2-S2.0-84962694163 麦金 M。 Ellahi R。 Chirila 一个。 含空洞弹性偶极体的Saint-Venant问题的解 喀尔巴阡数学杂志 2017 33. 219 232 不停 l Nicolescu A. E. 圆柱域上一类各向异性方程的超定问题 应用科学中的数学方法 2020 1 9 10.1002 / MMA.6356