AMP 数学物理的发展 1687 - 9139 1687 - 9120 Hindawi出版公司 10.1155 / 2015/825683 825683年 研究文章 最优同伦为放热反应模型渐近解常在多孔介质热源 Mabood 的法佐 1 http://orcid.org/0000 - 0002 - 0945 - 7344 Pochai Nopparat 2、3 克莱顿 约翰。D。 1 白沙瓦大学数学系,白沙瓦 巴基斯坦 upesh.edu.pk 2 数学系,蒙国王的理工学院Ladkrabang,曼谷10520年 泰国 kmitl.ac.th 3 卓越中心在数学中,切,如果大城府路,10400年曼谷 泰国 2015年 1 9 2015年 2015年 27 05年 2015年 07年 06 2015年 1 9 2015年 2015年 版权©2015的法佐Mabood Nopparat Pochai。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

热流模式概要文件所需传热模拟每种类型的保温。放热反应模型在多孔介质可以开出问题非线性常微分方程的形式。在这个研究中,由于温度梯度驱动力模型。模型的控制方程被限制到一个能量平衡方程提供了温度曲线与恒定热源传导状态稳定状态。提出了最优同伦渐近方法(OHAM)用于计算放热反应方程的解决方案。

 1。介绍

在物理系统中,能量从化学键。如果债券、能源是必要的。如果债券形成能量的释放。每个类型的债券都有特定的键能。它可以预测化学反应是否会释放或需要用键能热。如果有更多的能量用于形成债券比打破债券,发出热量,这是众所周知的一个放热反应。另一方面,如果一个反应需要一个输入的能量,这是一个吸热反应。打破债券的能力是激活能量。

对流取得增长的使用在许多领域,如太阳能能量转换,地下煤炭气化,地热能源开采,地下水污染物运输和油藏模拟。放热反应模型关注系统的驱动力是由于应用系统边界的温度梯度。在[ 1- - - - - - 4),他们提议Rayleigh-Bernard-type对流的调查。他们还研究对流不稳定,出现由于放热反应在多孔介质模型。放热反应释放热量,创造在流体密度差异,引起的自然对流的反应速率的影响 5]。非均匀流动的对流运动产生的热量来源是调查 6- - - - - - 8]。在[ 9- - - - - - 13),他们建议自然对流的两,三维模型在不同类型的多孔介质。

在这个研究中,最优同伦渐近方法传导提出了解决方案。模型方程是一个稳态能量平衡方程的温度曲线与恒定热源传导状态。

最优同伦渐近方法是近似的的解析工具,简单明了,不需要任何小型或大型参数一样的存在传统微扰法。所观察到的Herişanu和Marinca 14OHAM),最重要的特性是最优控制解决方案通过一个特定的convergence-control收敛的函数<我nline-formula> H 这确保了快速收敛,当其组件(称为convergence-control参数)是优化确定。在最近的一篇论文Herişanu et al。 15]的作者关注永磁同步发电机非线性动力学模型,在他们的研究的一种不同方式同伦开发建设,确保快速收敛的OHAM确切的解决方案。最优的同伦渐近方法(OHAM)已经成功地应用于线性和非线性问题( 16, 17]。本文组织如下。首先,在节 2放热反应模型。节 3,我们描述了最优的基本原则同伦渐近方法。最优同伦渐近方法给出问题的解决方案 4。部分 5是专门为结束语。

 2。放热反应模型

在本节中,我们介绍一个pseudohomogeneous模型表达对流驱动一个放热反应。的情况下多孔介质壁厚(<我nline-formula> 0 < z ′ < l )是专注。正常的连续性假设和动量方程的稳态能量平衡提供了一个无量纲形式的BVP温度曲线( 5, 13]: (1) d 2 θ 0 d z 2 + B ϕ 2 1 - - - - - - θ 0 B e x p γ θ 0 γ + θ 0 = 0 。 在这里,<我nline-formula> θ 0 温度,参数吗<我nline-formula> B 的最大可行的气温是缺乏自然对流的情况下,<我nline-formula> ϕ 2 的比例是热扩散的特征时间生成器,然后呢<我nline-formula> γ 是无量纲的活化能。在恒定热源的情况下,( 1)可以写成 (2) d 2 θ 0 d z 2 + B ϕ 2 1 - - - - - - θ 0 B = 0 , 根据边界条件 (3) d θ 0 d z = 0 , 在 z = 0 , θ 0 = 0 , 在 z = 1 。

3所示。最佳的同伦渐近方法的基本原则

我们审查的基本原则最优同伦渐近方法如下。

(我)考虑以下微分方程: (4) 一个 u x + 一个 x = 0 , x ∈ Ω , 在哪里<我nline-formula> Ω 问题域,<我nline-formula> 一个 ( u ) = l ( u ) + N ( u ) ,在那里<我nline-formula> l ,<我nline-formula> N 线性和非线性操作符,<我nline-formula> u ( x ) 是一个未知函数,<我nline-formula> 一个 ( x ) 是一个已知的函数。

(2)构建最优的同伦方程 (5) 1 - - - - - - p l ϕ x ; p + 一个 x - - - - - - H p 一个 ϕ x ; p + 一个 x = 0 , 在哪里<我nline-formula> 0 ≤ p ≤ 1 是一个嵌入参数和<我nline-formula> H p = ∑ 我 = 1 米 p 我 K 我 是辅助函数的收敛性的解决方案极大地依赖。在这里,<我nline-formula> K j 是convergence-control参数。辅助函数<我nline-formula> H p 还调整了收敛域和控制收敛区域。

(3)扩大<我nline-formula> ϕ x ; p , K j 在泰勒级数<我nline-formula> p ,有一个近似解: (6) ϕ x ; p , K j = u 0 x + ∑ k = 1 ∞ u k x , K j p k , j = 1、2 , 3 , … 。 许多研究人员已经观察到的收敛级数方程( 6)取决于<我nline-formula> K j ,<我nline-formula> j = 1、2 , … , 米 ;如果它是收敛的,我们获得 (7) v ~ = v 0 x + ∑ k = 1 米 v k x ; K j 。

(四)取代( 7)( 4),我们有以下剩余: (8) R x ; K j = l u ~ x ; K j + 一个 x + N u ~ x ; K j 。 如果<我nline-formula> R x ; K j = 0 ,然后<我nline-formula> v ~ 将具体的解决方案。对于非线性问题,一般来说,这不会是这样。确定<我nline-formula> K j ,<我nline-formula> ( j = 1、2 , … , 米 ) ,搭配法、里兹法,或者可以使用最小二乘的方法。

(v)最后,取代convergence-control参数的最佳值<我nline-formula> K j 在( 7)可以得到近似解。

 4所示。应用OHAM为放热反应模式

应用OHAM ( 2),零的,首先,和二阶问题 (9) 1 - - - - - - p θ 0 ′ ′ - - - - - - H p θ ′ ′ + B ϕ 2 1 - - - - - - θ 0 B = 0 。 我们考虑<我nline-formula> θ 0 ,<我nline-formula> H p 在以下方式: (10) θ = θ 0,0 + p θ 0 1 + p 2 θ 0,2 。 H 1 p = p K 1 + p 2 K 2 ,

4.1。零级问题

(11) θ 0,0 ′ ′ = 0 , 与边界条件 (12) θ 0,0 1 = 0 , θ 0,0 ′ 0 = 0 。 解决方案( 11)和边界条件( 12)是 (13) θ 0,0 z = 0 。

4.2。一阶问题

(14) θ 0 1 ′ ′ - - - - - - K 1 ϕ 2 B = 0 , 与边界条件 (15) θ 0 1 1 = 0 , θ 0 1 ′ 0 = 0 。 解决方案( 14)和边界条件( 15)是 (16) θ 0 1 z , K 1 = K 1 ϕ 2 B 2 z 2 - - - - - - 1 。

4.3。二阶问题

(17) θ 0,2 ′ ′ z , K 1 , K 2 = K 1 ϕ 2 B + K 1 2 ϕ 2 B - - - - - - 1 2 K 1 2 ϕ 4 B z 2 + 1 2 K 1 2 ϕ 4 B + 1 2 K 2 ϕ 2 B , 与边界条件 (18) θ 0,2 1 = 0 , θ 0,2 ′ 0 = 0 。 解决方案( 17)和边界条件( 18)是 (19) θ 0,2 z , K 1 , K 2 = - - - - - - 1 24 ϕ 4 K 1 2 B z 4 + 1 2 ϕ 2 K 1 B z 2 + 1 2 ϕ 2 K 1 2 B z 2 + 1 4 ϕ 4 K 1 2 B z 2 + 1 2 ϕ 2 K 2 B z 2 - - - - - - 5 24 ϕ 4 K 1 2 B - - - - - - 1 2 ϕ 2 K 1 B - - - - - - 1 2 ϕ 2 K 1 2 B - - - - - - 1 2 ϕ 2 K 2 B 。 最后通过OHAM三项解决方案<我nline-formula> p = 1 是 (20) θ ~ 0 z , K 1 , K 2 = θ 0,0 z + θ 0 , 1 z , K 1 + θ 0,2 z , K 1 , K 2 。 最小二乘的方法用于确定收敛控制参数<我nline-formula> K 1 和<我nline-formula> K 2 在( 20.)。在特定的情况下<我nline-formula> ϕ = 1 ,<我nline-formula> B = 10 ,收敛控制参数的值<我nline-formula> K 1 = - - - - - - 0.8337205022 和<我nline-formula> K 2 = - - - - - - 0.02092667470 。

被替换的值<我nline-formula> K 1 和<我nline-formula> K 2 在( 20.)简化之后,我们可以通过OHAM获得二阶近似解。检查的准确性OHAM解决方案,比较方案由OHAM和数值方法和提出了表 1。解决方案使用的图形化表示<我talic> 有限差分技术( 5),OHAM,<我talic> 龙格-库塔Fehlberg第四第五方法如图 1;可以观察到一个很好的协议。我们可以看到,OHAM给准确的解决方案比传统的有限差分技术的 5]。另一方面,OHAM给连续性解决方案,但是传统的有限差分技术给出了离散解。它遵循的解决方案OHAM比有限差分的解决方案更容易实现。

的比较<我nline-formula> θ 0 ( z ) 通过OHAM和RKF45<我nline-formula> ϕ = 1 , B = 10 。

Z FDM [ 5] RKF45 OHAM 误差百分比
0.0 3.114344 3.518277 3.518285 0.000227
0.1 3.046176 3.485927 3.485969 0.001204
0.2 2.911251 3.388613 3.388675 0.001829
0.3 2.711819 3.225339 3.225359 0.000620
0.4 2.451166 2.994264 2.994284 0.000667
0.5 2.133897 2.693071 2.693037 0.001262
0.6 1.766284 2.318441 2.318432 0.000388
0.7 1.356680 1.866723 1.866701 0.001178
0.8 0.915960 1.333395 1.333311 0.006299
0.9 0.457980 0.713042 0.713046 0.000560
1.0 0.000000 0.000000 0.000000 - - - - - -

比较分析和数值解。

在图 2,我们表现出不同的价值观的影响的<我nline-formula> ϕ 的固定值<我nline-formula> B 温度曲线。

 5。结束语

本文描述了一个最优的同伦渐近方法获取多孔介质的温度变化情况。我们可以看到,温度降低到最后。OHAM方案获取模型方便实现。OHAM给四阶准确的解决方案。由此可见,该方法没有不稳定的问题。模型应该考虑的非常数的热源。

 利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 确认

本文支持卓越中心的数学、高等教育委员会,泰国。作者非常感谢宝贵意见收到约翰·d·克莱顿教授和评论家。

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