众所周知,在经典力学中,运动的方程是描述为牛顿第二定律,和等效配方成为欧拉方程和汉密尔顿的方程。在量子力学中,动态系统的薛定谔方程和牛顿定律中扮演一个重要的角色在牛顿力学和能量守恒。在数学上,它是一个偏微分方程,应用于描述物理系统的量子态的变化时间 1, 2]。在这部作品中,解决方案中的薛定谔方程研究了各种方法( 3- - - - - - 12)和其他参考资料。

最近,分数微积分( 13- - - - - - 30.],它不同于古典微积分,现在应用于实用技术在应用科学和工程的许多分支。部分薛定谔方程提出了Laskin [ 31日)通过空间量子力学部分,基于费曼路径积分,分数薛定谔方程的一些性质是由原来的调查( 32]。在当前的工作,部分薛定谔方程的解决方案被认为是在 33- - - - - - 38]。

古典和分数微积分不能处理nondifferentiable功能。然而,当地的分数微积分(也称为分形计算)( 39- - - - - - 56)是最佳候选人和被应用到模型工程实际问题,nondifferentiable功能。例如,康托尔集与当地的n - s方程组讨论了分数导数在 42]。当地的研究和实验所得到分数( 43]。弹性问题的基本理论被认为是在 44]。反常扩散与当地分数阶导数研究( 48- - - - - - 50]。牛顿力学与当地提出了分数导数在 51]。分形在丝绸茧层次结构和导热传热半无限分形条提出了在 53- - - - - - 55)和其他参考资料。

最近,当地部分薛定谔方程在三维Cantorian系统被认为是在 56] (1) 我 α h α ∂ α ψ α ( x , y , z , t ) ∂ t α = - - - - - - h α 2 2 米 ∇ 2 α ψ α ( x , y , z , t ) + V α ( x , y , z ) ψ α ( x , y , z , t ) , 当地部分拉普拉斯算子在哪里( 39, 40, 42] (2) ∇ 2 α = ∂ 2 α ∂ x 2 α + ∂ 2 α ∂ y 2 α + ∂ 2 α ∂ z 2 α , 波函数 ψ α ( x , y , z , t ) 是一个本地分段连续函数( 39, 40),和当地的分数微分算子是由( 39, 40] (3) f ( α ) ( x 0 ) = d α f ( x ) d x α ∣ x = x 0 = lim x → x 0 Δ α ( f ( x ) - - - - - - f ( x 0 ) ) ( x - - - - - - x 0 ) α ,

与 Δ α ( f ( x ) - - - - - - f ( x 0 ) ) ≅ Γ ( 1 + α ) Δ ( f ( x ) - - - - - - f ( x 0 ) ) 。

当地部分薛定谔方程在二维Cantorian系统可以写成 (4) 我 α h α ∂ α ψ α ( x , y , t ) ∂ t α = - - - - - - h α 2 2 米 ∇ 2 α ψ α ( x , y , t ) + V α ( x , y ) ψ α ( x , y , t ) , 当地部分拉普拉斯算子是哪里 (5) ∇ 2 α = ∂ 2 α ∂ x 2 α + ∂ 2 α ∂ y 2 α 。 当地的分数维Cantorian系统提出了薛定谔方程 (6) 我 α h α ∂ α ψ α ( x , t ) ∂ t α = - - - - - - h α 2 2 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ α ( x , t ) + V α ( x ) ψ α ( x , t ) , 的波函数 ψ α ( x , t ) 是当地的分段连续函数。

潜在的能量 V α = 0 ,当地的分数维Cantorian系统的薛定谔方程 (7) 我 α h α ∂ α ψ α ( x , t ) ∂ t α = - - - - - - h α 2 2 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ α ( x , t ) 。

在本文中,我们的目标是调查当地部分nondifferentiable解薛定谔方程的一维Cantorian系统通过使用本地分级级数展开方法( 49]。论文的组织组织如下。节 2介绍当地的分级级数展开方法。部分 3致力于解决当地部分薛定谔方程。最后,给出了结论部分 4。

据当地分级级数展开方法( 49),我们考虑下面的本地部分可微方程: (8) ϕ t α = l α ϕ , 在哪里 l α 是当地部分线性算子和 ϕ 是一个当地的分段连续函数。

鉴于( 8),对多项分离功能 x , t 表示如下: (9) ϕ ( x , t ) = ∑ 我 = 0 ∞ φ 我 ( t ) ψ 我 ( x ) , 在哪里 φ 我 ( t ) 和 ψ 我 ( x ) 是当地的分段连续函数。

有nondifferentiable术语,写成 (10) φ 我 ( t ) = χ 我 t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) , 在哪里 χ 我 是一个系数。

鉴于( 10),我们得到 (11) ϕ ( x , t ) = ∑ 我 = 0 ∞ χ 我 t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ψ 我 ( x ) 。

因此, (12) ϕ t α = ∑ 我 = 0 ∞ χ 我 + 1 t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ψ 我 + 1 ( x ) , l α ϕ = ∑ 我 = 0 ∞ χ 我 t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ( l α ψ 我 ) ( x ) 。

然后,后( 12),我们有 (13) ∑ 我 = 0 ∞ χ 我 + 1 t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ψ 我 + 1 ( x ) = ∑ 我 = 0 ∞ χ 我 t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ( l α ψ 我 ) ( x ) 。

让 χ 我 + 1 = χ 我 = 1 ;然后 (14) ∑ 我 = 0 ∞ t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ψ 我 + 1 ( x ) = ∑ 我 = 0 ∞ t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ( l α ψ 我 ) ( x ) 。

所以,我们有 (15) ψ 我 + 1 ( x ) = l α ψ 我 , 在哪里 l α 是一个线性当地部分运营商。

在[ 49),当地部分运营商视为线性 (16) l α = ∂ 2 α ∂ x 2 α , l α = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) ∂ 2 α ∂ x 2 α , (17) l α = μ ∂ 2 α ∂ x 2 α , 在哪里 μ 是一个常数。

在这里,我们考虑以下操作: (18) l α = η ∂ 2 α ∂ x 2 α + γ , 在哪里 η 和 γ 是两个常数。

使用迭代公式( 18),我们得到 (19) ϕ ( x , t ) = ∑ 我 = 0 ∞ t 我 α Γ ( 1 + 我 α ) ψ 我 ( x ) , 的解决方案( 8)。

让我们改变( 6)在以下表格的公式: (20) ∂ α ψ α ( x , t ) ∂ t α = - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ α ( x , t ) + V α ( x ) 我 α h α ψ α ( x , t ) , 当地部分线性算子在哪里吗 (21) l α = - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + V α ( x ) 我 α h α 。

与 V α ( x ) = 1 ,我们有 (22) l α = - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ,

这 (23) ∂ α ψ α ( x , t ) ∂ t α = l α ψ α ( x , t ) , 在哪里 (24) ψ α ( x , 0 ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) 。

使用迭代关系( 15),我们设置 (25) ψ α , n + 1 ( x , t ) = l α ψ 一个 , n ( x , t ) ,

并给出一个初始值 (26) ψ 一个 , 0 ( x , t ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) 。

因此,以下( 25),我们得到 (27) ψ 一个 , 0 ( x , t ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , (28) ψ 一个 , 1 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) ψ 一个 , 0 ( x , t ) = - - - - - - h α 2 我 α 米 + 1 我 α h α x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , (29) ψ 一个 , 2 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) ψ 一个 , 1 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) × ( - - - - - - h α 2 我 α 米 + 1 我 α h α x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) ) = - - - - - - 2 2 我 2 α 米 + 1 我 2 α h α 2 x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , (30) ψ 一个 , 3 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) ψ 一个 , 2 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) × ( - - - - - - 1 我 2 α 米 + 1 我 2 α h α 2 x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) ) = - - - - - - 3 2 我 3 α 米 h α + 1 我 3 α h α 3 x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , (31) ψ 一个 , 4 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) ψ 一个 , 3 ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) × ( - - - - - - 3 2 我 3 α 米 h α + 1 我 3 α h α 3 x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) ) = - - - - - - 4 2 我 4 α 米 h α 2 + 1 我 4 α h α 4 x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , ⋮ (32) ψ 一个 , n ( x , t ) = ( - - - - - - h α 2 我 α 米 ∂ 2 α ∂ x 2 α + 1 我 α h α ) ψ 一个 , n - - - - - - 1 ( x , t ) = - - - - - - h α n - - - - - - 2 n 2 我 n α 米 + 1 我 n α h α n x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) ,

等等。

因此,从( 32我们获得的解决方案( 23), (33) ψ α ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ ψ 一个 , n ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ t n α Γ ( 1 + n α ) ( - - - - - - h α n - - - - - - 2 n 2 我 n α 米 + 1 我 n α h α n x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) ) 。

我们变换( 7)以下方程: (34) ∂ α ψ α ( x , t ) ∂ t α = - - - - - - h α 2 米 我 α ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ α ( x , t ) 。

给出了初始条件 (35) ψ α ( x , 0 ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) 。

应用( 17),我们可以编写迭代关系如下: (36) ψ α , n + 1 ( x , t ) = l α ψ 一个 , n ( x , t ) , ψ 一个 , 0 ( x , t ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , 在哪里 (37) l α = - - - - - - h α 2 米 我 α ∂ 2 α ∂ x 2 α 。 从( 36)- ( 38),我们给当地部分系列条款如下: (38) ψ 一个 , 0 ( x , t ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) , (39) ψ 一个 , 1 ( x , t ) = - - - - - - h α 2 米 我 α ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ 一个 , 0 ( x , t ) = - - - - - - h α 2 我 α 米 , (40) ψ 一个 , 2 ( x , t ) = - - - - - - h α 2 米 我 α ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ 一个 , 1 ( x , t ) = 0 , (41) ψ 一个 , 3 ( x , t ) = - - - - - - h α 2 米 我 α ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ 一个 , 2 ( x , t ) = 0 , ⋮ (42) ψ 一个 , n ( x , t ) = - - - - - - h α 2 米 我 α ∂ 2 α ∂ x 2 α ψ 一个 , n - - - - - - 1 ( x , t ) = 0 ,

等等。

因此,我们有nondifferentiable解决方案( 34)如下: (43) ψ α ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ ψ 一个 , n ( x , t ) = x 2 α Γ ( 1 + 2 α ) + h α 2 米 我 α 。

在这项工作中,我们获得了当地nondifferentiable解决方案部分在一维薛定谔方程Cantorian系统通过使用本地分级级数展开方法。目前的方法是表明是一种有效的方法来获得当地部分系列解偏微分方程在当地部分可微的运营商。