典型的纳米线(NWs)通常被称为一维材料与纳米直径或周边和大量表面area-to-volume比率。NWs有相当大的潜力在不同的应用程序,比如电子分子,nanoelectromechanical系统,为防灾减灾和新颖的建筑材料,( 1- - - - - - 12]。NWs成未来代nanodevices的应用需要一个完整的理解的NW力学性能( 2]。许多直接测量执行调查NWs的机械性能( 3]。不同于大部分材料的机械测试,NW测试严重依赖于实验装置;特别是,操纵过程导致实质性的挑战由于小NW维度( 4]。在许多实验中,如在 1- - - - - - 6),测量变形量小于直径可分类small-deflection问题。除了实验努力,理论预测,也可用于西北力学分析。理论预测分为两大类:一是原子模型,其中包括技术,如单调乏味 从头开始分子动力学计算和密度泛函模型( 5),第二个是连续介质力学建模 6- - - - - - 10]。NWs深受其表面特征,从而导致不同的力学性能相比之下,他们的大部分同行。因此,连续介质力学建模的固体西北的机械性能,必须考虑表面应力的作用。张等人分析了表面残余应力的影响的不对称的屈服强度和弹性NWs势能方法的基础上( 6]。壮族提出了一个简单的理论来研究固体的增强强度NW ( 7]。古普塔还提出了连续体配方研究奈米棒的有限变形/ NWs [ 8]。西北的大挠度变形涉及大型旋转角和无限小应变。所以,这种情况下将不考虑在我们的模式。

虽然经典的连续介质力学模型可以有效地预测西北变形,其适用性识别表面影响的有效模量NWs是乏味的。因此,一个相对简单的方法,可以直接描述固体的力学性能应开发西北。在这部作品中,古典位移法用于研究西北的张力和扭力和表面弹性的影响有效杨氏模和剪切模。

示意图如图 1,我们考虑一个拉伸和扭曲的核壳NW模型视为一个复合,组成一个圆柱形核心(散装)和表层。平衡方程,strain-displacement关系和各向同性的散装材料的本构方程表示如下: (1) ε 我 j = 1 2 u 我 , j + u j , 我 , (2) σ 我 j = λ ε k k δ 我 j + 2 G ε 我 j , (3) σ 我 j , j = 0 , 在哪里 σ 我 j , u 我 , ε 我 j 表示的应力、位移和压力的核心,分别 λ 和 G 大部分的拉梅常量。弹性各向同性表层,表面应力和弹性应变的线性关系可以通过Gurtin-Murdoch弹性表示如下( 9]: (4) τ α β 年代 = τ 0 δ α β + λ 年代 ε χ χ 年代 δ α β + 2 G 年代 ε α β 年代 , 在哪里 λ _年代和 G _年代表面模量, τ 0 表面残余应力, δ α β 表示表面克里斯托费尔符号。根据力学平衡表层的分析和核心,西北的广义Young-Laplace方程表示如下( 6, 10]: (5) σ α j n j + τ α β , β 年代 = 0 , (6) σ 我 j n j n 我 = τ α β 年代 κ α β 年代 , 在哪里 n j 单位法向量和吗 κ α β 年代 是表面的曲率张量(图 2)。西北的应力分布可以获得使用经典的位移法方程的基础上( 1)∼( 6),也就是说,大部分压力和表面应力可以直接取代大部分通过位移/应变本构方程公式。全球主要位移控制方程建立了使用广义Young-Laplace方程。场方程的解在圆柱坐标可以简化如果NW受到张力和扭力。我们假设 u z 是的函数 z和 u ρ 是的函数 ρ 。根据方程( 1),非零压力 (7) ε z = d u z d z , ε ρ = d u ρ d ρ r , ε φ = u ρ ρ , γ z φ = ∂ u φ ∂ z 。

后用方程( 7)方程( 2),大部分的压力组件 (8) σ ρ = λ + 2 G d u ρ d ρ + λ d u z d z + λ u ρ ρ , (9) σ φ = λ + 2 G u ρ ρ + λ d u z d z + λ d u ρ d ρ , (10) σ z = λ + 2 G d u z d z + λ u ρ ρ + λ d u ρ d ρ , (11) τ z φ = G γ z φ 。

用方程( 8)- ( 11)方程( 3),它是指出 σ ρ = σ φ 和压力组件自动发现满足径向平衡方程。,我们得到 ε ρ = ε φ 和 u ρ 沿径向方向线性分布。轴向和周向平衡方程可以简化为以下形式: (12) d 2 u z d z 2 = 0 , (13) ∂ 2 u φ ∂ φ 2 = 0 , 这意味着 u z 和 u φ 沿着轴向NW方向线性分布。现在,可以表达的位移场 (14) u φ = ρ 一个 1 z + b 1 , (15) u z = 一个 2 z + b 2 , (16) u ρ = 一个 3 ρ , 在哪里 一个 1 ∼ 一个 3 和 b 1 ∼ b 2 是常数边界条件有关。西北的表面被认为是特点是散装固体的变形,这样表面菌株可以表达的 (17) ε z z 年代 = 一个 2 , ε φ φ 年代 = 一个 3 , γ z φ 年代 = R 0 一个 1 , 在哪里 R 0 是西北的半径。用方程( 17)方程( 4),表面应力 (18) τ z z 年代 = τ 0 + λ 年代 + 2 G 年代 一个 2 + λ 年代 一个 3 , (19) τ φ φ 年代 = τ 0 + λ 年代 + 2 G 年代 一个 3 + λ 年代 一个 2 , (20) τ z φ 年代 = G 年代 R 0 一个 1 。

用方程( 18)- ( 20.)到方程( 5)和( 6),上面的表面应力组件自动满足轴向和周向广义Young-Laplace方程。广义Young-Laplace方程沿径向方向 σ ρ = τ φ φ 年代 / R 0 ,这是 (21) 一个 3 = − λ + λ p 一个 2 2 λ + G + λ p + 2 G p 。

在一个恒定的外部负载 P,平均截面上的正应力西北 (22) σ ¯ = P π R 0 2 = 2 τ 0 R 0 + λ + 2 G + 2 λ p + 2 G p 一个 2 + 2 λ + λ p 一个 3 , 在哪里 λ p = λ 年代 / R 0 和 G p = G 年代 / R 0 。在一个外部扭力常数 T横截面上的剪应力,NW满足以下方程: (23) G 我 p + G 年代 我 年代 一个 1 = T , 在哪里 我 p = π R 0 4 / 32 和 我 年代 = 2 π R 0 3 。结合方程( 17),( 22)和( 23),常量可以确认如下: (24) 一个 1 = T G 我 p + G 年代 我 年代 , (25) 一个 2 = σ ¯ − 2 τ 0 / R 0 2 λ + 2 G + λ p + 2 G p 2 G 2 G + 3 λ + λ P 6 G + λ + 2 G p 6 G + 5 λ + 4 G p + 4 λ p , (26) 一个 3 = − − σ ¯ − 2 τ 0 / R 0 λ + λ p 2 G 2 G + 3 λ + λ P 6 G + λ + 2 G p 6 G + 5 λ + 4 G p + 4 λ p 。

我们下一个决定表面残余应变的分布,然后考虑西北的有效模量。如果非零表面残余应力存在NW表面,让 σ ¯ = 0 在方程( 25)和( 26),然后放松表面轴向应变和圆周应变表示如下: (27) ε z z 0 年代 = − 2 τ 0 / R 0 2 λ + 2 G + λ p + 2 G p 2 G 2 G + 3 λ + λ P 6 G + λ + 2 G p 6 G + 5 λ + 4 G p + 4 λ p , ε φ φ 0 年代 = − 2 τ 0 / R 0 λ + λ p 2 G 2 G + 3 λ + λ P 6 G + λ + 2 G p 6 G + 5 λ + 4 G p + 4 λ p 。

表面残余应力的NW固有self-equilibrium状态,即独立于外部负载。如果NW受到张力和扭力,西北的应变和应力分析也可以执行使用方程( 7)∼( 26)。让 u z 0 和 u z l 是两个西北的轴向位移和结束 l 0 是西北的初始长度;平均轴向应变 (28) ε ¯ = u z l − u z 0 l 0 = 一个 2 。

西北的有效菌株之间的差异平均轴向应变和表面径向应变,如下表示: (29) ε 泽 = ε ¯ z z − ε z z 0 年代 , ε φ eff = ε ¯ φ φ − ε z z 0 年代 。

因此,西北的有效杨氏模量得到如下: (30) E eff = σ ¯ ε 泽 = 2 G 2 G + 3 λ + λ P 6 G + λ + 2 G p 6 G + 5 λ + 4 G p + 4 λ p 2 λ + 2 G + λ p + 2 G p 。

西北的有效泊松比 (31) E eff = − 一个 3 一个 2 = λ + λ p 2 λ + 2 G + λ p + 2 G p 。

西北的有效剪切模量 (32) G eff = T 我 p 一个 1 = G + G 年代 我 年代 我 p 。

位移、压力、体积应力和表面应力的NW已经决定使用经典的位移方法。图 3显示了变化的有效杨氏模NW相比之下,它的半径。例如,在半岛西北,表面模 λ 年代 = 6.8415 N / 米 和 G 年代 = − 0.3755 N / 米 ( 6]。大部分参数 λ = 59.2 平均绩点 和 G = 25.4 平均绩点 ( 6]。坚实的曲线的基础上,我们连续方程(方程( 16))匹配Zhang et al。 6)方法(虚线)。表面应力的影响说明了西北的有效杨氏模量、杨氏模量在减少与NW半径的增加( R 0 ),逐步达到一个恒定值69 GPa。如图 3,这两种方法提供不同的结果与小半径(< 5海里)。公式提供了小的有效和快速的杨氏模量减少因为势能方法增加了径向和周向压力的影响在杨氏模量的定义。纳米复合材料的均匀化理论可以提供一个严格的定义来定义有效的属性( 10]。方程中所描绘的一样( 28)、表面残余应力( τ 0 )也影响了杨氏模量。和self-equilibrium固有的表面残余应力状态,即独立于外部负载,由于表面残余应变(方程( 10])。因此,积极或消极的表面残余应力会增加(或减少)西北的杨氏模量。

表面模也有强烈的对杨氏模量的影响。弹性的绝对值NW表面通常是< 1000 N / m,但很难准确地量化。最小的区别是观察到的实验方法和数值之间的原子论的分析小半径。供参考,我们也呈现西北的有效模量的变化而其表面模图 4。西北的大半径是( R= 10 nm, 20 nm,专为30 nm, 40海里)计算的目的。图 4说明了杨氏模量的增加与增加表面模( λ 年代 )。方程( 8)- ( 11)表明,表面剪切应变为零,但面积扩张是零。方程( 4)意味着高表面应力值和高表面模,从而导致大NW杨氏模量。然而,表面模的放大杨氏模量由NW控制半径,即表面area-to-volume比例增加而降低NW半径。这一结果表明,西北的有效模量增强的表面压力。大小的依赖是纳米材料的一般特征。古典位移方法可以提供表面应变和压力,简化了分析表面弹性杨氏模量的影响。

西北可以看作是一个复合结构,核心表面有正常的属性和表层有弹性的基础上Gurtin-Murdoch弹性。广义Young-Laplace方程需要NW除了核心和表层的场方程。经典圆柱坐标位移方法已被用来确定西北的应力分布。名义上的法向应力和轴向应变初始NW配置中定义与初始长度 l 0 和半径 R 0 。的 l 0 / R 0 比率表明有效杨氏模量随的增加而减小 R 0 的纳米线,逐步达到大部分的价值。积极或消极的表面残余应力会增加(或减少)的杨氏模量NW由于表面残余应变。表面模也有很强的影响有效杨氏模量。非零径向和周向压力导致非零区域扩张,这增强了表面模有效杨氏模量的影响。

径向位移在西北是有限的 8,目前的模型可以很容易地扩展到分析的有效属性如果使用真正的应变。西北扭转和弯曲也可以模仿,如果我们考虑一个适当的假设的位移分布方程( 7)。总之,古典位移方法可以获得西北位移、压力、压力分布以及其有效属性。底层机制的影响一般特征的NW杨氏模量也可以轻松地考虑。