本文的目的是提供一个逻辑一致的吉布斯变分方法的扩展( 1)与界面弹性机构的电磁效应。逻辑一致性和数学严密性,换句话说,清晰,并不总是导致物理理论,准确预测实验可观察到的现象。事实上,尼尔斯·波尔说清晰是谁赠送的真相,可能认为模型是越清晰,就越不可能是现实的反映,但是,尽管如此,建立清晰沿着道路的理解是一个重要的步骤。本文追求清晰,因此造成急性实验可验证性的问题。

吉布斯建议构建一个分析异构平衡的物质通过类比经典静力学。他改变了最小能量原理代替机械能和内能以固定总熵。吉布斯分析异构系统整合阶段转换成一般变分框架。吉布斯建模阶段转换简单的作为一个额外的自由度在他的变分方法。在吉布斯的分析中,出现相平衡的条件 自然边界条件(变分学的意义 2])对应的附加自由度。

简单是吉布斯的主要目标之一,他表示,用他自己的话说 3):“如果我有任何成功的数学物理,它是什么,我想,因为我已经能够避开数学困难。任何人都有这些欲望会让这些研究…”也许预见可能的误解他的方法的数学意义,吉布斯还写了( 3),”一位数学家可能说什么他高兴,但是物理学家必须至少部分理智的。”

现在让我们转向电磁的世界。麦克斯韦理论的主要成就之一( 4)是成功引入应力张量,最初发现在连续介质力学中,以太的概念,电力和磁力的代理。从历史上看,麦克斯韦的理论并不是像人们可能想象欣然接受。相反,一些主要思想家,包括亥姆霍兹拒绝他的理论部分或完全。在[ 5],庞加莱强调某些固有的矛盾是麦克斯韦的理论。

麦克斯韦本人指出许多困难在他的理论。相关的文章是他的声明 4):“我无法做下一步,即账户由机械考虑电介质的这些压力。“许多以来一直努力解决这个缺点。在自然界中许多这些努力的变分以来的最有效的方法之一处理数学困难和逻辑矛盾是坚持一个变分公式。在许多教科书中,讲座,和专著电磁 6- - - - - - 16),有很多讨论变分的角度来看,再一次很明显,没有正确的方法的共识。

在电磁学的先驱之一变分方法是吉布斯。吉布斯的均衡配置问题研究费用和发现(研究人员现在所说的) 化学势带电的物质粒子应该补充额外的术语 问 φ (Gabriel李普曼认为,吉布斯), 问 粒子的电荷和吗 φ 静电势。这是一个非常草图吉布斯的愿景。例如,吉布斯自己从来没有使用这个词 化学势并没有分配相应的数量任何深刻的含义,明白只有更晚。的变分方法 可极化的物质很可能开创Korteweg [ 17和亥姆霍兹 18]。

吉布斯异构系统建模,或者他所说的 异构的物质宏观领域分离的数学表面。困难在电磁学在吉布斯的想法是单数接口的分析在静电学、静磁学更具挑战性比连续介质力学。即使洛伦兹选择避免异构系统的分析,指出序言中他的经典论文 19],他不想斗争与边界条件。所面临的许多困难(或应该是)面临由洛伦兹的帮助下可以克服表面移动的微积分。

在本文中,我们创建一个新尝试延长静电学的吉布斯变分框架。我们的方法非常简单,完全简单的概念上。与之前的许多尝试([ 12- - - - - - 14),三),我们明确排除电场和电位移独立热力学变量的列表。相反,我们占极化(或磁化),通过添加一个术语的“传统的”热弹性系统的自由能。额外的术语表示静电场中的势能积累在整个空间。不同作者选择这一项的不同: E 2 , E · D ,等等。我们选择被积函数在最简单的形式 E 2 。我们构建我们的方法在精确的非线性连续介质理论和依赖欧拉坐标作为独立空间变量。

根据吉布斯的现代诠释,化学势 μ 控制液体和蒸汽阶段之间的平衡对它们之间的质量交换。平衡异构系统必须满足许多条件相界面。前两个条件,热平衡(温度 T 是连续的整个界面(当然,空间常数)和机械平衡(压力 p 是连续的接口),满足所有平衡两相系统中,各个阶段是否相同的不同状态物质相变。让括号 ( ] - - - - - - + 表示跳不连续界面封闭质量的阶段,我们把这些条件写成 (1) T - - - - - - + = 0 , p - - - - - - + = 0 。 此外,当界面相变,化学势 μ 是连续在接口 (2) μ - - - - - - + = 0 。 这个方程是解释为平衡之间的质量交换阶段。化学势 μ 是由 (3) μ = ∂ ϵ ρ ∂ ρ , 在哪里 ρ 是密度和 ϵ ρ 是单位体积自由能。

在许多物理系统,平衡对质量交换是实现更长时间尺度比热力和机械平衡。质量的动态交换的这种系统通常是由准静态近似描述,假设系统在进化过程中保持热与机械平衡;也就是说,( 1)不断满足,而平衡方程( 2)被替换为以下质量流量方程 J : (4) J = - - - - - - K μ - - - - - - + , 在哪里 K > 0 是运动,根据经验或一些nonthermodynamic理论。

现在我们将简要总结静电学的变分框架异构系统在[第一次描述了 20.- - - - - - 23]。提出了模型,基于功能的选择 E 在( 11)和独立变量的列表,只在数学意义上的正确;也就是说,它在逻辑上是一致的。其他作者( 10, 12, 13, 24做出不同的选择的能量泛函,并设置独立的变化和到达不同的结果。

我们描述的框架使用张量微积分( 25]。我们所说的空间坐标 z 我 。按照惯例,我们省略了上标 我 当坐标出现作为参数的函数。我们表示的协变和逆变环境度规张量 z 我 j 和 z 我 j 和环境协变导数 ∇ 我 。

图 1说明了我们的系统的配置。假设域 Ω d = Ω d + ∪ Ω d - - - - - - 是固体多相介质占据媒体与特定的(单位体积)偶极子的势头 P 我 z 。域 Ω 问 是被静止的电荷分布呢 问 z 。这两个子域 Ω d + 和 Ω d - - - - - - 被两个不同的物质或两个不同阶段相同的物质。他们通过接口是分开的 年代 2 。

假设 U 我 z 的位移场是物质粒子, ρ z 是实际的质量密度, φ z 电势, (5) E 我 z ≡ - - - - - - ∇ 我 φ z 是电场, (6) D 我 = E 我 + 4 π P 我 是电位移。

为了简单起见,我们假设系统保持在固定的绝对温度 T 并表示弹性能量密度(内部) ψ 电介质材料的 (7) ψ ∇ j U 我 , P k 。 当然,这个弹性能量实际上是系统的自由能密度。

系统的平衡是由泊松方程: (8) ∇ 我 ∇ 我 φ = 4 π 问 , 边界条件 (9) φ - - - - - - + = 0 , N 我 D 我 - - - - - - + = 0 , 在接口( N 我 是单位正常),而在无穷远处电势消失: (10) φ ∞ = 0 。

的总能量 E 的系统是由积分 (11) E = ∫ ρ ψ + 1 8 π E 我 E 我 d Ω , 这扩展了整个空间。

根据最小能量原理,我们将均衡配置与静止点的总能量 E 。接下来,我们使用的技术变化的能量泛函,欧拉描述的详细介绍( 21, 22, 26]。建议程序分析两相异构系统的平衡与稳定条件可以在找到 27- - - - - - 30.]。

我们完成的变分原理的描述呈现数量作为独立变量的列表: (我)

虚拟速度 f 我 z 材料的粒子,

几何图形呈现在图 1分析了在 21, 28)处理成核在静止的离子液体从周围的气相冷凝。当域 Ω 问 是刚性的,虚拟变形液相的速度应该满足边界约束 (12) N 我 f 我 年代 1 = 0 。

在本节中,我们总结的结果和参考读者相关的参考相应的派生。

分离的独立变化的体积积分第一能量变化,我们到达以下平衡方程( 22, 27]: (13) - - - - - - ∇ 我 ζ 我 k + ρ ψ P 我 ∇ k P 我 = 0 , ρ ψ P 我 = E 我 , 在哪里 ψ P 我 = ∂ ψ / ∂ P 我 , 正式的应力张量 ζ 米 k 被定义为 (14) ζ 我 j ≡ ρ ∂ ψ ∂ ∇ 我 U k 一个 k · · j , 和张量 一个 · j 我 · 是由 (15) 一个 · j 我 · ≡ δ j 我 - - - - - - ∇ j U 我 。 结合( 13),我们到达平衡方程 (16) - - - - - - ∇ 我 ζ 我 k + E 我 ∇ k P 我 = 0 。 使用静电学的方程,它可以显示( 16)可以写成一个声明消失的分歧: (17) ∇ 我 ζ 我 j - - - - - - z 我 j 1 4 π E k D k - - - - - - 1 8 π E k E k + 1 4 π D 我 E j = 0 。

对于非极化物质,正式的应力张量 ζ 我 j 伴随着柯西应力张量的欧拉描述。关系( 17对液体电介质)概括庆祝Korteweg-Helmholtz关系( 6, 7, 10- - - - - - 13, 24对于非线性electroelasticity。

我们可以重写( 17)(见[ 22, 23, 27]) (18) ∇ 我 ℵ 我 j = 0 , aleph张量的 ℵ 我 j ,由 (19) ℵ 我 j ≡ ρ ∂ ψ ∂ ∇ 我 U k 一个 k · · j + 1 8 π E k E k - - - - - - 1 4 π E k D k z 我 j + 1 4 π D 我 E j , 可以被认为是应力张量的可极化的物质。我们可以重写张量 ℵ 我 j 作为 (20) ℵ 我 j ≡ ζ 我 j + Γ 我 j , 静电伽马张量在哪里 Γ 米 k 是由 (21) Γ 我 j ≡ 1 8 π E k E k - - - - - - 1 4 π E k D k z 我 j + 1 4 π D 我 E j 。 方程( 17)可以写在另一个深刻的形式: (22) ∇ 我 ζ 我 j = - - - - - - ∇ 我 Γ 我 j 。 在可极化的可变形的物质,没有一个张量, ζ 我 j 或 Γ 我 j divergence-free。

γ张量 Γ 我 j 也可以认为是一个许多可能的麦克斯韦应力张量的概括 T 我 j : (23) T 我 j ≡ - - - - - - 1 8 π E k E k z 我 j + 1 4 π E 我 E j , 自 Γ 我 j 正值 T 我 j 当极化消失了。其他可能的麦克斯韦应力张量的概括, (24) T 1 我 j ≡ - - - - - - 1 8 π E l D l z 我 j + 1 4 π D 我 E j , (24 b) T 2 我 j ≡ - - - - - - 1 8 π E l D l z 我 j + 1 4 π D j E 我 , (24) T 3 我 j ≡ - - - - - - 1 8 π E l D l z 我 j + 1 8 π D 我 E j + D j E 我 , 可能是审美吸引力比γ张量 Γ 我 j 。我们相信伽马张量的优势比其他可能的概括是变分的起源和其能力来帮助解决这一问题的稳定性计算的基础上第二能量变化。

一个更有用的材料可极化张量是贝丝张量 ℶ · j 我 · ,或者是 张量的电化学张量的潜力。它被定义为 (25) ℶ · j 我 · ≡ ρ ψ z 我 k - - - - - - ℵ 我 k + Γ 我 k B k j , 在张量 B k j 矩阵逆的吗 一个 k j 中定义的( 15)。我们下面显示,贝丝张量 ℶ · j 我 · 满足条件的散度为零 (26) ∇ 我 ℶ · j 我 · = 0 , 类似于张量 ℵ 我 j 。贝丝张量 ℶ · j 我 · 可以写成 (27) ℶ · j 我 · = ρ B k j χ 我 k , 在哪里 χ 我 k 是博文 对称张量的化学势 (28) χ 我 j = ψ z 我 j - - - - - - 1 ρ ζ 我 j = ψ z 我 j + 1 ρ ℶ 我 j - - - - - - ℵ 我 j 。

的 对称的张量 χ 我 j 应区别于一般 不对称张量的化学张量 μ 我 j : (29) μ 我 j = z ∘ k 我 z l k χ j l , 在哪里 z ∘ 米 我 逆变的度规张量吗 最初的配置。

边界条件依赖于接口的各种特征。接口可以不同的机械、运动特性和他们是否受到阶段转换。我们将接口,满足运动学约束 (30) U 我 - - - - - - + = 0 , 作为 连贯接口。以下条件的应力张量 ℵ 我 j 满足的均衡配置一致的接口: (31) N 我 ℵ 我 j - - - - - - + = 0 。 除了一致性,如果边界是一个阶段的接口,相平衡的条件包括贝丝张量 ℶ 我 j : (32) N 我 ℶ 我 j - - - - - - + = 0 。 是有道理的,打电话给贝丝张量 ℶ 我 j 的 电化学张量的潜力连贯接口的可变形的物质因为( 32)类似于张量的化学势的平衡条件。

根据定义, nonfrictional颇具水准接口的特点是相对滑移的可能性。Nonfrictional颇具接口也可能是也可能不是 阶段接口。无论如何,机械平衡必须持有的下列条件: (33) N 我 ζ ± 我 j = - - - - - - N j p ± , N 我 N j Γ 我 j - - - - - - + = p - - - - - - + 。 在 阶段nonfrictional不连贯接口,一个额外的 质量交换必须满足平衡条件: (34) N 我 N j ψ z 我 j + 1 ρ ℶ 我 j - - - - - - ℵ 我 j - - - - - - + = 0 。

当处理刚性固体, 机械自由度消失,内部能量只取决于极化向量 P 我 (除非它是假定为常数,温度 T )。在相界面,相平衡的状态 (35) N 我 N j ℷ 我 j - - - - - - + = 0 , 在gimel能源如张量 ℷ 我 j , 静电张量的化学势严格的电介质,被定义为 (36) ℷ 我 j ≡ ϵ P z 我 j + Γ 我 j , 在哪里 ϵ ≡ ρ ψ 是免费的单位体积能量密度(和我们再次抑制指数吗 P 我 因为现在看来作为参数的函数)。我们把gimel张量 ℷ 我 j 随着 静电张量的化学势因为它扮演相同的角色化学势 μ 在经典的异构的液汽系统。与γ张量 Γ 我 j ,gimel张量 ℷ 我 j divergence-free: (37) ∇ 我 ℷ 我 j = 0 。

一个可以分析模型的极化向量 P 我 是固定的( 20.]。然后 ψ ± 空间常数,但可能仍然依赖于温度。

我们最后的三个方程的证明( 18),( 26)和( 37消失的散度。剩下的两个身份同样可以证明。首先,让我们重写gimel张量 ℷ 我 j 如下: (38) ℷ 我 j = ϵ P z 我 j + 1 8 π E k E k - - - - - - 1 4 π E k D k z 我 j + 1 4 π D 我 E j 。 第一学期( 38),我们有 (39) ∇ 我 ϵ P z 我 j = z 我 j ∂ ϵ P ∂ P k ∇ 我 P k 。 用热力学的身份 (40) ∂ ϵ P ∂ P 我 ≡ E 我 , 我们可以重写( 39), (41) ∇ 我 ϵ P z 我 j = E 我 ∇ j P 我 。 第二项的( 38),我们有 (42) ∇ 我 z 我 j 1 8 π E k E k - - - - - - 1 4 π E k D k = - - - - - - 1 4 π E k ∇ j E k - - - - - - P k ∇ j E k - - - - - - E k ∇ j P k , 这可以从以下的身份链: (43) 第二项 = ∇ 我 z 我 j 1 8 π E k E k - - - - - - 1 4 π E k D k b (43) = ∇ k 1 8 π E k E k - - - - - - 1 4 π E k D k (43) = 1 4 π E k ∇ j E k - - - - - - ∇ j E k D k - - - - - - E k ∇ j D k d (43) = 1 4 π E k ∇ j E k - - - - - - ∇ j E k E k + 4 π P k - - - - - - E k ∇ j E k + 4 π P k (43) = - - - - - - 1 4 π E k ∇ j E k - - - - - - P k ∇ j E k - - - - - - E k ∇ j P k 。 第三项( 38),我们有 (44) ∇ 我 1 4 π D 我 E j = 1 4 π D 我 ∇ 我 E j = 1 4 π E 我 ∇ 我 E j + P 我 ∇ 我 E j 。 结合( 41)- ( 44),我们发现 (45) ∇ 我 ℷ 我 j = ∇ 我 ϵ P z 我 j + z 我 j ∇ 我 1 8 π E l E l - - - - - - 1 4 π E l D l + 1 4 π ∇ 我 D 我 E j (45 b) = E 我 ∇ j P 我 - - - - - - 1 4 π E 我 ∇ j E 我 - - - - - - P 我 ∇ j E 我 - - - - - - E 我 ∇ j P 我 + 1 4 π E 我 ∇ 我 E j + P 我 ∇ 我 E j (45度) = - - - - - - 1 4 π E 我 ∇ j E 我 - - - - - - P 我 ∇ j E 我 + 1 4 π E 我 ∇ 我 E j + P 我 ∇ 我 E j 。 最后,使用对称性质 ∇ 我 E j ≡ ∇ j E 我 我们到达身份( 37)。

可以假定准静态演化类比( 4)。在nondeformable阶段的情况下,它读取 (46) J = - - - - - - K N 我 N j ℷ 我 j - - - - - - + 。 同样的方法可以应用到一个孤立的情况下域与固定总量未重排。在这种情况下,应该稍微修改演化方程考虑表面扩散。图 2说明了这种方法在二维情况下的一个实现。最初的准静态演化循环域和固定极化矢量导致伸长极化的方向向量 P 我 ,并最终形态不稳定。

我们讨论了静电学的现象学变分方法和异构系统的静磁学阶段转换。虽然我们专注于静电学,几乎所有的结果也适用于静磁学。我们的方法是吉布斯变分法的延伸,是解释在 26]。

同时有一个逻辑上和身体上的需求一致的理论还有待进步的主要推动力热力学。建议的方法导致了数学上严格的首尾一致的结果。现在它必须直接比较,实验证明其可行性。可能被证明是困难的,但真正的进步只有在理论和实验条件下互相挑战。