AAA 抽象和应用分析 1687 - 0409 1085 - 3375 Hindawi出版公司 10.1155 / 2014/325840 325840年 研究文章 两个新类型的完备度量空间中不动点定理 Khojasteh Farshid 1 阿巴斯 穆贾希德 2 Costache 西蒙娜 3 拉蒂夫 阿卜杜勒 1 数学系 阿拉克分支 伊斯兰自由大学 阿拉克 伊朗 srbiau.ac.ir 2 数学系 拉合尔大学管理科学 拉合尔54792 巴基斯坦 lums.edu.pk 3 数学和信息学 大学Politehnica布加勒斯特 060042年布加勒斯特 罗马尼亚 upb.ro 2014年 26 6 2014年 2014年 12 05年 2014年 13 06 2014年 26 6 2014年 2014年 版权©2014 Farshid Khojasteh et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。 我们引入了两个新的类型的不动点定理在多值和单值映射的集合在完备度量空间中。 1。介绍</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一个完整的映射(或契约)度量空间<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。我们不承担更丰富的结构,如凸度量空间和巴拿赫空间。有成千上万的定理,保证的不动点的存在<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这些定理我们可以归类为以下四种类型。<lgydF4y2B一个ist> <list-item> <label>(T1)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p>领导类型(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B26"> 1</xgydF4y2B一个ref>]:<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的定点和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>收敛于不动点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。这样的映射称为<gydF4y2B一个italic> 皮卡德运营商</gydF4y2B一个italic>在[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B36"> 2</xgydF4y2B一个ref>]。</gydF4y2B一个p> <list-item> <label>(T2)</l一个bel> <p>匿名类型:<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的定点和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>不一定收敛于不动点。</gydF4y2B一个p> </list-item> <list-item> <label>(T3)</l一个bel> <p>Subrahmanyam表示类型(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B41"> 3</xgydF4y2B一个ref>]:<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可能有一个以上的不动点和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>收敛于一个固定的点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。这样的映射称为<gydF4y2B一个italic> 弱Picard运营商</gydF4y2B一个italic>在[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B41"> 3</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B37"> 4</xgydF4y2B一个ref>]。</gydF4y2B一个p> </list-item> <list-item> <label>(T4)</l一个bel> <p>Caristi类型(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B7"> 5</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B8"> 6</xgydF4y2B一个ref>]:<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可能有一个以上的不动点和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>不一定收敛到一个固定的点。</gydF4y2B一个p> </list-item> <p></p> <p>我们知道大多数的定理,如巴拿赫的<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 7</xgydF4y2B一个ref>,Ćirić[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B13"> 8</xgydF4y2B一个ref>[Kannan),<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B21"> 9</xgydF4y2B一个ref>],柯克的[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B22"> 10</xgydF4y2B一个ref>,Matkowski [<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B27"> 11</xgydF4y2B一个ref>),梅尔和基勒(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B28"> 12</xgydF4y2B一个ref>],铃木的(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B42"> 13</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B43"> 14</xgydF4y2B一个ref>)属于<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。另外,最近,铃木(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B44"> 15</xgydF4y2B一个ref>)的特点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。Subrahmanyam表示定理(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B41"> 3</xgydF4y2B一个ref>)属于<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,Caristi定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B7"> 5</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B8"> 6</xgydF4y2B一个ref>)及其概括(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B44"> 15</xgydF4y2B一个ref>- - - - - -<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 17</xgydF4y2B一个ref>)属于<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。另一方面,据作者所知道的,属于不存在定理<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>;看到柯克的调查(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B23"> 18</xgydF4y2B一个ref>]。另外,最近许多有趣的不动点定理,证明了在命令度量空间的框架;参见[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B23"> 18</xgydF4y2B一个ref>- - - - - -<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B46"> 35</xgydF4y2B一个ref>和其他人。</gydF4y2B一个p> <p>本文出于上述情况,我们引入了两个新的类型的不动点定理在多值和单值映射的集合,并将证明他们属于<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个度量空间,让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> cl</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mtext> 双相障碍</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示类的非空的,关闭,有限的子集<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> cl</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mtext> 双相障碍</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个多值映射<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。一个点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>被称为定点的<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。集<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> 修复</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>一个著名的定理在多值映射将纳德勒<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B30"> 36</xgydF4y2B一个ref>),巴拿赫收缩原理扩展到多值映射。许多作者研究了严格的多值映射的不动点的存在性和唯一性在度量空间;见,例如,(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B1"> 37</xgydF4y2B一个ref>- - - - - -<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B24"> 44</xgydF4y2B一个ref>)和引用。</gydF4y2B一个p> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>豪斯多夫度量<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> cl</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mtext> 双相障碍</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>引起的<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;也就是说,<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> B</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ∶</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 马克斯</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 吃晚饭</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> B</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 吃晚饭</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> B</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> <mml:mi> 年代</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> 一个</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> B</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> cl</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mtext> 双相障碍</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>表示<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> δ</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 吃晚饭</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 正</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> 一个</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> cl</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mtext> 双相障碍</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。主要结果</gydF4y2B一个title> <p>下面是第一个我们的主要结果。</gydF4y2B一个p> <statement id="thm2.1"> <title>定理1。</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>完备度量空间,让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的一个映射<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为本身。假设<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足以下条件:<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。然后<lgydF4y2B一个ist> <list-item> <label>(一)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>至少有一个不动点吗<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>;</gydF4y2B一个p> <list-item> <label>(b)</l一个bel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于一个固定的点,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>;</gydF4y2B一个p> </list-item> <list-item> <label>(c)</l一个bel> <p>如果<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>是两个不同的不动点的<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </list-item> <p></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>任意选择一个序列<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。我们有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EEAADAAABAEGJAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi></mml:mi> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABAEGJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABAEGJAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABAEGJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> </米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>鉴于<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EEAADAAABAAGJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABAAGJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABAAGJAA"></mml:mo> <mml:mo> ⋮</米米l:米o> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABAAGJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>观察到<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>nonincreasing,积极的方面。所以<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。由此可见,<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,它是证实<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在所有的<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="double-struck"> N</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>我们有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EGAAEAAABAOEJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAEAAABAOEJAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAEAAABAOEJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAEAAABAOEJAA"></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAEAAABAOEJAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>假设<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。自<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。这意味着<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>作为<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。换句话说,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个柯西序列收敛于<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>我们声称<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个固定的点。</gydF4y2B一个p> <p>请注意,<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在两岸的限制(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.7"> 11</xgydF4y2B一个ref>),我们有<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。因此,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>如果存在两个不同的不动点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>,然后<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EDAACAAABAABJAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EDAACAAABAABJAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EDAACAAABAABJAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们找到想要的结果。</gydF4y2B一个p> </statement> <p>在下面,两个例子的这样类型的映射,它满足(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>),。</gydF4y2B一个p> <statement id="ex2.1"> <title>例2。</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被定义为<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (13)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0,0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1,- 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 一个</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个完备度量空间。让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>被定义为<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (14)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0,0</米米l:米n> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EFAACAAABALAHAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAACAAABALAHAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAACAAABALAHAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EFAADAAABAJAHAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAADAAABAJAHAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAADAAABAJAHAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAADAAABAJAHAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 45</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 16</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足所有条件的定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>。同时,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有两种不同的固定点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="ex2.2"> <title>例3。</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0,2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被赋予欧几里得度量,让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>被定义为<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="cases"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后我们说<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足所有条件的定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>。</gydF4y2B一个p> <p>如果<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,我们有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:msqrt> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>类似的论点适用于其他条件。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="rem2.1"> <title>备注4。</gydF4y2B一个title> <p>注意,在(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 2</xgydF4y2B一个ref>)的比率<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>可能大于或小于1,没有引入一个上界。注意,如果,每<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,那么我们就有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>是一种特殊情况下的巴拿赫收缩原则。因此,当<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的度量空间,为所有<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>是有价值的因为(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.9"> 20.</xgydF4y2B一个ref>)可能会大于1。例子<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="ex2.1"> 2</xgydF4y2B一个ref>显示了这个注意精确。</gydF4y2B一个p> </statement> <p>下面是第二个在我们的主要结果。</gydF4y2B一个p> <statement id="thm2.2"> <title>定理5。</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>完备度量空间,让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个多值的映射<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>成<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米i> <mml:mi> l</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米i> <mml:mi> d</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足以下几点:<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> δ</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个固定的点<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</gydF4y2B一个title> <p>让<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。为每一个<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>一个可以选择<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>这样<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EHAABAAABA0KB0ACAA"></mml:mo> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EHAABAAABA0KB0ACAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>我们可以选择<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>这样<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EHAABAAABA0EB0ACAA"></mml:mo> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EHAABAAABA0EB0ACAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>特别的,如果<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="ECAABAAABA0CB0ACAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ECAABAAABA0CB0ACAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EEAADAAABA5ACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABA5ACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABA5ACAA"></mml:mo> <mml:mo> ⋮</米米l:米o> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EEAADAAABA5ACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>它可以很容易地看到<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,它很容易验证<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>现在所有的<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="double-struck"> N</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>我们有<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EMAADAAABAWACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi></mml:mi> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EMAADAAABAWACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EMAADAAABAWACAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EMAADAAABAWACAA"></mml:mo> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>假设<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。自<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:米i> <mml:mo> </米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。这意味着<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米i> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>作为<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> 米</米米l:米i> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。换句话说,<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个柯西序列收敛于<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米i> </mml:math> </inline-formula>。我们声称<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个固定的点。考虑<dgydF4y2B一个isp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EGAAFAAABAFACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAFAAABAFACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAFAAABAFACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> δ</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAFAAABAFACAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAFAAABAFACAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAAFAAABAFACAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> d</米米l:米i> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米i> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在两岸的限制(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.15"> 31日</xgydF4y2B一个ref>)我们有<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> D</米米l:米i> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。这意味着<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo> ˙</米米l:米o> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="rem2.2"> <title>注6。</gydF4y2B一个title> <p>请注意,定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.2"> 5</xgydF4y2B一个ref>是一个泛化的定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>因为通过<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> F</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米i> <mml:mi> x</米米l:米i> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和应用定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.2"> 5</xgydF4y2B一个ref>为<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们得到定理<xgydF4y2B一个ref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 1</xgydF4y2B一个ref>。</gydF4y2B一个p> </statement> </sec> <back> <sec sec-type="conflict"> <title>利益冲突</gydF4y2B一个title> <p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</gydF4y2B一个p> </sec> <ref-list> <ref id="B26" content-type="article"> <label>1</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 领袖</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 相当于柯西序列和收缩度量空间中不动点</一个rticle-title> <source> <italic> 皆Mathematica</gydF4y2B一个italic> <year> 1983年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 76年</gydF4y2B一个volume> <issue> 1</gydF4y2B一个issue> <fpage> 63年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 67年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR728197</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B36" content-type="article"> <label>2</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 俄文</年代urname> <given-names> 我一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 皮卡德运营商和应用程序</一个rticle-title> <source> <italic> Scientiae Mathematicae</gydF4y2B一个italic> <year> 2003年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 58</gydF4y2B一个volume> <issue> 1</gydF4y2B一个issue> <fpage> 191年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 219年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR1987831</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B41" content-type="article"> <label>3</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Subrahmanyam表示</年代urname> <given-names> p V。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 评价与巴拿赫的收缩原理相关的一些不动点定理</一个rticle-title> <source> <italic> 数学和物理科学杂志》上</gydF4y2B一个italic> <year> 1974年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 8</gydF4y2B一个volume> <fpage> 445年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 457年</lgydF4y2B一个page> </nlm-citation> </ref> <ref id="B37" content-type="article"> <label>4</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 俄文</年代urname> <given-names> 我一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 伤</年代urname> <given-names> 答:S。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 伤</年代urname> <given-names> V。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 弱Picard运营商在一组有两个指标</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论</gydF4y2B一个italic> <year> 2005年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 6</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 323年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 331年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR2196717</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>5</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Caristi</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 映射的公共不动点定理满足本质条件</一个rticle-title> <source> <italic> 事务的美国数学学会</gydF4y2B一个italic> <year> 1976年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 215年</gydF4y2B一个volume> <fpage> 241年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 251年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9947 - 1976 - 0394329 - 4</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0394329</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl0305.47029</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="incollection"> <label>6</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Caristi</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 柯克</年代urname> <given-names> w·A。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 几何不动点理论和灵性的条件</一个rticle-title> <source> <italic> 的几何度量和线性空间</gydF4y2B一个italic> <year> 1975年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 490年</gydF4y2B一个volume> <publisher-loc> 柏林,德国</gydF4y2B一个publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</gydF4y2B一个publisher-name> <fpage> 74年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 83年</lgydF4y2B一个page> <series> 数学课堂笔记</年代eries> <pub-id pub-id-type="other"> MR0399968</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BFb0081133</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>7</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 巴拿赫</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 操作中找到他们在乐团abstraits等应用辅助方程积分</一个rticle-title> <source> <italic> Fundamenta Mathematicae</gydF4y2B一个italic> <year> 1922年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 3</gydF4y2B一个volume> <fpage> 133年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 181年</lgydF4y2B一个page> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>8</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ćirić</年代urname> <given-names> l . B。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 巴拿赫的泛化收缩原则</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</gydF4y2B一个italic> <year> 1974年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 45</gydF4y2B一个volume> <fpage> 267年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 273年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR0356011</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>9</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kannan</年代urname> <given-names> R。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 在固定points-II一些结果</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学月刊</gydF4y2B一个italic> <year> 1969年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 76年</gydF4y2B一个volume> <issue> 4</gydF4y2B一个issue> <fpage> 405年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 408年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2316437</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0257838</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>10</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 柯克</年代urname> <given-names> w·A。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 固定的渐近点收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2003年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 277年</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 645年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 650年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0022 - 247 x (02) 00612 - 1</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1961251</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0037439596</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>11</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Matkowski</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 可积函数方程的解决方案</一个rticle-title> <source> <italic> 论文Mathematicae</gydF4y2B一个italic> <year> 1975年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 127年</gydF4y2B一个volume> <fpage> 1</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 68年</lgydF4y2B一个page> </nlm-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>12</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 梅尔</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 基勒</年代urname> <given-names> E。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 对收缩映射定理</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 1969年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 28</gydF4y2B一个volume> <fpage> 326年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 329年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 247 x (69) 90031 - 6</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0250291</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl0194.44904</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0001223129</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B42" content-type="article"> <label>13</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 铃木</年代urname> <given-names> T。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 完备度量空间中广义距离和存在定理</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2001年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 253年</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 440年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 458年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.2000.7151</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1808147</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl0983.54034</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0035864006</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B43" content-type="article"> <label>14</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 铃木</年代urname> <given-names> T。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 几个不动点定理有关<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米i> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>——远程</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2004年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2004年</gydF4y2B一个volume> <issue> 3</gydF4y2B一个issue> <fpage> 195年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 209年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / S168718200431003X</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 30144433913</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B44" content-type="article"> <label>15</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 铃木</年代urname> <given-names> T。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛的一个充分必要条件的顺序逐次近似一个独特的定点</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</gydF4y2B一个italic> <year> 2008年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 136年</gydF4y2B一个volume> <issue> 11</gydF4y2B一个issue> <fpage> 4089年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 4093年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 08 - 09390 - 8</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2425751</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl1152.54033</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 65549164029</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>16</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 英国宇航系统公司</年代urname> <given-names> j·S。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 弱收缩多值映射的不动点定理</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2003年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 284年</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 690年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 697年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0022 - 247 x (03) 00387 - 1</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1998661</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl1033.47038</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0041351892</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>17</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 英国宇航系统公司</年代urname> <given-names> j·S。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> e·W。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Yeom</年代urname> <given-names> s . H。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> Caristi-Kirk不动点定理的推广及其应用程序映射定理</一个rticle-title> <source> <italic> 朝鲜数学学会杂志》上</gydF4y2B一个italic> <year> 1994年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 31日</gydF4y2B一个volume> <issue> 1</gydF4y2B一个issue> <fpage> 29日</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 48</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR1269448</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="incollection"> <label>18</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 柯克</年代urname> <given-names> w·A。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> 柯克</年代urname> <given-names> w·A。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 西姆斯</年代urname> <given-names> B。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 收缩映射和扩展</一个rticle-title> <source> <italic> 手册规不动点理论</gydF4y2B一个italic> <year> 2001年</ygydF4y2B一个ear> <publisher-loc> 荷兰多德雷赫特</gydF4y2B一个publisher-loc> <publisher-name> Kluwer学术</gydF4y2B一个publisher-name> <fpage> 1</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 34</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR1904272</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>19</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Aydi</年代urname> <given-names> H。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Shatanawi</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 穆斯塔法</年代urname> <given-names> Z。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Tahat</年代urname> <given-names> N。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 在命令度量空间定理Boyd-Wong-type收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</gydF4y2B一个italic> <year> 2012年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2012年</gydF4y2B一个volume> <lpage> 14</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 359054年</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2012/359054</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84874867675</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>20.</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Chandok</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点定理对弱Chatterjea-type循环收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2013年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2013年</gydF4y2B一个volume> <issue> 28</gydF4y2B一个issue> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / 1687-1812-2013-28</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3027702</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>21</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Chandok</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 穆斯塔法</年代urname> <given-names> Z。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 耦合的公共不动点的结果好坏参半<gydF4y2B一个italic> g</gydF4y2B一个italic>在半序单调宾州<gydF4y2B一个italic> G</gydF4y2B一个italic>度量空间</一个rticle-title> <source> <italic> 大学Politehnica布加勒斯特的科学通报</gydF4y2B一个italic> <year> 2013年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 75年</gydF4y2B一个volume> <issue> 4</gydF4y2B一个issue> <fpage> 13</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 26</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="other"> MR3161944</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>22</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> Y。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 积极的非线性算子的不动点的稳定性</一个rticle-title> <source> <italic> 积极性</gydF4y2B一个italic> <year> 2002年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 6</gydF4y2B一个volume> <issue> 1</gydF4y2B一个issue> <fpage> 47</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 57</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1023 /:1012079817987</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1879569</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0141454944</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>23</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Choudhury</年代urname> <given-names> b S。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Metiya</年代urname> <given-names> N。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个广义弱收缩原理与应用程序耦合重合点的问题</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2013年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2013年,第152条</gydF4y2B一个volume> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / 1687-1812-2013-152</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3072000</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>24</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Haghi</年代urname> <given-names> r·H。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Rezapour</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 为广义的T-stability Picard迭代<gydF4y2B一个inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:mi> φ</米米l:米i> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收缩映射</一个rticle-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</gydF4y2B一个italic> <year> 2012年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2012年</gydF4y2B一个volume> <lpage> 7</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 658971年</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2965457</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2012/658971</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>25</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ilić</年代urname> <given-names> D。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Rakočević</年代urname> <given-names> V。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 在锥度量空间公共不动点的地图</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2008年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 341年</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 876年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 882年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2007.10.065</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2398255</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>26</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Jachymski</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 收缩原理图度量空间上的映射</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</gydF4y2B一个italic> <year> 2008年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 136年</gydF4y2B一个volume> <issue> 4</gydF4y2B一个issue> <fpage> 1359年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 1373年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 07 - 09110 - 1</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2367109</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl1139.47040</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 64049107103</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>27</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lakshmikantham</年代urname> <given-names> V。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Ćirić</年代urname> <given-names> l</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 耦合不动点定理在半序度量空间非线性收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2B一个italic> <year> 2009年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 70年</gydF4y2B一个volume> <issue> 12</gydF4y2B一个issue> <fpage> 4341年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 4349年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2008.09.020</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2514765</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>28</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 尼托</年代urname> <given-names> J·J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Pouso</年代urname> <given-names> r . L。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Rodriguez-Lopez</年代urname> <given-names> R。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点定理在下令抽象空间中</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</gydF4y2B一个italic> <year> 2007年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 135年</gydF4y2B一个volume> <issue> 8</gydF4y2B一个issue> <fpage> 2505年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 2517年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 07 - 08729 - 1</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2302571</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 39149137639</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>29日</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 尼托</年代urname> <given-names> J·J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Rodriguez-Lopez</年代urname> <given-names> R。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 压缩映射定理在半序集和应用常微分方程</一个rticle-title> <source> <italic> 订单</gydF4y2B一个italic> <year> 2005年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 22</gydF4y2B一个volume> <issue> 3</gydF4y2B一个issue> <fpage> 223年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 239年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11083 - 005 - 9018 - 5</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2212687</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33644688928</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>30.</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 尼托</年代urname> <given-names> J·J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Rodriguez-Lopez</年代urname> <given-names> R。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点的存在性和唯一性半序集和应用常微分方程</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学学报》</gydF4y2B一个italic> <year> 2007年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 23</gydF4y2B一个volume> <issue> 12</gydF4y2B一个issue> <fpage> 2205年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 2212年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s10114 - 005 - 0769 - 0</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2357454</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 36448985642</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>31日</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 奥雷根</年代urname> <given-names> D。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Petruşel</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点定理要求度量空间的广义收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2008年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 341年</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 1241年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 1252年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2007.11.026</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2398285</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>32</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 帕沙克</年代urname> <given-names> h·K。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 沙赫扎德</年代urname> <given-names> N。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点为广义收缩控制理论和应用程序</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析。理论、方法和应用</gydF4y2B一个italic> <year> 2008年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 68年</gydF4y2B一个volume> <issue> 8</gydF4y2B一个issue> <fpage> 2181年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 2193年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2007.01.041</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2398641</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 39749116773</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B39" content-type="article"> <label>33</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shatanawi</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 常见的控制和弱歼灭者映射不动点定理在命令度量空间</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2013年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2013年,第271条</gydF4y2B一个volume> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / 1687-1812-2013-271</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3213100</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B40" content-type="article"> <label>34</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shatanawi</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 公共不动点的结果映射下非线性收缩循环形式的命令度量空间</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2013年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2013年</gydF4y2B一个volume> <issue> 60</gydF4y2B一个issue> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / 1687-1812-2013-60</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3041772</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B46" content-type="article"> <label>35</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吴</年代urname> <given-names> Y。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 新的混合单调算子的不动点定理和应用程序</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2008年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 341年</gydF4y2B一个volume> <issue> 2</gydF4y2B一个issue> <fpage> 883年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 893年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2007.10.063</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2398256</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl1137.47044</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38949105812</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>36</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 纳德勒</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 多值映射收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 太平洋数学杂志</gydF4y2B一个italic> <year> 1969年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 30.</gydF4y2B一个volume> <fpage> 475年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 488年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2140 / pjm.1969.30.475</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0254828</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>37</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Amini-Harandi</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 端点的集值度量空间的收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2B一个italic> <year> 2010年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 72年</gydF4y2B一个volume> <issue> 1</gydF4y2B一个issue> <fpage> 132年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 134年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2009.06.074</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2574924</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 71749109172</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>38</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Amini-Harandi</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点理论在度量空间集值quasi-contraction地图</一个rticle-title> <source> <italic> 应用数学的信</gydF4y2B一个italic> <year> 2011年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 24</gydF4y2B一个volume> <issue> 11</gydF4y2B一个issue> <fpage> 1791年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 1794年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aml.2011.04.033</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBLl1230.54034</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 80955154383</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>39</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ciric</年代urname> <given-names> l . B。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 梅花</年代urname> <given-names> j·S。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 多值non-self-mappings凸度量空间</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2B一个italic> <year> 2005年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 60</gydF4y2B一个volume> <issue> 6</gydF4y2B一个issue> <fpage> 1053年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 1063年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2004.09.057</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2115033</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 11344268618</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>40</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Fakhar</年代urname> <given-names> M。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 端点集值的渐近在度量空间收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 应用数学的信</gydF4y2B一个italic> <year> 2011年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 24</gydF4y2B一个volume> <issue> 4</gydF4y2B一个issue> <fpage> 428年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 431年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aml.2010.10.028</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2749721</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 78650510510</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>41</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 侯赛因</年代urname> <given-names> N。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Amini-Harandi</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> y . J。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 近似的端点集值度量空间的收缩</一个rticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2010年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 2010年</gydF4y2B一个volume> <lpage> 13</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 614867年</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2661196</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2010/614867</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>42</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kadelburg</年代urname> <given-names> Z。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Radenović</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些结果集值收缩在抽象的度量空间</一个rticle-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</gydF4y2B一个italic> <year> 2011年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 62年</gydF4y2B一个volume> <issue> 1</gydF4y2B一个issue> <fpage> 342年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 350年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2011.05.015</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2821851</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79959516459</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>43</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Moradi</年代urname> <given-names> 年代。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> Khojasteh</年代urname> <given-names> F。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> </person-group> <article-title> 端点的多值广义弱收缩映射</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2B一个italic> <year> 2011年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 74年</gydF4y2B一个volume> <issue> 6</gydF4y2B一个issue> <fpage> 2170年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 2174年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2010.11.021</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2781746</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79951672048</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>44</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Khojasteh</年代urname> <given-names> F。</ggydF4y2B一个iven-names> </name> <name> <surname> RakočevićV。</年代urname> </name> </person-group> <article-title> 一些新的不动点为广义收缩值non-self-mappings结果</一个rticle-title> <source> <italic> 应用数学的信</gydF4y2B一个italic> <year> 2012年</ygydF4y2B一个ear> <volume> 25</gydF4y2B一个volume> <issue> 3</gydF4y2B一个issue> <fpage> 287年</gydF4y2B一个fpage> <lpage> 293年</lgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aml.2011.07.021</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2855974</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 80955149008</gydF4y2B一个pub-id> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>