AMP 数学物理的发展 1687 - 9139 1687 - 9120 Hindawi出版公司 10.1155 / 2015/978294 978294年 研究文章 施泰纳公式和极惯性矩在复平面封闭平面类似的运动 Tutar 世界货币基金 森 出席 克莱顿 约翰。D。 数学系 Ondokuz马邑村大学 55139年Kurupelit萨姆松 土耳其 omu.edu.tr 2015年 1 9 2015年 2015年 29日 12 2014年 23 02 2015年 1 9 2015年 2015年 版权©2015年世界货币基金Tutar和出席sen。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

施泰纳区和极惯性矩公式表示在复平面单参数封闭平面类似的运动。施泰纳点或Steiner正常的概念被描述根据旋转数是否不同于零或等于零,分别。移动杆点了施泰纳点或与它的组件及其关系Steiner正常被指定。绞车的矢状面运动被认为是一个例子。这种运动被组成的双铰链固定绞车的控制面板和绞车的移动手臂。本研究的结果在第二部分申请这个运动。

 1。介绍

几何对象滚动直线上,使一个完整的,的一些性质的路径点的面积是由( 1]。施泰纳地区公式和霍迪克定理在单参数封闭平面类似的动作所表达的是( 2]。我们计算的表达式施泰纳公式相对于移动坐标系下的单参数封闭的平面在复平面类似的运动。如果点的移动平面封闭同一地区躺在一个圆,这个圆的中心被称为施泰纳点( h = 1 )[ 3, 4]。如果这些点躺在一条线,我们使用Steiner正常而不是施泰纳点。然后我们获得的移动杆点封闭平面类似的运动。我们处理极惯性矩的路径由一个封闭的平面类似的运动。此外,我们表示环路面积之间的关系,一个路径和极惯性矩。作为一个例子,一个绞车的矢状面运动所描述的双铰链固定和移动被认为是。施泰纳面积公式,移动杆点,这个运动的极惯性矩计算。此外,施泰纳公式之间的关系和极惯性矩表示。

 2。类似的动作在复平面封闭

我们考虑单参数封闭平面运动类似的两个参考系统:固定 E ′ 和移动 E ,它们的起源 O , O ′ 并在复平面方向。然后,我们考虑运动相对于固定坐标系(直接运动)。

通过位移向量 O O ′ = U 和 O ′ O = U ′ 和总转动角 α ( t ) ,定义的运动变换 (1) X ′ ( t ) = h ( t ) X e 我 α ( t ) + U ′ ( t ) 称为单参数封闭平面类似的运动,用吗 E / E ′ ,在那里 h 是一个类似的运动的规模 E / E ′ 和 X 和 X ′ 是位置向量对一个点的移动和固定的直角坐标系统 X ∈ E ,分别。类似的规模 h 和向量 X ′ 和 U , U ′ 真正的参数是连续可微的函数 t 。

在( 1), X ′ ( t ) 是固定的轨迹对系统的点吗 X 属于移动系统。如果我们更换 U ′ = - - - - - - U e 我 α ( t ) 在( 1),运动可以写成 (2) X ′ t = h t X - - - - - - U t e 我 α ( t ) 。 上述方程的坐标 (3) X ′ t = x 1 ′ t + 我 x 2 ′ t , U ′ t = u 1 ′ t + 我 u 2 ′ t , X = x 1 + 我 x 2 , U t = u 1 t + 我 u 2 t 。 使用这些坐标,我们可以写 (4) x 1 ′ t + 我 x 2 ′ t = h t x 1 - - - - - - u 1 + 我 h t x 2 - - - - - - u 2 · ( 因为 ⁡ α ( t ) + 我 罪 α ( t ) ) 。 从( 4)的组件 X ′ t 可以作为 (5) x 1 ′ t = 因为 ⁡ α t h t x 1 - - - - - - u 1 - - - - - - 罪 α t h t x 2 - - - - - - u 2 , x 2 ′ t = 罪 α t h t x 1 - - - - - - u 1 + 因为 ⁡ α t h t x 2 - - - - - - u 2 。 使用的坐标( 2), (6) X ′ t = x 1 ′ t x 2 ′ t , U ′ t = u 1 ′ t u 2 ′ t , X = x 1 x 2 , U t = u 1 t u 2 t 和旋转矩阵 (7) R t = 因为 ⁡ ⁡ α t - - - - - - 罪 ⁡ α t 罪 ⁡ α t 因为 ⁡ ⁡ α t , 我们可以获得 (8) X ′ t = R t h t X - - - - - - U t 。 如果我们区分( 5),我们有 (9) d x 1 ′ = - - - - - - 罪 α h x 1 - - - - - - u 1 d α + 因为 ⁡ α d h x 1 - - - - - - d u 1 - - - - - - 因为 ⁡ α h x 2 - - - - - - u 2 d α - - - - - - 罪 α d h x 2 - - - - - - d u 2 , d x 2 ′ = 因为 ⁡ α h x 1 - - - - - - u 1 d α + 罪 α d h x 1 - - - - - - d u 1 - - - - - - 罪 α h x 2 - - - - - - u 2 d α + 因为 ⁡ α d h x 2 - - - - - - d u 2 。

2.1。施泰纳公式类似的运动

的公式 F 一个封闭的平面曲线的点 X ′ 是由 (10) F = 1 2 ∮ x 1 ′ d x 2 ′ - - - - - - x 2 ′ d x 1 ′ 。 如果( 5)和( 9)放置在( 10),我们有 (11) 2 F = x 1 2 + x 2 2 ∮ h 2 d α + x 1 ∮ - - - - - - 2 h u 1 d α - - - - - - h d u 2 + u 2 d h + x 2 ∮ - - - - - - 2 h u 2 d α + h d u 1 - - - - - - u 1 d h + ∮ u 1 2 + u 2 2 d α + u 1 d u 2 - - - - - - u 2 d u 1 。 下面的表达式中使用( 11): (12) ∮ - - - - - - 2 h u 1 d α - - - - - - h d u 2 + u 2 d h = 一个 * , ∮ - - - - - - 2 h u 2 d α + h d u 1 - - - - - - u 1 d h = b * , ∮ u 1 2 + u 2 2 d α + u 1 d u 2 - - - - - - u 2 d u 1 = c 。 标量的术语 c 这是相关的轨迹运动系统的起源可以如下通过吗 F o : = F x 1 = 0 , x 2 = 0 : (13) 2 F o = c 。 的系数 米 (14) 米 = ∮ h 2 d α = h 2 t 0 ∮ d α = h 2 t 0 2 π ν 与旋转数 ν 决定的 F =常数。描述圆或直线。如果 ν ≠ 0 ,然后我们有圈子。如果 ν = 0 直线,圆减少。如果( 12),( 13)和( 14)取代( 11),然后 (15) 2 F - - - - - - F o = x 1 2 + x 2 2 米 + 一个 * x 1 + b * x 2 可以获得。

2.1.1。不同的参数化积分系数

方程( 8通过分化对) t 收益率 (16) d X ′ = d R h X - - - - - - U + R d h X - - - - - - d U 。 如果 X = P = p 1 p 2 (南极点), (17) 0 = d X ′ = d R h P - - - - - - U + R d h P - - - - - - d U 可以写。如果 U = u 1 u 2 解决( 17), (18) u 1 = h p 1 + p 2 d h d α - - - - - - d u 2 d α , u 2 = h p 2 - - - - - - p 1 d h d α + d u 1 d α 被发现。

如果( 18)在( 12), (19) 一个 * = ∮ - - - - - - 2 h 2 p 1 d α + ∮ - - - - - - 2 h d h p 2 + h d u 2 + u 2 d h , b * = ∮ - - - - - - 2 h 2 p 2 d α + ∮ 2 h d h p 1 - - - - - - h d u 1 - - - - - - u 1 d h 可以重写。也( 19)可以分别表示为 (20) 一个 : = ∮ - - - - - - 2 h 2 p 1 d α , b : = ∮ - - - - - - 2 h 2 p 2 d α , (21) μ 1 : = ∮ - - - - - - 2 h d h p 2 + h d u 2 + u 2 d h , μ 2 ≔ ∮ 2 h d h p 1 - - - - - - h d u 1 - - - - - - u 1 d h , μ = μ 1 μ 2 。 使用( 20.)和( 21),面积公式 (22) 2 F - - - - - - F o = x 1 2 + x 2 2 米 + 一个 x 1 + b x 2 + μ 1 x 1 + μ 2 x 2 是发现。

 2.2。施泰纳点或Steiner正常类似的运动

通过 米 ≠ 0 施泰纳点 年代 = 年代 1 , 年代 2 封闭的平面可以编写类似的运动 (23) 年代 j = ∮ h 2 p j d α ∮ h 2 d α , j = 1、2 。 然后 (24) ∮ h 2 p 1 d α = 年代 1 米 , ∮ h 2 p 2 d α = 年代 2 米 是发现。如果( 24)在( 20.通过考虑()和 22), (25) 2 F - - - - - - F o = 米 x 1 2 + x 2 2 - - - - - - 2 年代 1 x 1 - - - - - - 2 年代 2 x 2 + μ 1 x 1 + μ 2 x 2 是获得。方程( 25)称为Steiner封闭平面的面积公式类似的运动。

这个除以 米 完成广场,一个获得一个圆的方程 (26) x 1 - - - - - - 年代 1 - - - - - - μ 1 2 米 2 + x 2 - - - - - - 年代 2 - - - - - - μ 2 2 米 2 - - - - - - 年代 1 - - - - - - μ 1 2 米 2 - - - - - - 年代 2 - - - - - - μ 2 2 米 2 = 2 F - - - - - - F 0 米 。 所有的不动点的平面移动通过在相同轨道区域周围运动 E / E ′ 躺在同一个圆的中心 (27) 米 = 年代 1 - - - - - - μ 1 2 米 , 年代 2 - - - - - - μ 2 2 米 在平面上移动。

在的情况下 h t = 1 ,因为 μ 1 = μ 2 = 0 ,重点 米 和斯坦纳点 年代 一致( 3]。也通过 米 = 0 ,如果它被替换( 22),然后我们有 (28) 一个 + μ 1 x 1 + b + μ 2 x 2 - - - - - - 2 F - - - - - - F 0 = 0 。 方程( 28)是一条直线。如果没有完整的循环发生 η = 0 和圈变成了直线,换句话说,一个圆的中心位于无穷。(正常的平等的地区 28)是由 (29) n = 一个 + μ 1 b + μ 2 这叫做施泰纳正常( 5]。

 2.3。的移动杆点类似的运动

使用( 18),如果 P = p 1 p 2 已经解决了,那么杆点 P 的运动 (30) p 1 = d h ( d u 1 - - - - - - u 2 d α ) + h d α ( d u 2 + u 1 d α ) d h 2 + h 2 d α 2 , p 2 = d h ( d u 2 + u 1 d α ) - - - - - - h d α ( d u 1 - - - - - - u 2 d α ) d h 2 + h 2 d α 2 是获得。

为 米 ≠ 0 使用( 14)和( 23),我们到达的关系( 24施泰纳点和北极点之间)。

为 米 = 0 使用( 20.)和( 29日),我们到达Steiner正常和磁极点之间的关系如下: (31) 一个 b = - - - - - - 2 ∮ h 2 p 1 d α - - - - - - 2 ∮ h 2 p 2 d α = n - - - - - - μ 。

2.4。极地的转动惯量的类似的运动

极地的转动惯量” T ”象征着封闭的路径类似的运动。我们发现一个公式使用 T , 米 , n 在本节中,我们到达极地的转动惯量之间的关系” T “区”的公式 F “(见( 37))。施泰纳公式之间的关系和极地在极惯性矩一会儿是由( 6]。穆勒( 3还演示了一个关系极惯性矩在原点,而Tolke [ 7)检查关闭的关系函数和Kuruoğlu et al。 8广义穆勒的结果类似的运动。

如果我们使用 α 作为一个参数,我们需要计算 (32) T = ∮ x 1 ′ 2 + x 2 ′ 2 d α 沿着道路 X 。然后,使用( 5), (33) T = x 1 2 + x 2 2 米 + x 1 ∮ - - - - - - 2 h u 1 d α + x 2 ∮ - - - - - - 2 h u 2 d α + ∮ u 1 2 + u 2 2 d α 是获得。

我们需要计算的起源的惯性极时刻移动系统;因此 T o = T x 1 = 0 , x 2 = 0 ;一个获得 (34) T o = ∮ u 1 2 + u 2 2 d α 。 如果( 34)在( 33), (35) T - - - - - - T o = x 1 2 + x 2 2 米 + x 1 ∮ - - - - - - 2 h u 1 d α + x 2 ∮ - - - - - - 2 h u 2 d α 可以写。如果( 18)在( 35), (36) T - - - - - - T o = x 1 2 + x 2 2 米 + x 1 ∮ - - - - - - 2 h 2 p 1 d α - - - - - - 2 h d h p 2 + 2 h d u 2 + x 2 ∮ - - - - - - 2 h 2 p 2 d α + 2 h d h p 1 - - - - - - 2 h d u 1 获得并通过考虑( 22)和( 36),我们到达极地的转动惯量之间的关系和区域下面的公式: (37) T - - - - - - T o = 2 F - - - - - - F o + x 1 ∮ h d u 2 - - - - - - u 2 d h hhhhhhh + x 2 ∮ - - - - - - h d u 1 + u 1 d h 。

3所示。应用程序:绞车的运动

在前面的部分中我们强调三个概念:几何对象作为施泰纳点或Steiner正常,南极点,极地的转动惯量在复平面封闭的类似的运动。在本节中,我们想与这些可视化实验测量运动物体。因此,我们认为这些特征方向运动。

我们将展示如何使用的运动学对象可以应用在前面的部分。在研究中通过Dathe和Gezzi [ 5),他们认为人类在平面运动步态。作为一个例子,我们选择绞车的矢状面运动的一部分在运动。我们选择绞车,因为手臂的绞车可以在单参数扩展或收缩封闭平面类似的运动。绞车的运动有一个双铰链和“双枢纽”意味着它有两个系统,一个固定的手臂和绞车的手臂移动(图 1)。有一个控制面板的绞车固定系统的起源。” l “手臂可以扩展或收缩 h 参数。

作为一个双铰链绞车的怀抱。

 3.1。的数学模型

我们开始通过编写双铰链在笛卡尔坐标系的方程。然后我们定义、使用条件 米 = 0 施泰纳正常和总角与双铰链。

通过位移向量 O O ′ = U 和 O ′ O = U ′ 和总转动角 l - - - - - - k = α ,运动可以定义的转换 (38) X ′ ( t ) = h ( t ) X e 我 ( l ( t ) - - - - - - k ( t ) ) + U ′ ( t ) 。 通过 (39) R t = 因为 ⁡ ⁡ l t - - - - - - k t - - - - - - 罪 ⁡ l t - - - - - - k t 罪 ⁡ l t - - - - - - k t 因为 ⁡ ⁡ l t - - - - - - k t , U ′ t = l 因为 ⁡ l t l 罪 l t , 我们有 (40) X ′ t = h t R t X + U ′ t 。 我们也知道 U ′ = - - - - - - R U 。因此, (41) U t = u 1 t u 2 t = - - - - - - l 因为 ⁡ k t - - - - - - l 罪 k t 可以写。所以双铰链可以写成 (42) x 1 ′ t = 因为 ⁡ l ( t ) - - - - - - k ( t ) h t x 1 + l 因为 ⁡ k - - - - - - 罪 l ( t ) - - - - - - k ( t ) h t x 2 + l 罪 k , x 2 ′ t = 罪 l ( t ) - - - - - - k ( t ) h t x 1 + l 因为 ⁡ k + 因为 ⁡ l ( t ) - - - - - - k ( t ) h t x 2 + l 罪 k 。 我们首先计算的时间导数( 42)。这样,我们获得速度 x 1 ′ ˙ ( t ) , x 2 ′ ˙ ( t ) 要插入( 10): (43) x 1 ′ x 2 ′ ˙ - - - - - - x 2 ′ x 1 ′ ˙ = h 2 x 1 2 + x 2 2 + l 2 ( l ˙ ( t ) - - - - - - k ˙ ( t ) ) + x 1 2 h l 因为 ⁡ k t l ˙ t - - - - - - k ˙ t h h h h h h h h h h + h l 因为 ⁡ ( k ( t ) ) k ˙ ( t ) - - - - - - l d h 罪 ( k ( t ) ) + x 2 2 h l 罪 k t l ˙ t - - - - - - k ˙ t h h h h h h h h h l + h l 罪 ( k ( t ) ) k ˙ ( t ) + l d h 因为 ⁡ ( k ( t ) ) + l 2 k ˙ ( t ) 。 我们现在把前面的方程使用周期性边界条件假设被积函数是周期函数。的周期性 f 意味着积分下列类型的消失, ∮ d f = ∫ 1 F f ˙ d t = f 1 F = 0 。因此,一些积分的( 43)不等于零,我们终于获得一个简化的区域的表达式 (44) 2 F = x 1 ∫ t 1 t 2 2 l h 因为 ⁡ k l ˙ - - - - - - k ˙ d t h h h h h + ∫ t 1 t 2 l h 因为 ⁡ k · k ˙ - - - - - - d h 罪 k d t + x 2 ∫ t 1 t 2 2 l h 罪 k l ˙ - - - - - - k ˙ d t h h h h h h + ∫ t 1 t 2 l h 罪 k · k ˙ + d h 因为 ⁡ k d t 。 我们可能有以下表达式( 44): (45) ∫ t 1 t 2 2 l h 因为 ⁡ k l ˙ - - - - - - k ˙ d t + ∫ t 1 t 2 l h 因为 ⁡ k · k ˙ - - - - - - d h 罪 k d t = 一个 * , ∫ t 1 t 2 2 l h 罪 k l ˙ - - - - - - k ˙ d t + ∫ t 1 t 2 l h 罪 k · k ˙ + d h 因为 ⁡ k d t = b * 。 区分( 41)对 t 然后使用导致( 45),我们获得( 12)应用程序。

节 2.1。1使用( 18), (46) 一个 * = ∫ t 1 t 2 - - - - - - 2 h 2 p 1 d α ︸ 一个 + ∫ t 1 t 2 - - - - - - 2 h d h p 2 + h d u 2 + u 2 d h ︸ μ 1 , b * = ∫ t 1 t 2 - - - - - - 2 h 2 p 2 d α ︸ b + ∫ t 1 t 2 - - - - - - 2 h d h p 1 + h d u 1 + u 1 d h ︸ μ 2 发现下面有一条直线: (47) 2 F = 一个 + μ 1 x 1 + b + μ 2 x 2 。 在这种情况下,我们有Steiner正常 (48) n = 一个 + μ 1 b + μ 2 = l ∫ t 1 t 2 2 h 因为 ⁡ k ( l ˙ - - - - - - k ˙ ) + h 因为 ⁡ k · k ˙ - - - - - - d h 罪 k d t ∫ t 1 t 2 2 h 罪 k ( l ˙ - - - - - - k ˙ ) + h 罪 k · k ˙ + d h 因为 ⁡ k d t 。

3.2。的移动杆点绞车运动

如果( 41)在(被替换 30.),南极点 P = p 1 p 2 与组件 (49) p 1 = d h l 罪 k · l ˙ - - - - - - h l ˙ - - - - - - k ˙ l 因为 ⁡ k · l ˙ d h 2 + h 2 l ˙ - - - - - - k ˙ 2 , p 2 = d h - - - - - - l 因为 ⁡ k · l ˙ - - - - - - h l ˙ - - - - - - k ˙ l 罪 k · l ˙ d h 2 + h 2 l ˙ - - - - - - k ˙ 2 获得和 (50) P = p 1 p 2 = l l ˙ d h 2 + h 2 l ˙ - - - - - - k ˙ 2 d h 罪 k - - - - - - h l ˙ - - - - - - k ˙ 因为 ⁡ k - - - - - - d h 因为 ⁡ k - - - - - - h l ˙ - - - - - - k ˙ 罪 k 可以写。也使用( 46)和( 48),我们到达Steiner正常和北极之间的关系( 31日)。

 3.3。极地的转动惯量的绞车运动

使用( 32)和( 42),如果 41)在(被替换 33), (51) T = x 1 ∮ 2 h l 因为 ⁡ k ( l ˙ - - - - - - k ˙ ) d t + x 2 ∮ 2 h l 罪 k ( l ˙ - - - - - - k ˙ ) d t 是获得。通过考虑( 46),( 47)和( 51),我们到达极地的转动惯量之间的关系和区域下面的公式: (52) T = 2 F + x 1 l ∮ - - - - - - h 因为 ⁡ k · k ˙ + d h 罪 k - - - - - - x 2 l ∮ h 罪 k · k ˙ + d h 因为 ⁡ k 。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 承认

本研究支持Ondokuz Mayıs大学(项目没有。PYO.FEN.1904.14.019)。

 施泰纳 J。 冯民主党Krummungs-Schwerpuncte埃本Curven 毛死Reine和Angewandte Mathematik》杂志上 1840年 1840年 21 33 63年 10.1515 / crll.1840.21.33 Tutar 一个。 Kuruoğlu N。 施泰纳公式和霍迪克定理类似的运动平面运动学 机制和机器理论 1999年 34 1 1 6 10.1016 / s0094 - 114 x (98) 00028 - 7 MR1738623 2 - s2.0 - 0032763227 穆勒 h·R。 Verallgemeinerung静脉formel·冯·施泰纳 Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen法理社会 1978年 29日 107年 113年 穆勒 h·R。 超级Tragheitsmomente贝Steinerscher Massenbelegung Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen法理社会 1978年 29日 115年 119年 MR519349 Dathe H。 Gezzi R。 封闭的平面运动的方向特征 Zeitschrift毛皮Angewandte Mathematik Mechanik 2012年 92年 9 731年 748年 10.1002 / zamm.201100178 MR2973045 2 - s2.0 - 84865784632 Blaschke W。 穆勒 h·R。 Ebene Kinematik 1956年 德国慕尼黑 r . Oldenbourg Tolke J。 Steiner-Formein毛皮死Bahnflachen geschlossener Aquiaffinbewegungen Sitzungsber 奥地利发育der Wissenschaften 1978年 187年 8 - 10 325年 337年 MR548966 Kuruoğlu N。 Duldul M。 Tutar 一个。 泛化的施泰纳在平面运动学公式类似的运动 应用数学和力学 2003年 24 8 945年 949年 10.1007 / bf02446500 MR2028292