raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

AFS

模糊系统的进步

1687 - 711 x<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 7101

Hindawi

10.1155 / 2020/8697890

8697890

研究文章

偏好图的潜在方法作为模糊图

Mamat

西蒂Salwana

¹ Awang

西蒂Rahmah

https://orcid.org/0000 - 0003 - 2675 - 7952

艾哈迈德

Tahir

¹ ³ Ayag

泽克

^{1

美国数学科学

理学院

马来西亚各种大学

81310年新山市

马来西亚

utm.my} ^{2

Azman Hashim国际商学院

马来西亚各种大学

81310年新山市

马来西亚

utm.my} ^{3

中心可持续发展的纳米材料

Ibnu新浪科学与工业研究所

马来西亚各种大学

81310年新山市

马来西亚

utm.my}

2020年

19 2 2020年

2020年 21 08年 2019年 04 12 2019年 27 12 2019年 19 2 2020年

2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

一套催化(ACS)是一个图形。另一方面,潜在的方法(PM)是一种基于图的概念建立优化的目的。首先,一种受限制的ACS,即弱催化集(WACS),传递锦标赛的推导,介绍了研究。然后,一个新的数学概念,即模糊弱催化集(FWACS),定义并传递点建立的关系。一些定理证明突出的关系。最后,本文得出结论:任何偏好图是一种模糊图5所示。

高等教育、马来西亚

MyBrainSc奖学金

1。介绍</t我tle> 图论等迅速进入多元化领域化学、工程学、计算机科学、运筹学(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>]。图已经被用于模型自然和人造系统之间的互联。戴伊和朋友<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>)和戴伊et al。<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>)使用图色技术对交通意外区域进行分类。戴伊et al。<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>)解决模糊最短路径问题的区间二型模糊图的弧的长度。吴et al。<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>)利用图来确定制造质量计划。 两种结构的这项研究是ACS和兴趣点都是图。每个人都包含一组顶点和一组边缘。然而,ACS是一个图表,这样每个顶点都有至少一个传入链接,而点,相反,必须始终有一个顶点失踪传入链接。这两个之间的关系尚未探索的数学结构。因此,预期的关系进行了研究,提出了。 首先,ACS的弱形式,即弱催化集(WACS),介绍了作为ACS和点之间的“桥梁”。这项研究之后扩展点和不确定性的情况下其顶点之间的联系,即。、模糊边缘。这个想法导致了一个新ACS,即模糊弱催化(FWACS)。 本文组织如下。部分<xref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xref>提供了与本研究相关的一些基本概念和定义。WACS介绍的部分<xref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xref>和一些功能也是本节中给出。部分<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>阐述了ACS和点及其关系。的模糊性WACS节中描述<xref ref-type="sec" rid="sec5"> 5</xref>。最后,提出了本文的结论部分<xref ref-type="sec" rid="sec6"> 6</xref>。 </sec> <sec id="sec2"> <title>2。预赛</t我tle> 一般来说,图形代表一个对象视觉之间的关系。由顶点表示这些对象及其关系的边缘(见图<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>)。 <fig-group id="fig1"> <label>图1</label> 哥尼斯堡桥问题[<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]。(一)哥尼斯堡镇。(b)的示意图表示区域的桥梁。(c)的欧拉表示问题。 <fig id="fig1a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.001a"></graphic> </fig> <fig id="fig1b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.001b"></graphic> </fig> <fig id="fig1c"> <label>(c)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.001c"></graphic> </fig> </fig-group> 的正式定义图中给出定义<xref ref-type="statement" rid="deff1"> 1</xref>。有四个顶点的图的一个例子<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如图<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>。 <fig id="fig2"> <label>图2</label> 四个顶点的图。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.002"></graphic> </fig> <statement id="deff1"> <title>定义1。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>])。图是一对集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的顶点和吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>边的集合。 此外,另一种代表从一个图的邻接矩阵。给定图的邻接矩阵的定义如下。 </statement> <statement id="deff2"> <title>定义2。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>])。一个图的邻接矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>矩阵用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>包含一个有向边<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这是一个从顶点箭头<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>到顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>否则。 图在图的邻接矩阵<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 1965年,Lotfi陈守煜,引入了数学概念。模糊集,模糊集是一组脆的改良版(经典)。脆的会员元素的值设置为0或1。然而,模糊集使用成员值在0和1之间(<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。形式上,一个模糊集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的宇宙<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被定义为它的隶属函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这样<我t一个lic> μ</我t一个lic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:none></mml:none> </mml:mmultiscripts> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我t一个lic> x</我t一个lic>完全是在<我t一个lic> 一个</我t一个lic>;<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我t一个lic> x</我t一个lic>不在<我t一个lic> 一个</我t一个lic>;和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我t一个lic> x</我t一个lic>部分是在<我t一个lic> 一个</我t一个lic>。 图<xref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>显示了一个模糊集的隶属函数。 这两个概念(图和模糊集)给“出生”一个新的数学结构,即模糊图。定义<xref ref-type="statement" rid="deff3"> 3</xref>表明,顶点和边都是模糊的。换句话说,顶点和边值在0和1之间。图<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>说明了模糊图。 </statement> <fig id="fig3"> <label>图3</label> 一个模糊集的例子。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.003"></graphic> </fig> <fig id="fig4"> <label>图4</label> 模糊图的一个例子。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.004"></graphic> </fig> <statement id="deff3"> <title>定义3。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>])。一个模糊图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一对功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mo> ∍</mml:mo> <mml:mo> ∀</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∧</mml:mo> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 一个模糊图的邻接矩阵的定义如下: </statement> <statement id="deff4"> <title>定义4。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>])。邻接矩阵,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>模糊的图像<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>矩阵定义为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 模糊图的邻接矩阵图<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.7</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 蓝色et al。<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>)进一步介绍了五种模糊图,即。,模糊图的分类。他们认为模糊性可能发生在几个方面,即:<list> <list-item> <label></label> </list-item> </list> 类型1:图的模糊集 <list-item> <label></label> 类型2:清爽的顶点和模糊边缘 </list-item> <list-item> <label></label> 类型3:清爽的顶点和边但模糊连通性 </list-item> <list-item> <label></label> 类型4:模糊顶点和清晰的边缘 </list-item> <list-item> <label></label> 类型5:脆图和模糊的重量 </list-item> 后来,Tahir et al。<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>)正式这五个类型的模糊图如下:<list> <list-item> <label></label> </list-item> </list> 类型1:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>模糊性是在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <list-item> <label></label> 类型2:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>模糊的边缘 </list-item> <list-item> <label></label> 类型3:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在顶点和边都是脆弱的,但边缘模糊的正面和反面吗 </list-item> <list-item> <label></label> 类型4:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>顶点的模糊 </list-item> <list-item> <label></label> 类型5:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mn> 5</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在顶点和边都是脆弱的,但边缘模糊权重吗 </list-item> 在接下来的小节,简要回顾上一套新的数学概念模糊的自催化。 </statement> <sec id="sec2.1"> <title>2.1。模糊自催化集(流式细胞仪)</t我tle> 自动催化作用的概念起源于化学,特别是催化地描述的分子之间的相互作用(<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>]。此外,耆那教徒和克里希纳(<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>)正式的自催化的概念(ACS)设置为一个有向图,其顶点代表物种及其边缘代表催化它们之间的交互。ACS的正式定义如下。 <statement id="deff5"> <title>定义5。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>])。一套催化是子图,每个顶点的至少有一个传入链接从属于同一子图的顶点。 ACSs的一些示例见图<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>。最简单的ACS是一个顶点1循环。 模糊图像和自催化的合并导致模糊自催化的概念集合(流式细胞仪)Tahir et al。<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>]。流式细胞仪的正式定义是跟随了。 </statement> <fig id="fig5"> <label>图5</label> ACS的一些示例。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.005"></graphic> </fig> <statement id="deff6"> <title>定义6。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>])。模糊自催化集的子图每一个顶点与会员的价值,至少有一个传入的联系<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ∀</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,从任何其他属于同一子图的顶点。 流式细胞仪在图给出的一个例子<xref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xref>。 在同一篇论文中,Tahir et al。<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>]证明了以下定理对模糊图和流式细胞仪。 </statement> <fig id="fig6"> <label>图6</label> 流式细胞仪。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.006"></graphic> </fig> <statement id="thm1"> <title>定理1。(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B14 " > < / xref > 14])。</t我tle> 每一个清晰的图都是模糊图。 </statement> <statement id="thm2"> <title>定理2。(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B14 " > < / xref > 14])。</t我tle> 每一个自催化集模糊图。 </statement> <statement id="thm3"> <title>定理3。(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B14 " > < / xref > 14])。</t我tle> 每一个模糊自催化组也是一个模糊图。 </statement> 脆的关系图,模糊图,ACS,流式细胞仪是描绘在图<xref ref-type="fig" rid="fig7"> 7</xref>。 一般来说,图形已经广泛用于各种系统模型(<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>]。图表已经用于决策问题,如行业、政府、医疗、商业和教育(<xref ref-type="bibr" rid="B20"> 20.</xref>]。在下一小节,决策称为潜在的技术方法。 <fig id="fig7"> <label>图7</label> ACS和流式细胞仪模糊的关系图。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.007"></graphic> </fig> </sec> <sec id="sec2.2"> <title>2.2。潜在的方法</t我tle> 潜在的方法是利用图形的方法在决策过程。图叫做偏爱。偏好图是由LavoslavČaklović2002年模型之间的两两比较选择。一般来说,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一组正在考虑选择一些偏好。如果一个替代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是首选的替代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>(表示为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),它可以呈现为一个有向边的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>到顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref ref-type="fig" rid="fig8"> 8</xref>)。用边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 <fig id="fig8"> <label>图8</label> 替代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是首选的替代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.008"></graphic> </fig> 如果偏好强度的描述(如平等、弱、温和、强或绝对优先),然后直接从边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>有一个值,即重量,用吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。一个平等的偏好(用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ∼</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>边的方向是无关紧要的;也就是说,edge<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以更换的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 Čaklović[<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>)补充说,偏好图既没有循环也不平行边。它包含最多<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>边(<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>]。的正式定义偏好图中给出定义<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>如下。 <statement id="deff7"> <title>定义7。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>])。图是一个三倍的偏好<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> ℕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>顶点(代表选择),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⊆</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组定向边缘,然后呢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ℝ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>优先流,每个边缘地图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>到相应的强度,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 两个例子的潜在图见图<xref ref-type="fig" rid="fig9"> 9</xref>。 指示图出现在连接各种优化问题,特别是比赛问题[<xref ref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B25"> 25</xref>]。比赛的描述问题的图中描述下面的小节。 </statement> <fig id="fig9"> <label>图9</label> 势图的例子。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.009"></graphic> </fig> </sec> <sec id="sec2.3"> <title>2.3。比赛</t我tle> 假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>玩家参加循环赛比赛,每个玩家与其他玩家竞争。换句话说,每一个球员<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,要么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>垮掉的一代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>垮掉的一代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和不允许画<xref ref-type="bibr" rid="B26"> 26</xref>]。 比赛的结果可以用一个有向图(<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xref>]。因此,对于每一对顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在比赛图,是一个有向边<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>或从<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,但不能两者兼得。比赛的正式定义的形式给出图如下。 <statement id="deff8"> <title>定义8。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B26"> 26</xref>])。比赛图与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点是一对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组顶点和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mo> ⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组有序的对称为定向边缘,这样每两个截然不同的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>要么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 比赛的一些示例图如图<xref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</xref>。 肯德尔和史密斯<xref ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xref>]介绍了过程三个对象之间的比较<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这可以表示为一个三角形称为三和弦。边的方向Harary和莫泽三合会的讨论<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>),特沃斯基(<xref ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xref>,盖斯(<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xref>]。三合会的动词分为两种类型,仅仅是及物和不及物动词。阐述了下面。 </statement> <fig id="fig10"> <label>图10</label> 比赛图的例子。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0010"></graphic> </fig> <sec id="sec2.3.1"> <title>2.3.1。传递性</t我tle> 考虑一组对象<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。被申请人可以选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>从这两<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>从这两<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,更喜欢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>从<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。可以命令他的选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如图<xref ref-type="fig" rid="fig11"> 11</xref>。结果取向是一个传递<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xref>]。 <fig id="fig11"> <label>图11</label> 传递(无环)。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0011"></graphic> </fig> 另一方面,一个不及物动词取向发生在被申请人选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>从这两<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>从这两<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>从这两<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如图<xref ref-type="fig" rid="fig12"> 12</xref>。一个不及物动词方向产生一个周期(<xref ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xref>]。 <fig id="fig12"> <label>图12</label> 不及物动词(循环)。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0012"></graphic> </fig> 然而,只有传递方向被认为是摘要和讨论。 </sec> <sec id="sec2.3.2"> <title>2.3.2。传递比赛</t我tle> 比赛的一个方向就是传递时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。换句话说,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>边在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>也是一个优势<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</xref>)。 <fig id="fig13"> <label>图13</label> 一个传递方向。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0013"></graphic> </fig> 图,不包含任何长度的循环称为非循环图。 <statement id="deff9"> <title>定义9。</t我tle> (见[<xref ref-type="bibr" rid="B32"> 32</xref>])。一个有向图被称为有向无环图,如果它不包含任何导演周期。 因此,传递锦标赛是一个非循环图,如果它不包含周期如上所述的定理<xref ref-type="statement" rid="thm4"> 4</xref>如下。 </statement> <statement id="thm4"> <title>定理4。(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B27 " > < / xref > 27])。</t我tle> 比赛是传递当且仅当它不包含周期。 </statement> 一个非循环图是归类为弱连接,由Skiena定义(<xref ref-type="bibr" rid="B33"> 33</xref>和策<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>)如下。 <statement id="deff10"> <title>定义10。</t我tle> (Skiena [<xref ref-type="bibr" rid="B33"> 33</xref>])。弱连通有向图的节点都必须有至少1的入度和出度。 </statement> <statement id="deff11"> <title>定义11。</t我tle> (策<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>])。它定义了弱连接关系的有向图如果存在一个路径的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>到顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>或从<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和它不传递。 此外,有几个定义传递比赛在Harary记录和莫泽[<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>和月亮和铂尔曼<xref ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xref>]。然而,他们都是等价的。下面的定理的列出了一些属性传递比赛的成绩<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在不减少的订单。 </statement> <statement id="thm5"> <title>定理5。(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B27 " > < / xref > 27])。</t我tle> 给定一个比赛<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>以下是等价的:<list> <list-item> <label>(1)</label> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是及物动词 <list-item> <label>(2)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>不包含面向循环 </list-item> <list-item> <label>(3)</label> 的得分顺序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0、1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(4)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>传递三元组 </list-item> <list-item> <label>(5)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>正好有一个哈密顿路径 </list-item> </statement> 一个传递比赛正好有一个水槽和一个源<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xref>]。源是一个入度为零的顶点;也就是说,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mtext> 印第安纳州</mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。一个顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>如果所有被称为水槽<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>边结束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。水槽是一个顶点,零学位;也就是说,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:mtext> outd</mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。图<xref ref-type="fig" rid="fig14"> 14</xref>显示了传递4-tournament。它没有循环,即。,无环。顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>分别是源和水槽。 传递锦标赛包含一个源,即。,一个顶点没有传入链接。它不是一个ACS的定义<xref ref-type="statement" rid="deff5"> 5</xref>。换句话说,一个传递比赛“不是一个完整的ACS的承诺。“条件导致了一个新的“弱版本”的ACS在下一节中详细描述。 <fig id="fig14"> <label>图14</label> 一个传递4-tournament。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0014"></graphic> </fig> </sec> </sec> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。弱自催化集(WACS)</t我tle> 本节介绍了WACS。一个WACS来源于传递比赛。这是正式定义如下。 <statement id="deff12"> <title>定义12。</t我tle> 一个WACS non-loop子图中,它有一个顶点,没有传入链接。 图<xref ref-type="fig" rid="fig15"> 15</xref>说明了WACS的一些示例。 新特性的WACS推导。这些特性是灵感的工作Skiena [<xref ref-type="bibr" rid="B33"> 33</xref>和策<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>在弱连接。下面的定理是一个直接后果的定义<xref ref-type="statement" rid="deff10"> 10</xref>和<xref ref-type="statement" rid="deff11"> 11</xref>。 </statement> <fig id="fig15"> <label>图15</label> WACS的例子。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0015"></graphic> </fig> <statement id="thm6"> <title>定理6。</t我tle> 每一个WACS弱连通图。 </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个WACS。因此,通过定义<xref ref-type="statement" rid="deff12"> 12</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>包含一个顶点没有平行边,说,从<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>或从<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。每一个节点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>有至少1的出度和入度。因此,每一个WACS弱连通有向图的定义<xref ref-type="statement" rid="deff10"> 10</xref>和定义<xref ref-type="statement" rid="deff11"> 11</xref>。 </statement> 因此,一个WACS没有哈密顿循环。这个特殊的功能会导致下面的定理。 <statement id="thm7"> <title>定理7。</t我tle> 每一个WACS必须至少有一条路径,这不是封闭的。 </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个WACS。一个封闭的路径在同一顶点开始和结束。自一个WACS顶点没有传入链接,它产生一个开放的路径。因此,每一个WACS至少有一条路径不关闭。 图在图<xref ref-type="fig" rid="fig16"> 16</xref>显示了一个WACS有三个顶点,而不是封闭的。 图可以用矩阵的形式表示即邻接矩阵(见定义<xref ref-type="statement" rid="deff2"> 2</xref>)。图在图的邻接矩阵<xref ref-type="fig" rid="fig14"> 14</xref>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> 也是,相邻矩阵的主对角线的条目都是零。它包含一个0行,这表明存在一个顶点没有传入链接。因此,每一个WACS可以映射到一个方阵中给出以下定理。 </statement> <fig id="fig16"> <label>图16</label> 一个WACS与路径,不关闭。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0016"></graphic> </fig> <statement id="thm8"> <title>定理8。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个WACS的定义<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> 当</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 和</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∉</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> 当</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 和</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。考虑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组有限的WACS和让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 与</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个方阵。定义<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ∍</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个双射函数。 </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle> <list> <list-item> <label>(我)</label> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> 让</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 和</mml:mtext> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∴</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 是一个好</mml:mtext> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mtext> 定义函数</mml:mtext> <mml:mtext> 。</mml:mtext> </mml:math> </inline-formula> <list-item> <label>(2)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 是到自</mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ∃</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∍</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 和</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 为</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(3)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtext> 假设</mml:mtext> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 和</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ∀</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> <mml:mo> ∴</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 是一比一</mml:mtext> </mml:math> </inline-formula> </list-item> </statement> 一般来说,一个WACS<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点包含没有多个边缘的顶点。因此,顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>边缘。然而,其他<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>顶点可能有多个边缘。下面的定理证明,有限的顶点WACS产生一组有限的边缘。 <statement id="thm9"> <title>定理9。</t我tle> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个WACS和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 </statement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个WACS和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。没有传入链接,存在一个顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。最可能的边缘<我t一个lic> G</我t一个lic>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋱</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∪</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋰</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 因此,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (5)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 因此,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd rowspan="8"> <mml:mtext> (6)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> !</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> 因此,WACS<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点的边数最多<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 </statement> 下面的小节传递比赛和WACS之间建立关系。 <sec id="sec3.1"> <title>3.1。作为一个WACS传递比赛</t我tle> 比赛由两两之间的比较对象。肯德尔(讨论的比较的过程<xref ref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>]大卫[<xref ref-type="bibr" rid="B25"> 25</xref>]。最可能的比赛图形式化的边数定理<xref ref-type="statement" rid="thm10"> 10</xref>如下。 <statement id="thm10"> <title>定理10。</t我tle> 比赛的最可能的边缘图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </statement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle> 假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个比赛图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点。 <inline-graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig-inline.001"></inline-graphic> 其所有可能的边缘可以写成一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋱</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和边的数量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (8)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋱</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1。</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 特别是,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd rowspan="5"> <mml:mtext> (9)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mo> ⋯</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:mi> 因此,</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mrow> <mml:mtext> 这样</mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 意味着</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 或</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 因此,最可能的边数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 </statement> 比较之间的边数WACS和过渡比赛,即比赛产生的边的数量小于边的数量产生的WACS对一个给定的图。下面的引理是必要的。 <statement id="lem1"> <title>引理1。</t我tle> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 为</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 </statement> <statement id="proof6"> <title>证明。</t我tle> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd rowspan="7"> <mml:mtext> (10)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> !</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> !</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 为</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 自</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 每当</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 </statement> 因此,传递比赛和WACS的关系建立了以下定理。 <statement id="thm11"> <title>定理11。</t我tle> 每一个传递锦标赛是一个WACS。 </statement> <statement id="proof7"> <title>证明。</t我tle> 首先,传递锦标赛是保证有一个顶点,没有传入链接定理<xref ref-type="statement" rid="thm4"> 4</xref>以及没有循环的定理<xref ref-type="statement" rid="thm5"> 5</xref>。此外,它包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>边数。定理<xref ref-type="statement" rid="thm9"> 9</xref>和定理<xref ref-type="statement" rid="thm10"> 10</xref>保证边缘产生的WACS的可能的最大数量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>相同数量的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点。因此,传递锦标赛的边数不会超过一个WACS的边的数量由引理<xref ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xref>。因此,每一个传递锦标赛是一个WACS的定义<xref ref-type="statement" rid="deff12"> 12</xref>。 </statement> 图<xref ref-type="fig" rid="fig17"> 17</xref>描述之间的关系传递比赛和ACS。 本文的目的是建立ACS和点之间的关系。在下一节中,偏好图(PM)的潜在方法。在这项工作中,我们使用术语“潜在图”简而言之偏好图的潜在方法。一个简单点的定义提出了部分<xref ref-type="sec" rid="sec2.2"> 2.2</xref>。有两种类型的方向指出的部分<xref ref-type="sec" rid="sec2.3.1"> 2.3。1</xref>。在本文中,我们考虑潜在的传递方向图。 <fig id="fig17"> <label>图17</label> 是一个WACS传递比赛。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0017"></graphic> </fig> </sec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。传递势图</t我tle> 下面的例子是来自Čaklović和Kurdija<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>)与一些额外的信息来说明潜在的传递方向图。 <statement id="ex1"> <title>例1。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 和</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是物品的偏好。假设下面的偏好<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 和</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <list> <list-item> <label>(我)</label> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是首选<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>1。 <list-item> <label>(2)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>比<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>由2。 </list-item> <list-item> <label>(3)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是首选<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>除以4。 </list-item> <list-item> <label>(iv)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>比<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>1。 </list-item> <list-item> <label>(v)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>比<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>通过3。 </list-item> <list-item> <label>(vi)</label> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>更倾向于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>2 </list-item> 简而言之,偏好<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mtext> 和</mml:mtext> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ≻</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>强度的1、2、4、1、3和2,分别。以下是边缘的偏好:<list> <list-item> <label>(我)</label> </list-item> </list> 边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <list-item> <label>(2)</label> 边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(3)</label> 边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(iv)</label> 边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(v)</label> 边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(vi)</label> 边缘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> 传递势图如图<xref ref-type="fig" rid="fig18"> 18</xref>。顶点代表物品的偏好<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。优势代表了力量的强度值两个优先项目。 显然,任何传递潜在图中不包含任何长度的循环。这种情况会导致下面的定理。 </statement> <fig id="fig18"> <label>图18</label> 传递势图。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0018"></graphic> </fig> <statement id="thm12"> <title>定理12。</t我tle> 潜在的图传递当且仅它不包含周期。 </statement> <statement id="proof8"> <title>证明。</t我tle> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ⟹</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>假设一个潜在的图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>传递,但包含一个循环<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>包含并行弧<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,因此矛盾<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为一个潜在的图。此外,为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>弧;传递性暗示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧。现在我们知道<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧,自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧,又传递性暗示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧。我们这样的原因,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>次得出这样的结论:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧。然而,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>也是一个弧的有向图,因为它是循环的一部分。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>包含并行弧<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>矛盾的是,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为一个潜在的图。 <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ⟸</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>假设一个潜在的图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>不包含周期。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>包含弧<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们知道<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>不含平行的弧线。不能有潜在的图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为一个弧,因为如果那样,它将包含周期<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因为它是一个潜在的图表<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>要么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个弧。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是传递。 </statement> 传递潜在的一些示例图如图<xref ref-type="fig" rid="fig19"> 19</xref>。 因此,传递潜在图的确是一个WACS并提出了以下定理。 <fig id="fig19"> <label>图19</label> 传递势图的例子。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0019"></graphic> </fig> <statement id="thm13"> <title>定理13。</t我tle> 每一个图是一个WACS传递潜力。 </statement> <statement id="proof9"> <title>证明。</t我tle> 传递潜在图既没有循环也不平行边。这是一个弱连通图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm6"> 6</xref>。因此,它不包含任何长度的循环的定理<xref ref-type="statement" rid="thm12"> 12</xref>。因此,它会产生一个开放路径定理<xref ref-type="statement" rid="thm7"> 7</xref>。因此,通过定义<xref ref-type="statement" rid="deff12"> 12</xref>每一个图是一个WACS传递潜力。 </statement> 势图通常来自优化或多准则问题。因此,这样的转换问题可以研究作为一种特殊的图,即严格WACS)。一个WACS以来是一个清爽的图边缘要么是0或1。以下部分将讨论也是和模糊的关系图。 <sec id="sec4.1"> <title>4.1。弱自催化设置为模糊图</t我tle> 模糊的概念图的模糊性是脆图使用模糊集,模糊图是一个复制的脆图(<xref ref-type="bibr" rid="B36"> 36</xref>]。定理<xref ref-type="statement" rid="thm14"> 14</xref>证明WACS模糊图的一种特殊情况。 <statement id="thm14"> <title>定理14。</t我tle> 每一个WACS是一个模糊的图像。 </statement> <statement id="proof10"> <title>证明。</t我tle> 每一个清晰的图是一个模糊图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>。因此,每一个WACS也是一个模糊图自WACS只是一种特殊的脆图。 </statement> 也是是一个清晰的图。清晰的图表都是模糊而不是相反。因此上述定理的交谈是不正确的。 下面的定理定理的直接后果<xref ref-type="statement" rid="thm14"> 14</xref>。 <statement id="thm15"> <title>定理15。</t我tle> 每一个传递潜在的图像是一个模糊图。 </statement> <statement id="proof11"> <title>证明。</t我tle> 每一个传递潜在图是一个WACS定理<xref ref-type="statement" rid="thm13"> 13</xref>。因此,每一个WACS模糊图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm14"> 14</xref>。因此,每一个传递潜在的图像是一个模糊图。 </statement> 定理的交谈<xref ref-type="statement" rid="thm15"> 15</xref>类似的观点是不正确的,定理呢<xref ref-type="statement" rid="thm14"> 14</xref>早些时候;也就是说,一个ll crisp graphs are fuzzy but not the other way around. 在下一节中,一个新的概念叫做模糊弱催化集概述。 </sec> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。模糊弱催化集</t我tle> 也是导致新结构的模糊性,即模糊弱催化集(FWACS)。FWACS的定义是形式化的定义<xref ref-type="statement" rid="deff13"> 13</xref>。的一个例子FWACS如图<xref ref-type="fig" rid="fig20"> 20.</xref>。 <fig id="fig20"> <label>图20</label> FWACS。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0020"></graphic> </fig> <statement id="deff13"> <title>定义13。</t我tle> 一套模糊弱催化(FWACS)是一个WACS这样每条边<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个会员的价值,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 为</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。 一个WACS是脆的图,它是一种特殊类型的FWACS定理的提出<xref ref-type="statement" rid="thm16"> 16</xref>。 </statement> <statement id="thm16"> <title>定理16。</t我tle> 每一个WACS FWACS。 </statement> <statement id="proof12"> <title>证明。</t我tle> 每一个清晰的图是一个模糊图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>。因此,每个ACS是流式细胞仪的一种特殊情况;因此每一个WACS FWACS。 </statement> 此外,下面的定理定理的直接后果<xref ref-type="statement" rid="thm16"> 16</xref>。 <statement id="thm17"> <title>定理17。</t我tle> 每个FWACS模糊图。 </statement> <statement id="proof13"> <title>证明。</t我tle> 定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>确定每一个清晰的图是一个模糊图。每一个流式细胞仪也是一个模糊图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xref>立即,这意味着每个FWACS模糊图。 </statement> 有5种脆图记录在蓝色et al。<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]。每一个清晰的图是一个模糊图和反过来是不正确的。并不是所有的图是自催化集。显然,反过来的定理<xref ref-type="statement" rid="thm17"> 17</xref>是不正确的。 我们已经证明,一个传递潜在图是一个WACS和模糊图的一种特殊情况。下一节介绍了偏好流边缘。 <sec id="sec5.1"> <title>5.1。模糊传递势图的边缘</t我tle> 考虑到潜在的图在图<xref ref-type="fig" rid="fig18"> 18</xref>。图的邻接矩阵<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 优先流的转换在下一小节中描述模糊成员值。 <sec id="sec5.1.1"> <title>5.1.1。会员的价值模糊边缘通过线性变换</t我tle> 优先流间隔的例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 1</xref>转换线性模糊隶属值如图<xref ref-type="fig" rid="fig21"> 21</xref>。 <fig id="fig21"> <label>图21</label> 线性变换的优先流。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0021"></graphic> </fig> 在示例<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 1</xref>区间[0,4]是用来表示选择的力量。表<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>列出了改造强度模糊隶属值的偏好。 <table-wrap id="tab1"> <label>表1</label> 模糊成员的价值偏好规模。 <table> <thead> <tr> <th align="left">偏好规模</th><th一个lign="center">偏好强度的潜在方法</th><th一个lign="center">模糊数</th></tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">平等的</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">0</td></tr> <tr> <td align="left">弱</td><td一个lign="center">1</td><td一个lign="center">0.25</td></tr> <tr> <td align="left">相当强大的</td><td一个lign="center">2</td><td一个lign="center">0.5</td></tr> <tr> <td align="left">非常强烈的</td><td一个lign="center">3</td><td一个lign="center">0.75</td></tr> <tr> <td align="left">绝对</td><td一个lign="center">4</td><td一个lign="center">1</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> 清晰和模糊图的例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 1</xref>说明在图<xref ref-type="fig" rid="fig22"> 22</xref>。 <fig-group id="fig22"> <label>图22</label> 清晰和模糊图的例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 1</xref>。(一)传递势图。(b) FWACS。 <fig id="fig22a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0022a"></graphic> </fig> <fig id="fig22b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0022b"></graphic> </fig> </fig-group> 同样的颜色和厚度的每条边脆图(见图<xref ref-type="fig" rid="fig22a"> (22日)</xref>)表明顶点之间的连接被认为是相同的。1的值被分配当有两个顶点之间的边。如果没有优势,值0。 图<xref ref-type="fig" rid="fig22b"> 22 (b)</xref>说明了模糊图。边缘有不同的“优势”,这是由其成员值决定的。此外,会员价值越大,越强图的两个顶点之间的联系。因此,不同的厚度和颜色代表的力量连接顶点的优势。 因此,FWACS的邻接矩阵<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.25</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.25</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.75</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 在以下小节中,我们目前的关系图和FWACS传递的潜力。 </sec> </sec> <sec id="sec5.2"> <title>5.2。传递潜在FWACS图</t我tle> 传递潜在的关系图和FWACS立即可以观察到。的关系是正式的下面的定理。 <statement id="thm18"> <title>定理18。</t我tle> 每一个传递潜在图FWACS。 </statement> <statement id="proof14"> <title>证明。</t我tle> 定理<xref ref-type="statement" rid="thm13"> 13</xref>是一个WACS证明传递势图。传递潜在图是一个模糊图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm14"> 14</xref>。的边缘的模糊值[0,1]。因此,每一个传递潜在图FWACS的定义<xref ref-type="statement" rid="deff13"> 13</xref>。 </statement> 每个FWACS模糊图的定理<xref ref-type="statement" rid="thm17"> 17</xref>。但反过来定理<xref ref-type="statement" rid="thm15"> 15</xref>是不正确的;即模糊图并不一定是传递潜在图。因此,匡威的定理<xref ref-type="statement" rid="thm18"> 18</xref>是不正确的。 </sec> <sec id="sec5.3"> <title>5.3。偏好图模糊图类型5</t我tle> 事实上,通用版本的定理<xref ref-type="statement" rid="thm18"> 18</xref>可以直接从最近的偏好的定义推导出图(见定义吗<xref ref-type="statement" rid="deff7"> 7</xref>由Čaklović和Kurdija(引入)<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>]。 <statement id="thm19"> <title>定理19。</t我tle> 每一个偏好图是一种模糊图5所示。 </statement> <statement id="proof15"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个偏好图定义的定义<xref ref-type="statement" rid="deff7"> 7</xref>。考虑优先流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ℝ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>下定义<xref ref-type="statement" rid="deff7"> 7</xref>。的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mi> ℝ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是同胚的(0,1),即<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xref ref-type="bibr" rid="B37"> 37</xref>]。但是,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⊂</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;因此,优先流<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>可以写成<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⊂</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>现在是一个分类的模糊图类型5蓝色et al。<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>)和Tahir et al。<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>]。 </statement> 一种模糊图5是一个清爽的图中定义的边缘模糊权重蓝色et al。<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]。另一方面,偏好图是一个三倍<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> ℕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>顶点(代表选择),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⊆</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组定向边缘,然后呢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ℝ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>优先流,每个边缘地图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>到相应的强度,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,所定义<xref ref-type="statement" rid="deff7"> 7</xref>。然而,模糊图类型5比偏好图自前一般可容纳直接的或间接的边缘。因此,很明显,每一个偏好图是一种模糊图5,而不是反过来。 图<xref ref-type="fig" rid="fig23"> 23</xref>总结了ACS的关系,WACS,流式细胞仪和FWACS。 <fig id="fig23"> <label>图23</label> 一个示意图来说明偏好之间的关系和模糊图。 <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/afs/2020/8697890.fig.0023"></graphic> </fig> </sec> </sec> <sec id="sec6"> <title>6。结论</t我tle> 本文介绍了一种新颖的定义弱版本的ACS,即”也是。的WACS最初来源于传递比赛作为一个点之间的“桥梁”和ACS。下午的WACS提出一些新的见解。此外,FWACS定义为点的边缘模糊不确定性。最后,我们证明了任何偏好图的点是一种模糊图5所示。 简而言之,本文实现的主要推力Čaklović提出的框架(<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>点)。发达FWACS能够处理不确定性问题的多准则决策(指标)。其中的一些可以在提Salwana et al。<xref ref-type="bibr" rid="B38"> 38</xref>]。 </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> 获得的数据从Caklovic Kurdija [<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>][<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://doi.org/10.1016/j.ejor.2016.10.032"> https://doi.org/10.1016/j.ejor.2016.10.032</ext-link>)与一些额外的信息被用来传递潜在图上支持我们的研究结果及其与模糊的关系图。 </sec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> 作者宣称没有利益冲突有关的出版。 </sec> <ack> <title>确认</t我tle> 这项工作是支持的基础研究资助计划(德意志联邦共和国)投票4 f756从高等教育(邻蒙古)、马来西亚和MyBrainSc奖学金。 </ack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 饶</年代urname> <given-names> r . V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 评估的决策框架模型柔性制造系统使用有向图和矩阵方法</一个rticle-title> <source> <italic> 国际先进制造技术杂志》上</我t一个lic> <year> 2006年</ye一个r> <volume> 30.</volume> <issue> 11 - 12</我年代年代ue><fpage> 1101年</fpage> <lpage> 1110年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00170 - 005 - 0150 - 6</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33750005146</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模糊图的顶点着色使用阿尔芭</一个rticle-title> <source> <italic> 国际管理杂志》上,它和工程</我t一个lic> <year> 2012年</ye一个r> <volume> 2</volume> <issue> 8</我年代年代ue><fpage> 340年</fpage> <lpage> 352年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 儿子</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 库马尔</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Selvachandran</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> <name> <surname> 郭先生</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新概念的顶点和边的颜色简单的模糊图</一个rticle-title> <source> <italic> 对称</我t一个lic> <year> 2018年</ye一个r> <volume> 10</volume> <issue> 9</我年代年代ue><fpage> 373年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3390 / sym10090373</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85054416688</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模糊图着色技术分类意外交通管制的区域</一个rticle-title> <source> <italic> 年报的纯粹与应用数学</我t一个lic> <year> 2013年</ye一个r> <volume> 3</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 169年</fpage> <lpage> 178年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="incollection"> <label>5</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 普拉丹</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模糊健壮的图着色问题</一个rticle-title> <source> <italic> 学报》第三届国际会议上智能计算的前沿:理论和应用程序(FICTA) 2014</我t一个lic> <year> 2015年</ye一个r> <publisher-loc> 可汗、瑞士</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <fpage> 805年</fpage> <lpage> 813年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 区间二型模糊集的模糊最短路径问题</一个rticle-title> <source> <italic> 数学</我t一个lic> <year> 2016年</ye一个r> <volume> 4</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 62年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3390 / math4040062</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85039774074</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 普拉丹</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 遗传算法求解模糊区间二型模糊电弧长度最短路径问题</一个rticle-title> <source> <italic> 马来西亚计算机科学杂志》上</我t一个lic> <year> 2018年</ye一个r> <volume> 31日</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 255年</fpage> <lpage> 270年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.22452 / mjcs.vol31no4.2</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85056598401</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吴</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> Knoke</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Thoben</年代urname> <given-names> K.-D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 应用图论和制造业的产品状态的概念</一个rticle-title> <source> <italic> Procedia技术</我t一个lic> <year> 2014年</ye一个r> <volume> 15</volume> <fpage> 349年</fpage> <lpage> 358年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.protcy.2014.09.089</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿马拉尔</年代urname> <given-names> l . a . N。</given-names> </name> <name> <surname> Ottino</年代urname> <given-names> j . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 复杂的系统和网络:挑战和机遇为化学和生物工程师</一个rticle-title> <source> <italic> 化学工程科学</我t一个lic> <year> 2004年</ye一个r> <volume> 59</volume> <issue> 8 - 9</我年代年代ue><fpage> 1653年</fpage> <lpage> 1666年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ces.2004.01.043</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 2442437721</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="book"> <label>10</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Harary</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 图论</我t一个lic> <year> 1969年</ye一个r> <publisher-loc> 波士顿,美国</publisher-loc> <publisher-name> 艾迪生韦斯利出版公司</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴伊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 朋友</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 长</年代urname> <given-names> h . V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模糊最小生成树和区间二型模糊弧长:制定和一种新的遗传算法</一个rticle-title> <source> <italic> 软计算</我t一个lic> <year> 2010年</ye一个r> <volume> 24</volume> <fpage> 3963年</fpage> <lpage> 3974年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00500 - 019 - 04166 - 1</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85068189992</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗森菲尔德</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 计算模糊图:办公室的支持活动,国家科学基金会,在格兰特gj - 32258 x,欣然承认,雪莉罗的帮助下,在准备这篇论文</一个rticle-title> <source> <italic> 模糊集及其应用认知和决策过程</我t一个lic> <year> 1975年</ye一个r> <volume> 513年</volume> <fpage> 77年</fpage> <lpage> 95年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / b978 - 0 - 12 - 775260 - 0.50008 - 6</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 蓝色的</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 布什</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 帕克特</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 统一的模糊图问题的方法</一个rticle-title> <source> <italic> 模糊集和系统</我t一个lic> <year> 2002年</ye一个r> <volume> 125年</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 355年</fpage> <lpage> 368年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0165 - 0114 (01) 00011 - 2</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0036466776</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Tahir</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Sabariah</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Khairil Anuar</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一套临床使用模糊自催化焚烧过程建模</一个rticle-title> <source> <italic> 数学化学杂志</我t一个lic> <year> 2010年</ye一个r> <volume> 47</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 1263年</fpage> <lpage> 1273年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s10910 - 009 - 9650 - 1</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77952288498</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 考夫曼</年代urname> <given-names> 美国一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 细胞内稳态,后成随机聚合大分子系统和复制</一个rticle-title> <source> <italic> 《控制论</我t一个lic> <year> 1971年</ye一个r> <volume> 1</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 71年</fpage> <lpage> 96年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 01969727108545830</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0015004760</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rossler</年代urname> <given-names> o . E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 静脉systemtheoretisches莫德尔苏珥biogenese /生物起源的系统理论模型</一个rticle-title> <source> <italic> Zeitschrift毛皮Naturforschung B</我t一个lic> <year> 1971年</ye一个r> <volume> 26</volume> <issue> 8</我年代年代ue><fpage> 741年</fpage> <lpage> 746年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1515 / znb - 1971 - 0801</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0015100439</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 特征</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Selforganization的物质和生物大分子的进化</一个rticle-title> <source> <italic> 死的《自然科学》杂志上</我t一个lic> <year> 1971年</ye一个r> <volume> 58</volume> <issue> 10</我年代年代ue><fpage> 465年</fpage> <lpage> 523年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / bf00623322</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0015133749</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 耆那教徒的</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 克利须那神</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 自催化集和复杂性的发展进化模型</一个rticle-title> <source> <italic> 物理评论快报</我t一个lic> <year> 1998年</ye一个r> <volume> 81年</volume> <issue> 25</我年代年代ue><fpage> 5684年</fpage> <lpage> 5687年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / physrevlett.81.5684</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0001524340</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shirinivas</年代urname> <given-names> s G。</given-names> </name> <name> <surname> Vetrivel</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Elango</年代urname> <given-names> n·M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 图论在计算机科学中的应用概况</一个rticle-title> <source> <italic> 国际工程科学与技术杂志》上</我t一个lic> <year> 2010年</ye一个r> <volume> 2</volume> <issue> 9</我年代年代ue><fpage> 4610年</fpage> <lpage> 4621年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="book"> <label>20.</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 饶</年代urname> <given-names> r . V。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 决策在制造业环境:使用图论和模糊多属性决策方法</我t一个lic> <year> 2007年</ye一个r> <publisher-loc> 柏林,德国</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格科学与商业媒体</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="inproceedings"> <label>21</label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Čaklović</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在评分过程中交互的标准</一个rticle-title> <conf-name> 《知识Society-Challenges管理全球化的地区主义和欧盟东扩</conf-name> <conf-date> 2004年</conf-date> <conf-loc> 科佩尔(斯洛文尼亚</conf-loc> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="misc"> <label>22</label> <element-citation publication-type="other"> <comment> Čaklović,L。,Dec我年代我on making via potential method. preprint, 2002</comment> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Čaklović</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> Kurdija</年代urname> <given-names> 答:S。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 全民投票系统基于潜在的方法</一个rticle-title> <source> <italic> 欧洲运筹学杂志》上</我t一个lic> <year> 2017年</ye一个r> <volume> 259年</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 677年</fpage> <lpage> 688年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ejor.2016.10.032</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85006263320</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 肯德尔</年代urname> <given-names> m·G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 进一步的理论贡献成对比较</一个rticle-title> <source> <italic> 生物识别技术</我t一个lic> <year> 1955年</ye一个r> <volume> 11</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 43</fpage> <lpage> 62年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 3001479</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="book"> <label>25</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 大卫</年代urname> <given-names> h·A。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 成对比较的方法</我t一个lic> <year> 1963年</ye一个r> <volume> 12</volume> <publisher-loc> 伦敦</publisher-loc> <publisher-name> 格里芬</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>26</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 大卫</年代urname> <given-names> h·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 比赛和成对比较</一个rticle-title> <source> <italic> 生物统计学</我t一个lic> <year> 1959年</ye一个r> <volume> 46</volume> <issue> 1/2</我年代年代ue><fpage> 139年</fpage> <lpage> 149年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2332816</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Harary</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> 莫泽</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 循环赛比赛的理论</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学月刊</我t一个lic> <year> 1966年</ye一个r> <volume> 73年</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 231年</fpage> <lpage> 246年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2315334</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 月亮</年代urname> <given-names> j·W。</given-names> </name> <name> <surname> 铂尔曼</年代urname> <given-names> n . J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在比赛的权力矩阵</一个rticle-title> <source> <italic> 杂志的组合理论</我t一个lic> <year> 1967年</ye一个r> <volume> 3</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 1</fpage> <lpage> 9</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0021 - 9800 (67) 80009 - 7</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0002039376</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 肯德尔</年代urname> <given-names> m·G。</given-names> </name> <name> <surname> 史密斯</年代urname> <given-names> B . B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 成对比较的方法</一个rticle-title> <source> <italic> 生物统计学</我t一个lic> <year> 1940年</ye一个r> <volume> 31日</volume> <issue> 3 - 4</我年代年代ue><fpage> 324年</fpage> <lpage> 345年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2332613</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>30.</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 特沃斯基</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 不及物性的偏好</一个rticle-title> <source> <italic> 心理评估</我t一个lic> <year> 1969年</ye一个r> <volume> 76年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 31日</fpage> <lpage> 48</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1037 / h0026750</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 58149412614</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 盖斯</年代urname> <given-names> 我美国。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 比赛,传递性和成对比较矩阵</一个rticle-title> <source> <italic> 《运筹学学会》杂志上</我t一个lic> <year> 1998年</ye一个r> <volume> 49</volume> <issue> 6</我年代年代ue><fpage> 616年</fpage> <lpage> 624年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1057 / palgrave.jors.2600572</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0032097674</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="book"> <label>32</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 哲人</年代urname> <given-names> m . N。</given-names> </name> <name> <surname> Thulasiraman</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 图:理论和算法</我t一个lic> <year> 1992年</ye一个r> <publisher-loc> 美国新泽西州霍博肯</publisher-loc> <publisher-name> 约翰威利& Sons</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="book"> <label>33</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Skiena</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 实现离散数学:组合数学与图论与数学</我t一个lic> <year> 1990年</ye一个r> <publisher-loc> 波士顿,美国</publisher-loc> <publisher-name> addison - wesley</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>34</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 策</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 对弱连接</一个rticle-title> <source> <italic> 离散数学</我t一个lic> <year> 1997年</ye一个r> <volume> 165 - 166</volume> <fpage> 579年</fpage> <lpage> 586年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0012 - 365 x (96) 00203 - 8</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0043133503</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>35</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 月亮</年代urname> <given-names> j·W。</given-names> </name> <name> <surname> 铂尔曼</年代urname> <given-names> n . J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在广义锦标赛矩阵</一个rticle-title> <source> <italic> 暹罗审查</我t一个lic> <year> 1970年</ye一个r> <volume> 12</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 384年</fpage> <lpage> 399年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / 1012081</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B36" content-type="article"> <label>36</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sabariah</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Tahir</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 穆罕默德拉希德</年代urname> <given-names> m . Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模糊边缘连接和变量之间的关系在临床垃圾焚烧过程</一个rticle-title> <source> <italic> Matematika</我t一个lic> <year> 2009年</ye一个r> <volume> 25</volume> <fpage> 31日</fpage> <lpage> 38</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B37" content-type="misc"> <label>37</label> <element-citation publication-type="other"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 满足</年代urname> <given-names> f·S。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在拓扑和实线。实分析交换</一个rticle-title> <year> 1999年</ye一个r> <comment> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://projecteuclid.org/euclid.rae/1230995411"> https://projecteuclid.org/euclid.rae/1230995411</ext-link> </comment> </element-citation> </ref> <ref id="B38" content-type="inproceedings"> <label>38</label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 西蒂Salwana</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Tahir</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 西蒂Rahmah</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 默罕默德Zilullah</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 排名由模糊弱催化组</一个rticle-title> <conf-name> 程序的软计算在数据科学国际会议</conf-name> <conf-date> 2018年</conf-date> <conf-loc> 泰国曼谷</conf-loc> <fpage> 161年</fpage> <lpage> 172年</lpage> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>