Kratzer潜力中最具吸引力的身体潜力,因为它包含一个degeneracy-removing逆平方项除了常见的库仑项。它出现在一个宽类等物理和化学科学的原子和分子物理学提供相当激励结果( 1- - - - - - 7]。当我们处理这个潜在的薛定谔方程的框架内,通过类比问题仅仅是解决了熟悉的例子3-dimesnional库仑哈密顿或许多其他技术包括级数展开式、超对称量子力学(超对称性理论) 8- - - - - - 10),Nikiforov-Uvarov(ν)[ 11),点正则变换(PCT) [ 12- - - - - - 14),等等。这样的调查已经被许多作者完成年报的波方程( 15- - - - - - 24]。就出现的问题当我们打算研究这个问题通过克莱因-戈登方程(公斤)。这是因为我们必须处理一个等价的潜在的包括库仑平方反比,逆立方和逆二次曲面的条件。直到现在,没有报道精确解析解的问题。在目前的研究中,我们研究提出的问题通过拟设方法盾( 25报告)和数值结果。

径向克莱因戈登球对称势方程<我talic> D尺寸是 (2.1) - - - - - - d 2 R n , l ( r ) d r 2 - - - - - - d - - - - - - 1 r R n , l ( r ) d r + ( l ( l + D - - - - - - 2 ) r 2 + ( 米 ( r ) + 年代 ( r ) ) 2 - - - - - - ( E n , l - - - - - - V ( r ) ) 2 ] R n , l ( r ) = 0 。 我们选择标量和矢量势 (2.2) V ( r ) = V 0 r + V 1 r 2 , 年代 ( r ) = 年代 0 r + 年代 1 r 2 , 在哪里<我nl我ne-formula> r 表示hyperradius和<我nl我ne-formula> V 0 ,<我nl我ne-formula> 年代 0 ,<我nl我ne-formula> V 1 ,<我nl我ne-formula> 年代 1 常系数。面向大众,而不是常数,我们考虑一个位置相关形式的质量 (2.3) 米 ( r ) = 米 0 + 米 1 r 。 转换<我nl我ne-formula> R n , l ( r ) = r - - - - - - ( D - - - - - - 1 ) / 2 U n , l ( r ) 插入后,( 2。2)使( 2。1)的形式 (2.4) { + 2 V 0 V 1 - - - - - - 2 年代 0 年代 1 - - - - - - 2 米 1 年代 1 r 3 + V 1 2 - - - - - - 年代 1 2 r 4 + ( E n , l 2 - - - - - - 米 0 2 ) d 2 d r 2 + - - - - - - 2 E n , l V 0 + 2 米 0 米 1 - - - - - - 2 米 0 年代 0 r + V 0 2 - - - - - - 2 E n , l V 1 - - - - - - 米 1 2 - - - - - - 年代 0 2 - - - - - - 2 米 0 年代 1 - - - - - - 2 米 1 年代 0 - - - - - - ( D + 2 l - - - - - - 1 ) ( D + 2 l - - - - - - 3 ) / 4 r 2 + 2 V 0 V 1 - - - - - - 2 年代 0 年代 1 - - - - - - 2 米 1 年代 1 r 3 + V 1 2 - - - - - - 年代 1 2 r 4 + ( E n , l 2 - - - - - - 米 0 2 ) } U n , l ( r ) = 0 。 选择 (2.5) F = 2 E n , l V 0 - - - - - - 2 米 0 米 1 + 2 米 0 年代 0 , C = - - - - - - V 0 2 + 2 E n , l V 1 + 米 1 2 + 年代 0 2 + 2 米 0 年代 1 + 2 米 1 年代 0 + 1 4 ( D + 2 l - - - - - - 1 ) ( D + 2 l - - - - - - 3 ) , B = - - - - - - 2 V 0 V 1 + 2 年代 0 年代 1 + 2 米 1 年代 1 , 一个 = - - - - - - V 1 2 + 年代 1 2 , ε n , l = ( E n , l 2 - - - - - - 米 0 2 ) 。 方程( 2。4更加巧妙地写成 (2.6) { d 2 d r 2 - - - - - - F r - - - - - - C r 2 - - - - - - B r 3 - - - - - - 一个 r 4 + ε n , l } U n , l ( r ) = 0 。 薛定谔的模拟这个问题已经分析了越南盾( 25]。我们选择( 25] (2.7) U n , l ( r ) = h n ( r ) 经验值 ⁡ ⁡ ( k l ( r ) ] , 在哪里 (2.8) h n ( r ) = { 1 n = 0 ∏ 我 = 1 n ( r - - - - - - δ 我 n ) n ≥ 1 , (2.9) k l ( r ) = 一个 r + b r + c ln ⁡ ⁡ r , 一个 < 0 , b < 0 。 替换( 2。9),( 2。8)和( 2。7)( 2。4),之后双方将相应的系数, (2.10) 一个 = - - - - - - 一个 , b = - - - - - - - - - - - - ε 0 , l , 2 一个 ( 1 - - - - - - c ) = B , - - - - - - c + c 2 - - - - - - 2 一个 b = C , 2 b c = F 。 从( 2。5)和( 2.10),获得无节点的能量状态 (2.11) ( E 0 , l 2 - - - - - - 米 0 2 ) = - - - - - - 1 16 一个 ( C ± C 2 - - - - - - 2 B F ] , 与相应的本征函数被替换了( 2。8),( 2。9)和( 2.10)( 2。7), (2.12) U 0 , l ( r ) = N 0 , l r - - - - - - F / 2 - - - - - - ε 0 , l 经验值 ⁡ ⁡ ( - - - - - - 一个 r - - - - - - - - - - - - ε 0 , l r ] 。 在表 1,我们已经报道的特征值<我nl我ne-formula> D 年代和<我nl我ne-formula> l 年代。第一节点,重复相同的过程特征值被发现 (2.13) ( E 1 , l 2 - - - - - - 米 0 2 ) ± = - - - - - - ( C ± ( C 2 - - - - - - 4 F ( δ 1 ( 1 ) + 一个 ) ( 1 + ( B / 4 一个 ) ) ] 1 / 2 4 ( δ 1 ( 1 ) + 一个 ) ) 2 , 在哪里 (2.14) δ 1 1 = ( ( B / 4 一个 ) + 2 ) D { C - - - - - - ( 1 + B 4 一个 ) ( 2 + B 4 一个 ) } - - - - - - 一个 。 和相应的本征函数 (2.15) U 1 , l ( r ) = N 1 , l ( r - - - - - - δ 1 ( 1 ) ) r c 经验值 ⁡ ⁡ ( 一个 r + b r ] 。 也在表 2以及数据 1和 2我们有报道,行为在不同的情况下的能量。这些数据说明能源关系的对称性。

克莱因戈登方程的近似解析解的报告Kratzer潜在使用拟设方法。能量特征值的行为维度和量子数数值计算。结果适用于物理的一些分支,特别是原子、分子、物理和化学,一个自旋为0系统正在调查中。