的谐振子与pdm研究自旋为0的粒子,我们应该解决( 9)。在这个解决方案中,我们使用原子单元 ℏ = c = 1 。然而,在( 9),我们更喜欢使用质量函数类似于谐振子势类型如下: (10) 米 ( r ) = 米 0 + 1 2 k r 2 , 在哪里 米 0 和 k 都是正的常数。选择在( 10相关的质量函数)的立场是更合适的物理和数学。已经在物理应用程序中,创建一个新的位置相关质量有效的潜在转移潜在的系统。

在这项研究中,在缺乏标量势,向量的定义是谐振子的潜力 (11) V ( r ) = 1 2 米 ( r ) ω 2 r 2 , 在哪里 ω = k / 米 ( r ) 是角频率, k 弹性系数。

在矢势的存在和通过 ℏ = c = 1 如果( 10)和( 11)插入( 9),是获得 (12) ( d 2 d r 2 + ξ 0 - - - - - - ξ 1 r 2 - - - - - - ξ 2 r 2 ] u ( r ) = 0 , 在哪里 ξ 0 = E n l 2 - - - - - - 米 0 2 , ξ 1 = k ( E n l - - - - - - 米 0 ) , ξ 2 = l ( l + 1 ) 。

在( 12),而 r 接近零,无限,解决( 12) r ( 1 / 2 ) ( 1 + 1 + 4 ξ 2 ) , e - - - - - - r 2 ξ 1 / 2 ,分别。因此,提出了合理的物理波函数如下: (13) u n l ( r ) = r ( 1 / 2 ) ( 1 + 1 + 4 ξ 2 ) e - - - - - - r 2 ξ 1 / 2 f n l ( r ) 。 用( 13)( 12),我们有二阶齐次线性微分方程: (14) f ′′ ( r ) = ( - - - - - - 1 + 1 + 4 ξ 2 r + 2 r ) f ′ ( r ) - - - - - - ( ξ 0 - - - - - - ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) ) f ( r ) 。 定义一个新变量 z = ξ 1 r 2 ,这样做,我们有解决微分方程的目的如下: (15) f ′′ ( z ) = ( 1 - - - - - - 2 + 1 + 4 ξ 2 2 z ) f ′ ( z ) + ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) - - - - - - ξ 0 4 ξ 1 z f ( z ) 。 通过比较( 15)和( 1), λ 0 ( z ) 和 年代 0 ( z ) 值获得,并使用( 4我们计算 λ n ( z ) 和 年代 n ( z ) 。通过这种方式, (16) λ 0 ( z ) = ( 1 - - - - - - 2 + 1 + 4 ξ 2 2 z ) , 年代 0 ( z ) = ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) - - - - - - ξ 0 4 ξ 1 z , λ 1 ( z ) = ( 4 ξ 1 ( 2 - - - - - - 2 z + 1 + 4 ξ 2 ) 2 + 4 ξ 1 ( - - - - - - 2 z ξ 0 + 2 ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) ) + z ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) ( 2 - - - - - - 4 ξ 1 2 z + 1 + 4 ξ 2 ) 2 ) × ( 16 z 2 ξ 1 ) - - - - - - 1 , 年代 1 ( z ) = ( ( 2 - - - - - - ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) ) × ( 4 ξ 1 + 2 ξ 1 ( 2 - - - - - - 2 z + 1 + 4 ξ 2 ) ) ) × ( 16 z 2 ξ 1 ) - - - - - - 1 年代 1 ( z ) = ⋮ 结合这些结果的目的与量子化条件( 5)的收益率 ( 17 一个 ) 年代 0 λ 1 - - - - - - 年代 1 λ 0 = 0 ⇒ ξ 00 = 1 2 ξ 1 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) , 为 n = 0 ( 17 b ) 年代 1 λ 2 - - - - - - 年代 2 λ 1 = 0 ⇒ ξ 01 = 1 2 ξ 1 ( 6 + 1 + 4 ξ 2 ) , 为 n = 1 ( 17 c ) 年代 2 λ 3 - - - - - - 年代 3 λ 2 = 0 ⇒ ξ 02 = 1 2 ξ 1 ( 10 + 1 + 4 ξ 2 ) , 为 n = 2 年代 1 ( z ) = ⋮

如果一组方程 ( 17 一个 ) , ( 17 b ) , ( 17 c ) 广义,间接能量特征值声明是吗 (18) ξ 0 n = 1 2 ξ 1 ( 4 n + 2 + 1 + 4 ξ 2 ) 。 当( 18), ξ 0 = E n l 2 - - - - - - 米 0 2 能源特征值进行比较,发现了吗 (19) E n l 2 = 米 0 2 + k ( E n l - - - - - - 米 0 ) 2 ( 4 n + 2 + 1 + 4 l ( l + 1 ) ) 。

具体形式可以从以下发电机: (20) f n ( z ) = C 2 经验值 ( - - - - - - ∫ z α k d z ′ ) 。 使用( 3)和( 20.得到了),形式如下: (21) f 0 ( z ) = 1 , f 1 ( z ) = ( z - - - - - - ( 2 + 1 + 4 ξ 2 ) 2 ) , f 2 ( z ) = ( 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ) ( 1 + 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ) - - - - - - 2 ( 1 + 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ) z + z 2 , 年代 1 ( z ) = ⋮ 最后,下面的精确解的一般公式 f n ( z ) 获得的是 (22) f n ( z ) = ( - - - - - - 1 ) n ( 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ) n × F 1 1 ( - - - - - - n , 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ; z ) 。 因此,我们写的总径向波函数如下: (23) u n l ( r ) = N r ( 1 / 2 ) ( 1 + 1 + 4 ξ 2 ) e - - - - - - r 2 ξ 1 / 2 ( 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ) n × F 1 1 ( - - - - - - n , 2 + 1 + 4 ξ 2 2 ; ξ 1 r 2 ) , 在哪里 N 是归一化常数。

在本节中,我们提出的解决方案的克莱因-戈登方程quark-antiquark交互的潜力。这种潜力被定义为 (24) V ( r ) = 一个 r 2 + b r - - - - - - c r , 一个 > 0 , 在哪里 一个 , b , c 是常数。在原子单元 ℏ = c = 1 ,我们解决( 9)没有标量势。考虑到位置相关质量函数: (25) 米 ( r ) = 米 0 + 一个 r 2 + b r - - - - - - c r 。 用( 24)和( 25)( 9),我们发现 (26) ( d 2 d r 2 + ε - - - - - - ε 0 r 2 - - - - - - ε 1 r + ε 2 r - - - - - - l ( l + 1 ) r 2 ] u l ( r ) = 0 , 在哪里 ε = E n l 2 - - - - - - 米 0 2 , ε 0 = 2 一个 ( E n l + 米 0 ) , ε 1 = 2 b ( E n l + 米 0 ) , ε 2 = 2 c ( E n l + 米 0 ) 。

解决( 26),应用径向波函数的拟设 u l ( r ) , (27) u l ( r ) = e α r + ( γ / 2 ) r 2 ∑ n = 0 一个 n r n + δ 。 如果( 27)插入( 26),是获得 (28) ∑ n = 0 一个 n ( γ + 2 γ ( n + δ ) + ε ] ︸ 一个 n r n + δ + ∑ n = 0 一个 n ( 2 α γ - - - - - - ε 1 ] ︸ 2 α γ = ε 1 r n + δ + 1 + ∑ n = 0 一个 n ( α 2 - - - - - - ε 0 + γ 2 ] ︸ ε 0 = α 2 + γ 2 r n + δ + 2 + ∑ n = 0 一个 n ( 2 α ( n + δ ) + ε 2 ] ︸ B n r n + δ - - - - - - 1 + ∑ n = 0 一个 n ( ( n + δ ) ( n + δ - - - - - - 1 ) - - - - - - l ( l + 1 ) ] ︸ C n r n + δ - - - - - - 2 = 0 , (29) ε 1 = 2 α γ , ε 0 = α 2 + γ 2 α 和 γ 可以获得的帮助下( 29日)。然后, α = ( - - - - - - ε 0 + ε 1 - - - - - - ε 0 - - - - - - ε 1 ) / 2 和 γ = ( - - - - - - ε 0 + ε 1 + ε 0 - - - - - - ε 1 ) / 2 。编辑( 28), (30) ∑ n = 0 一个 n 一个 n r n + δ + ∑ n = 0 一个 n B n r n + δ - - - - - - 1 + ︸ n → n + 1 ∑ n = 0 一个 n C n r n + δ - - - - - - 2 ︸ n → n + 2 = 0 , (31) ( 一个 0 B 0 + 一个 1 C 1 ) ︸ 0 r δ - - - - - - 1 + 一个 0 C 0 ︸ 0 r δ - - - - - - 2 + ∑ n = 0 ( 一个 n 一个 n + 一个 n + 1 B n + 1 + 一个 n + 2 C n + 2 ) ︸ 0 r n + δ = 0 。 在( 31日),如果第一个非零的系数 一个 0 ≠ 0 , C 0 应该等于零: (32) C 0 = δ ( δ - - - - - - 1 ) - - - - - - l ( l + 1 ) = 0 。 我们选择 δ = l + 1 身体可以接受的解决方案( 32)。此外,如果 p th非零的系数是 一个 p ≠ 0 ,但 一个 p + 1 = 一个 p + 2 = ⋯ = 0 那么,从( 31日),它必须是 一个 p = 0 。按照这个速度, (33) γ + 2 γ ( p + δ ) + ε = 0 。 使用在一起( 29日)和( 33),我们获得的能量特征值。也就是说, (34) b ( E n l + 米 0 ) α + 2 b ( E n l + 米 0 ) α ( p + l + 1 ) + E n l 2 - - - - - - 米 0 2 = 0 。 一个 n , B n , C n 一个非平凡解必须满足行列式的关系: (35) 依据 | B 0 C 1 … … … 0 一个 0 B 1 C 2 ⋯ ⋯ 。 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 一个 p - - - - - - 1 B p | = 0 。 为了欣赏这种方法,我们目前的情况下的精确解 p = 0 1 如下。

如果 p = 0 , 依据 | B 0 | = 0 和 B 0 = 0 。所以, (36) B 0 = 0 ⇒ 2 ( E 0 + 米 0 ) c = - - - - - - 2 ( l + 1 ) α 。 我们将获取能量特征值通过使用( 34)。但是,我们不能忽视( 36),因为这是一个限制的参数和潜力 l 量子数。

相应的本征函数为 p = 0 给药 (37) u l 0 ( r ) = 一个 0 经验值 ( - - - - - - ε 0 + ε 1 + ε 0 - - - - - - ε 1 2 r - - - - - - ε 0 + ε 1 - - - - - - ε 0 - - - - - - ε 1 4 r 2 ] r δ , 在哪里 一个 0 是归一化常数。

如果 p = 1 , 依据 | B 0 C 1 一个 0 B 1 | = 0 。在这种情况下,它是获得 (38) ( ε 1 2 α + ε 1 α ( l + 1 ) + ε ) 2 ( l + 1 ) - - - - - - ( ε 2 + 2 α ( l + 1 ) ) ( ε 2 + 2 α ( l + 2 ) ) ︸ 为 E 1 = 0 , 这是一个限制潜在的参数和角动量量子数。

相应的本征函数为 p = 1 给药 (39) u l 1 ( r ) = ( 一个 0 + 一个 1 r ) 经验值 ( - - - - - - ε 0 + ε 1 + ε 0 - - - - - - ε 1 2 r - - - - - - ε 0 + ε 1 - - - - - - ε 0 - - - - - - ε 1 4 r 2 ] r δ , 在哪里 一个 0 是归一化常数。

通过这种方式,我们可以通过设置生成一个类的精确解 p = 1、2 , … 。一般来说,如果 一个 p ≠ 0 ,但 一个 p + 1 = 一个 p + 2 = ⋯ = 0 。因此,能量特征值 E p 通过使用( 34)。相应的本征函数 (40) u l p ( r ) = ( 一个 0 + 一个 1 r + ⋯ + 一个 p r p ) × 经验值 ( - - - - - - ε 0 + ε 1 + ε 0 - - - - - - ε 1 2 r - - - - - - ε 0 + ε 1 - - - - - - ε 0 - - - - - - ε 1 4 r 2 ] r δ , 在哪里 一个 0 , 一个 1 , … , 一个 p 是归一化常数。