AAA 抽象和应用分析 1687 - 0409 1085 - 3375 Hindawi出版公司 907167年 10.1155 / 2009/907167 907167年 研究文章 二次函数方程的稳定性与不动点的选择 公园 Choonkil 1 金 Ji-Hye 2 柯克 w·A。 1 数学系 自然科学研究所 汉阳大学 韩国133 - 791 韩国 hanyang.ac.kr 2 数学系 汉阳大学 韩国133 - 791 韩国 hanyang.ac.kr 2009年 12 01 2010年 2009年 15 09年 2009年 01 12 2009年 2009年 版权©2009 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。 李,和公园介绍了二次函数方程 f ( 2 x + y ) + f ( 2 x − y ) = 8 f ( x ) + 2 f ( y ) 并证明了二次函数方程的稳定人士的精神Hyers乌兰和Th。m . Rassias。利用不动点方法,我们证明了二次函数方程的广义Hyers-Ulam稳定在巴拿赫空间中。 1。介绍</tgydF4y2Baitle> <p>函数方程的稳定性问题源于一个乌兰的问题(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B30"> 1</xgydF4y2Baref>关于群同态的稳定性。Hyers [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B8"> 2</xgydF4y2Baref>)首先肯定的部分答案了乌兰巴拿赫空间的问题。Hyers定理是广义的青木(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B1"> 3</xgydF4y2Baref>)为添加剂映射和Th。m . Rassias [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B22"> 4</xgydF4y2Baref>)线性映射通过考虑一个无界的柯西的区别。</p><gydF4y2Bastatement id="thm1.1"> <title>定理1.1 (Th。m . Rassias)。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>是一个映射赋范矢量空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>到巴拿赫空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的不平等<d是p- - - - - -formula id="EEq1.1"> <label>(1.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ϵ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是常数,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> ϵ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。然后限制<d是p- - - - - -formula id="eq1"> <label>(1.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对于所有存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>独特的添加剂映射满足吗<d是p- - - - - -formula id="eq2"> <label>(1.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> ϵ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。同样,如果为每个<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这个函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>是连续的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>线性。</p></gydF4y2Bastatement> <p>上面的不平等(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1.1</xgydF4y2Baref>)提供了很多发展的影响现在的称为<gydF4y2Baitalic> 广义Hyers-Ulam稳定</gydF4y2Baitalic>函数方程。从1980年左右开始,近似同态的话题,或同态的方程的稳定性,研究了许多数学家。Găvruta [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B7"> 5</xgydF4y2Baref>广义Rassias的结果。</p><gydF4y2Bastatement id="thm1.2"> <title>定理1.2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B19 " > 6 < / xref > - < xref ref-type =“bibr”掉= " B21 " > < / xref > 8])。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个真正的赋范线性空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个真正的完整的赋范线性空间。假设<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个常数约添加剂映射的存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足不等式<d是p- - - - - -formula id="eq3"> <label>(1.4)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。那么存在一个独特的添加剂的映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<d是p- - - - - -formula id="eq4"> <label>(1.5)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> |</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> |</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。此外,如果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个映射的变换<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>是连续的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>对于每一个固定<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>线性映射。</p></gydF4y2Bastatement> <p>函数方程</p><p><d是p- - - - - -formula id="eq5"> <label>(1.6)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>被称为<gydF4y2Baitalic> 二次函数方程</gydF4y2Baitalic>。特别是,每个解决方案的二次函数方程是一个<gydF4y2Baitalic> 二次函数</gydF4y2Baitalic>。二次函数方程的广义Hyers-Ulam稳定性问题是证明Skof [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B29"> 9</xgydF4y2Baref>]映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是赋范空间和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>巴拿赫空间。Cholewa [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B4"> 10</xgydF4y2Baref>]Skof仍然是正确的,如果注意到定理的相关领域<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>取而代之的是阿贝尔群。Czerwik [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 11</xgydF4y2Baref>]证明了广义Hyers-Ulam二次函数方程的稳定。几位函数方程进行了调查<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B10"> 12</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B28"> 25</xgydF4y2Baref>]。</p><p>gydF4y2Ba让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ×</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>被称为<gydF4y2Baitalic> 广义度量</gydF4y2Baitalic>在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足</p><gydF4y2Balist> <list-item> <label>(1)</gydF4y2Balabel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>;</p></gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>;</p></gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(3)</gydF4y2Balabel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Balist-item> </list> <p>我们回忆起在不动点理论基本结果。</p><gydF4y2Bastatement id="thm1.3"> <title>定理1.3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B3 " > < / xref > 26 - < xref ref-type =“bibr”掉= "的energisk B18 " > < / xref > 28])。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的广义度量空间,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个严格收缩映射李普希茨常数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。然后为每个给定元素<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,要么<d是p- - - - - -formula id="eq6"> <label>(1.7)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对于所有的非负整数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或存在一个正整数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(1)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,尽管<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>;</p><gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> <p>序列<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mo stretchy="false"> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>收敛于一个固定的点<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;</p></gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(3)</gydF4y2Balabel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>独特的定点<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一组<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>;</p></gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(4)</gydF4y2Balabel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Balist-item> <p></p> </statement> <p>李等人。<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 29日</xgydF4y2Baref>证明了一个映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>满足</p><p><d是p- - - - - -formula id="EEq1.2"> <label>(1.8)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>当且仅当映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>满足</p><p><d是p- - - - - -formula id="eq7"> <label>(1.9)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba利用不动点方法,公园(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 14</xgydF4y2Baref>]证明了广义Hyers-Ulam二次函数方程的稳定</p><p><d是p- - - - - -formula id="eq8"> <label>(1.10)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在巴拿赫空间中。</p><p>gydF4y2Ba在本文中,我们使用不动点方法,证明二次函数方程的广义Hyers-Ulam稳定性(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>)在巴拿赫空间中。</p><p>gydF4y2Ba在本文中,假设<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个赋范矢量空间与规范<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mo stretchy="false"> |</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>这<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是巴拿赫空间与规范<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mo stretchy="false"> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Basec> <sec sec-type="section" id="sec2"> <title>2。不动点和一个二次函数方程的广义Hyers-Ulam稳定</tgydF4y2Baitle> <p>对于一个给定的映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们定义</p><p><d是p- - - - - -formula id="eq9"> <label>(2.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba利用不动点方法,我们证明了广义Hyers-Ulam二次函数方程的稳定<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><gydF4y2Bastatement id="thm2.1"> <title>定理2.1。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个存在一个函数的映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>与<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -formula id="EEq2.1"> <label>(2.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果存在一个<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么存在一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="EEq2.2"> <label>(2.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof1"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>考虑集<d是p- - - - - -formula id="eq10"> <label>(2.4)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和介绍<gydF4y2Baitalic> 广义度量</gydF4y2Baitalic>在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<d是p- - - - - -formula id="eq11"> <label>(2.5)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 正</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>很容易证明<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>就完成了。</p><p>gydF4y2Ba现在我们考虑线性映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -formula id="eq12"> <label>(2.6)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 30.</xgydF4y2Baref>,定理<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mn> 3.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),<d是p- - - - - -formula id="eq13"> <label>(2.7)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>在(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>),我们得到<d是p- - - - - -formula id="EEq2.3"> <label>(2.8)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。所以<d是p- - - - - -formula id="eq14"> <label>(2.9)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1.3"> 1.3</xgydF4y2Baref>,存在一个映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样</p><p>(1)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不动点的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,也就是说,<d是p- - - - - -formula id="EEq2.4"> <label>(2.10)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个独特的不动点的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一组<d是p- - - - - -formula id="eq15"> <label>(2.11)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个独特的映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.4"> 2.10</xgydF4y2Baref>),这样的存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<d是p- - - - - -formula id="eq16"> <label>(2.12)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(2)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。这意味着平等<d是p- - - - - -formula id="EEq2.5"> <label>(2.13)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(3)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,这意味着不平等<d是p- - - - - -formula id="eq17"> <label>(2.14)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着不平等(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 2.3</xgydF4y2Baref>)持有。</p><p>gydF4y2Ba它遵循从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.5"> 2.13</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq18"> <label>(2.15)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。所以<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 29日</xgydF4y2Baref>,命题<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mrow> <mml:mn> 2.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>二次,根据需要。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.2"> <title>推论2.2。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样是一个映射<d是p- - - - - -formula id="EEq2.6"> <label>(2.16)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后有一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq19"> <label>(2.17)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof2"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>从定理证明之前<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 2.1</xgydF4y2Baref>通过<d是p- - - - - -formula id="eq20"> <label>(2.18)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,得到期望的结果。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="thm2.3"> <title>定理2.3。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个存在一个函数的映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>),<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果存在一个<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么存在一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="EEq2.7"> <label>(2.19)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof3"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>我们考虑线性映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -formula id="eq21"> <label>(2.20)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba它遵循从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.3"> 2.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq22"> <label>(2.21)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1.3"> 1.3</xgydF4y2Baref>,存在一个映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样</p><p>(1)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不动点的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,也就是说,<d是p- - - - - -formula id="EEq2.8"> <label>(2.22)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个独特的不动点的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一组<d是p- - - - - -formula id="eq23"> <label>(2.23)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个独特的映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.8"> 2.22</xgydF4y2Baref>),这样的存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<d是p- - - - - -formula id="eq24"> <label>(2.24)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(2)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。这意味着平等<d是p- - - - - -formula id="eq25"> <label>(2.25)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(3)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,这意味着不平等<d是p- - - - - -formula id="eq26"> <label>(2.26)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着不平等(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.7"> 2.19</xgydF4y2Baref>)持有。</p><p>gydF4y2Ba其余的证明类似于定理的证明<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 2.1</xgydF4y2Baref>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.4"> <title>推论2.4。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.6"> 2.16</xgydF4y2Baref>)。然后有一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq27"> <label>(2.27)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof4"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>从定理证明之前<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.3"> 2.3</xgydF4y2Baref>通过<d是p- - - - - -formula id="eq28"> <label>(2.28)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>我们得到期望的结果。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="thm2.5"> <title>定理2.5。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个存在一个函数的映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>)。如果存在一个<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么存在一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="EEq2.9"> <label>(2.29)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof5"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>考虑集<d是p- - - - - -formula id="eq29"> <label>(2.30)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </disp-formula>和介绍<gydF4y2Baitalic> 广义度量</gydF4y2Baitalic>在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<d是p- - - - - -formula id="eq30"> <label>(2.31)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 正</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>很容易证明<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>就完成了。</p><p>gydF4y2Ba现在我们考虑线性映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -formula id="eq31"> <label>(2.32)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 30.</xgydF4y2Baref>,定理<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:mn> 3.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),<d是p- - - - - -formula id="eq32"> <label>(2.33)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>),我们得到<d是p- - - - - -formula id="EEq2.10"> <label>(2.34)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。所以<d是p- - - - - -formula id="eq33"> <label>(2.35)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1.3"> 1.3</xgydF4y2Baref>,存在一个映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样</p><p>(1)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不动点的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,也就是说,<d是p- - - - - -formula id="EEq2.11"> <label>(2.36)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个独特的不动点的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一组<d是p- - - - - -formula id="eq34"> <label>(2.37)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个独特的映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.11"> 2.36</xgydF4y2Baref>),这样的存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<d是p- - - - - -formula id="eq35"> <label>(2.38)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(2)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。这意味着平等<d是p- - - - - -formula id="EEq2.12"> <label>(2.39)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(3)<gydgydgydF4y2BaF4y2BaF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,这意味着不平等<d是p- - - - - -formula id="eq36"> <label>(2.40)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着不平等(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.9"> 2.29</xgydF4y2Baref>)持有。</p><p>gydF4y2Ba它遵循从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.12"> 2.39</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq37"> <label>(2.41)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。所以<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba由(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 29日</xgydF4y2Baref>,命题<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mn> 2.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>二次,根据需要。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.6"> <title>推论2.6。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.6"> 2.16</xgydF4y2Baref>)。然后有一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq38"> <label>(2.42)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof6"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>从定理证明之前<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.5"> 2.5</xgydF4y2Baref>通过<d是p- - - - - -formula id="eq39"> <label>(2.43)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>我们得到期望的结果。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.7"> <title>推论2.7。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样是一个映射<d是p- - - - - -formula id="EEq2.13"> <label>(2.44)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后有一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq40"> <label>(2.45)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof7"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>从定理证明之前<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.5"> 2.5</xgydF4y2Baref>通过<d是p- - - - - -formula id="eq41"> <label>(2.46)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>我们得到期望的结果。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="thm2.8"> <title>定理2.8。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个存在一个函数的映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.2</xgydF4y2Baref>)。如果存在一个<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么存在一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq42"> <label>(2.47)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof8"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>我们考虑线性映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -formula id="eq43"> <label>(2.48)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba其余的证明类似于定理的证明<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 2.1</xgydF4y2Baref>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.9"> <title>推论2.9。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.6"> 2.16</xgydF4y2Baref>)。然后有一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq44"> <label>(2.49)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof9"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>从定理证明之前<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.8"> 2.8</xgydF4y2Baref>通过<d是p- - - - - -formula id="eq45"> <label>(2.50)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,得到期望的结果。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.10"> <title>推论2.10。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正实数,让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个映射满足(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.13"> 2.44</xgydF4y2Baref>)。然后有一个独特的二次映射<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.2"> 1.8</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -formula id="eq46"> <label>(2.51)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof10"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>从定理证明之前<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.8"> 2.8</xgydF4y2Baref>通过<d是p- - - - - -formula id="eq47"> <label>(2.52)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,得到期望的结果。</p></gydF4y2Bastatement> </sec> <back> <ack> <title>承认</tgydF4y2Baitle> <p>第一作者是2009年由汉阳大学。</p></gydF4y2Baack> <ref-list> <ref id="B30" content-type="book"> <label>1</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 乌兰</gydF4y2Basurname> <given-names> s M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 现代数学问题</gydF4y2Baitalic> <year> 1960年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 约翰威利& Sons</pgydF4y2Baublisher-name> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Hyers</gydF4y2Basurname> <given-names> d . H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在线性泛函方程的稳定性</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 美国国家科学院院刊》上的美利坚合众国</gydF4y2Baitalic> <year> 1941年</ygydF4y2Baear> <volume> 27</gydF4y2Bavolume> <fpage> 222年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 224年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR0004076</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0061.26403</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>3</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 青木</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定的线性变换在巴拿赫空间中</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 日本数学学会杂志》上</gydF4y2Baitalic> <year> 1950年</ygydF4y2Baear> <volume> 2</gydF4y2Bavolume> <fpage> 64年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 66年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR0040580</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2969 / jmsj / 00210064</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0040.35501</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定的线性映射在巴拿赫空间中</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</gydF4y2Baitalic> <year> 1978年</ygydF4y2Baear> <volume> 72年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是sue> <fpage> 297年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 300年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2042795</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR507327</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0398.47040</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Găvruta</gydF4y2Basurname> <given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> Hyers-Ulam-Rassias大约的稳定添加剂的泛化映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 1994年</ygydF4y2Baear> <volume> 184年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</是sue> <fpage> 431年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 436年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR1281518</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.1994.1211</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0818.46043</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> j . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在近似线性近似的线性映射的映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《泛函分析</gydF4y2Baitalic> <year> 1982年</ygydF4y2Baear> <volume> 46</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 126年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 130年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 1236 (82)90048 - 9</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR654469</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0482.47033</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> j . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在近似线性近似的线性映射的映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 公报des数学科学</gydF4y2Baitalic> <year> 1984年</ygydF4y2Baear> <volume> 108年</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</是sue> <fpage> 445年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 446年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR784679</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0599.47106</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> j . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 乌兰的问题的解决方案</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 杂志的近似理论</gydF4y2Baitalic> <year> 1989年</ygydF4y2Baear> <volume> 57</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</是sue> <fpage> 268年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 273年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR999861</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0021 - 9045 (89)90041 - 5</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0672.41027</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>9</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Skof</gydF4y2Basurname> <given-names> F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 当地运营商的属性和近似值</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Rendiconti del Seminario Matematico e达到米兰</gydF4y2Baitalic> <year> 1983年</ygydF4y2Baear> <volume> 53</gydF4y2Bavolume> <fpage> 113年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 129年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF02924890</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR858541</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0599.39007</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>10</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cholewa</gydF4y2Basurname> <given-names> p W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 评价函数方程的稳定性</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Aequationes Mathematicae</gydF4y2Baitalic> <year> 1984年</ygydF4y2Baear> <volume> 27</gydF4y2Bavolume> <issue> 1 - 2</是sue> <fpage> 76年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 86年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF02192660</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR758860</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0549.39006</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>11</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Czerwik</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定的二次映射在赋范空间中</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Abhandlungen来自民主党Mathematischen研讨会der汉堡大学</gydF4y2Baitalic> <year> 1992年</ygydF4y2Baear> <volume> 62年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 59</fpgydF4y2Baage> <lpage> 64年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR1182841</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF02941618</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0779.39003</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>12</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Miheţ</gydF4y2Basurname> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 拉杜</gydF4y2Basurname> <given-names> V。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定的添加剂柯西函数方程在随机赋范空间中</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2008年</ygydF4y2Baear> <volume> 343年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 567年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 572年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2412151</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1139.39040</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点和Hyers-Ulam-Rassias稳定Cauchy-Jensen功能在巴拿赫代数方程</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</ygydF4y2Baear> <volume> 2007年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 15</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2007/50175</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 50175年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2335969</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1167.39018</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>14</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 二次函数方程的广义Hyers-Ulam稳定:一个不动点的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2008年</ygydF4y2Baear> <volume> 2008年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 9</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2008/493751</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 493751年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2395314</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1146.39048</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>15</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 赵</gydF4y2Basurname> <given-names> y S。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汉</gydF4y2Basurname> <given-names> M.-H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 功能不平等与Jordan-von Neumann-type添加剂功能方程</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 杂志上的不平等和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</ygydF4y2Baear> <volume> 2007年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 13</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2007/41820</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 41820年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2274272</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1133.39024</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 崔</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义的稳定性<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> *</gydF4y2Bamml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>三元二次映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</ygydF4y2Baear> <volume> 2007年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 6</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2007/23282</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 23282年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2302189</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>17</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 侯</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 同态之间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> *</gydF4y2Bamml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代数与Trif函数方程和线性相关派生<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> *</gydF4y2Bamml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代数</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 朝鲜数学学会杂志》上</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</ygydF4y2Baear> <volume> 41</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</是sue> <fpage> 461年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 477年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2050156</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>18</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Najati</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 同态和派生<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> *</gydF4y2Bamml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代数</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</ygydF4y2Baear> <volume> 2007年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 12</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2007/80630</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 80630年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2302193</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>19</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义Hyers-Ulam稳定的欧拉型添加剂映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《差分方程和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2006年</ygydF4y2Baear> <volume> 12</gydF4y2Bavolume> <issue> 12</是sue> <fpage> 1277年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 1288年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 10236190600986925</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2277655</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1114.39011</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>20.</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 对二次函数方程的稳定性及其应用</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 皆数学Babeş-Bolyai Mathematica</gydF4y2Baitalic> <year> 1998年</ygydF4y2Baear> <volume> 43</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</是sue> <fpage> 89年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 124年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR1854544</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1009.39025</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>21</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> s . m .乌兰大约乘法问题的映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2000年</ygydF4y2Baear> <volume> 246年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是sue> <fpage> 352年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 378年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.2000.6788</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1761936</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0958.46022</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>22</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在巴拿赫空间功能的稳定性方程</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2000年</ygydF4y2Baear> <volume> 251年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 264年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 284年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.2000.7046</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1790409</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0964.39026</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>23</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 函数方程的稳定性和乌兰的问题</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Acta Applicandae Mathematicae</gydF4y2Baitalic> <year> 2000年</ygydF4y2Baear> <volume> 62年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 23</fpgydF4y2Baage> <lpage> 130年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1023 /:1006499223572</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1778016</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0981.39014</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>24</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Šemrl</gydF4y2Basurname> <given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> Hyers-Ulam稳定的线性映射</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 1993年</ygydF4y2Baear> <volume> 173年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是sue> <fpage> 325年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 338年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.1993.1070</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1209322</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0789.46037</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>25</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rassias</gydF4y2Basurname> <given-names> Th。M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 柴田</gydF4y2Basurname> <given-names> K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 变分问题的二次泛函,在复杂的分析</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 1998年</ygydF4y2Baear> <volume> 228年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 234年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 253年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR1659917</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.1998.6129</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0945.30023</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="incollection"> <label>26</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cǎdariu</gydF4y2Basurname> <given-names> l</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 拉杜</gydF4y2Basurname> <given-names> V。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在柯西函数方程的稳定性:一个不动点的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 迭代理论</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</ygydF4y2Baear> <volume> 346年</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 奥地利格拉茨</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> Karl-Franzens-Universitaet格拉茨</pgydF4y2Baublisher-name> <fpage> 43</fpgydF4y2Baage> <lpage> 52</gydF4y2Balpage> <series> 食草动物Mathematische Berichte</gydF4y2Baseries> <pub-id pub-id-type="other"> MR2089527</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1060.39028</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>27</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 迪亚兹</gydF4y2Basurname> <given-names> j·B。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 马戈利斯</gydF4y2Basurname> <given-names> B。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个不动点定理的替代广义完备度量空间上的收缩</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 《美国数学学会</gydF4y2Baitalic> <year> 1968年</ygydF4y2Baear> <volume> 74年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 305年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 309年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR0220267</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9904 - 1968 - 11933 - 0</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0157.29904</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>28</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 拉杜</gydF4y2Basurname> <given-names> V。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点替代和功能的稳定性方程</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 不动点理论</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</ygydF4y2Baear> <volume> 4</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 91年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 96年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2031824</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1051.39031</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>29日</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 一个</gydF4y2Basurname> <given-names> j·S。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 公园</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在二次函数方程的稳定性</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2008年</ygydF4y2Baear> <volume> 2008年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 8</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2008/628178</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 628178年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2393119</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1146.39045</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>30.</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cǎdariu</gydF4y2Basurname> <given-names> l</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 拉杜</gydF4y2Basurname> <given-names> V。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点和詹森的函数方程的稳定性</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 不平等在纯和应用数学杂志》上</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</ygydF4y2Baear> <volume> 4</gydF4y2Bavolume> <issue> 1,第四条</是sue> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>