在这篇文章中,我们表示<我nline-formula>
B
X
和<我nline-formula>
年代
X
单位的单位球球,巴拿赫空间<我nline-formula>
X
,分别。让<我nline-formula>
C
是一个非空的有限的子集<我nline-formula>
X
。这些数字<我nline-formula>
直径
(
C
)
=
吃晚饭
{
∥
x
−
y
∥
:
x
,
y
∈
C
}
和<我nline-formula>
r
(
C
)
=
正
{
吃晚饭
{
∥
x
−
y
∥
:
y
∈
C
}
:
x
∈
C
}
分别是,叫的直径和切比雪夫半径<我nline-formula>
C
。
巴拿赫空间<我nline-formula>
X
据说正常结构(分别地。、弱正常结构)
直径
(
C
)
r
(
C
)
>
1
对于每一个有界(resp关闭。,弱紧凸子集<我nline-formula>
C
的<我nline-formula>
X
与<我nline-formula>
直径
(
C
)
>
0
。巴拿赫空间<我nline-formula>
X
据说是统一的正常结构(分别地。、弱一致的正常结构)
正
{
直径
(
C
)
r
(
C
)
}
>
1
,
下确界的所有有界封闭(resp接管。,弱紧凸子集<我nline-formula>
C
的<我nline-formula>
X
与<我nline-formula>
直径
(
C
)
>
0。
很明显,正常结构和疲软的正常结构时一致<我nline-formula>
X
是反射性的。
在本文中,我们假设<我nline-formula>
X
没有舒尔的财产。弱收敛序列的系数<我nline-formula>
WCS
(
X
)
,引入的拜纳姆(
1),新配方的西姆斯和史密斯
2下面的等价形式:
WCS
(
X
)
=
正
{
lim
n
,
米
,
n
≠
米
∥
x
n
−
x
米
∥
:
x
n
→
w
0
,
∥
x
n
∥
=
1
,
lim
n
,
米
,
n
≠
米
∥
x
n
−
x
米
∥
存在
}
。
很明显<我nline-formula>
1
≤
WCS
(
X
)
≤
2
众所周知,<我nline-formula>
WCS
(
X
)
>
1
意味着<我nline-formula>
X
弱的正常结构。
有很多暗示一个巴拿赫空间几何条件正常结构(见,例如,
2- - - - - -
8]),在他们中间
C
新泽西
(
X
)
<
1
+
1
(
μ
(
X
)
)
2
或
J
(
X
)
<
1
+
1
μ
(
X
)
。
在这里,系数<我nline-formula>
μ
(
X
)
(
9)被定义为实数集的下确界<我nline-formula>
r
>
0
这样
lim
吃晚饭
n
→
∞
∥
x
+
x
n
∥
≤
r
lim
吃晚饭
n
→
∞
∥
x
−
x
n
∥
对所有<我nline-formula>
x
∈
X
和所有弱空序列<我nline-formula>
(
x
n
)
在<我nline-formula>
X
。本文的目的是向国家有关弱收敛序列的估计系数。这些估计,得到充分条件正常结构的广义詹姆斯和冯Neumann-Jordan常数,从而概括上述结果。
2。广义詹姆斯常数
詹姆斯常数,或nonsquare常数
J
(
X
)
=
吃晚饭
{
∥
x
+
y
∥
⋀
∥
x
−
y
∥
:
x
,
y
∈
年代
X
}
介绍了由极(
10)和高和刘
11)和广义Dhompongsa et al。
4在下列意义:
J
(
一个
,
X
)
=
吃晚饭
{
∥
x
+
y
∥
⋀
∥
x
−
z
∥
:
x
,
y
,
z
∈
B
X
,
∥
y
−
z
∥
≤
一个
∥
x
∥
}
,
在哪里<我nline-formula>
一个
是一个非负参数。很明显,<我nline-formula>
J
(
0
,
X
)
=
J
(
X
)
,因为它是已知的定义<我nline-formula>
J
(
X
)
,<我nline-formula>
年代
X
可以更换的<我nline-formula>
B
X
。
定理2.1。
让<我nline-formula>
0
≤
一个
≤
1
,让<我nline-formula>
X
是没有舒尔的巴拿赫空间属性。然后
W
C
年代
(
X
)
≥
1
+
(
1
+
一个
)
/
最小值
(
2
,
μ
(
X
)
+
一个
)
J
(
一个
,
X
)
。
证明。。
如果<我nline-formula>
J
(
一个
,
X
)
=
2
,我们估计是微不足道的<我nline-formula>
WCS
(
X
)
≥
1
和<我nline-formula>
μ
(
X
)
≥
1。
假设<我nline-formula>
J
(
一个
,
X
)
<
2
。然后<我nline-formula>
X
是均匀nonsquare因此反身(见[
4])。让<我nline-formula>
{
x
n
}
是一种弱空序列<我nline-formula>
年代
X
。假设<我nline-formula>
d
=
lim
n
,
米
,
n
≠
米
∥
x
n
−
x
米
∥
存在,考虑一个标准化的功能序列<我nline-formula>
{
x
n
*
}
这样<我nline-formula>
x
n
*
(
x
n
)
=
1
。注意,自反性的<我nline-formula>
X
担保,通过子序列,如果有必要,存在<我nline-formula>
x
*
∈
X
*
这样<我nline-formula>
x
n
*
→
w
x
*
。
让<我nline-formula>
0
<
ϵ
<
1
并选择<我nline-formula>
N
足够大,这样<我nline-formula>
|
x
*
(
x
N
)
|
<
ϵ
/
2
和
d
−
ϵ
<
∥
x
N
−
x
米
∥
<
d
+
ϵ
对所有<我nline-formula>
米
>
N
。
的定义<我nline-formula>
μ
(
X
)
,
limsup
米
→
∞
∥
x
米
+
x
N
d
+
ϵ
∥
≤
μ
(
X
)
limsup
米
→
∞
∥
x
N
−
x
米
d
+
ϵ
∥
≤
μ
(
X
)
。
然后我们可以选择<我nline-formula>
米
>
N
足够大,这样
|
x
N
*
(
x
米
)
|
<
ϵ
;
|
(
x
米
*
−
x
*
)
(
x
N
)
|
<
ϵ
/
2
;
∥
(
x
N
+
x
米
)
/
(
d
+
ϵ
)
∥
≤
μ
(
X
)
+
ϵ
。
因此
|
x
米
*
(
x
N
)
|
≤
|
(
x
米
*
−
x
*
)
(
x
N
)
|
+
|
x
*
(
x
N
)
|
<
ϵ
。
让我们把<我nline-formula>
x
=
(
x
N
−
x
米
)
/
(
d
+
ϵ
)
,
y
=
(
1
+
一个
)
x
N
+
x
米
(
d
+
ϵ
)
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
,
z
=
x
N
+
(
1
+
一个
)
x
米
(
d
+
ϵ
)
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
(简称<我nline-formula>
μ
=
μ
(
X
)
)。由此可见,<我nline-formula>
x
,
y
,
z
∈
B
X
,
∥
y
−
z
∥
≤
一个
∥
x
∥
和
(
d
+
ϵ
)
∥
x
+
y
∥
=
∥
(
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
N
−
(
1
−
1
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
米
∥
≥
(
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
N
*
(
x
N
)
−
(
1
−
1
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
N
*
(
x
米
)
≥
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
−
ϵ
。
也
(
d
+
ϵ
)
∥
x
−
z
∥
=
∥
(
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
米
−
(
1
−
1
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
N
∥
≥
(
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
米
*
(
x
米
)
−
(
1
−
1
μ
+
一个
+
ϵ
)
x
米
*
(
x
N
)
≥
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
−
ϵ
。
这一起的定义<我nline-formula>
J
(
一个
,
X
)
给了,
(
d
+
ϵ
)
J
(
一个
,
X
)
≥
1
+
1
+
一个
μ
+
一个
+
ϵ
−
ϵ
。
由于序列<我nline-formula>
{
x
n
}
和<我nline-formula>
ϵ
是任意的,我们得到了什么
WCS
(
X
)
≥
μ
+
1
+
2
一个
J
(
一个
,
X
)
(
μ
+
一个
)
。
此外,如果我们把<我nline-formula>
x
=
(
x
N
−
x
米
)
/
(
d
+
ϵ
)
,
y
=
(
1
+
一个
)
x
N
+
(
1
−
一个
)
x
米
2
(
d
+
ϵ
)
,
z
=
(
1
−
一个
)
x
N
+
(
1
+
一个
)
x
米
2
(
d
+
ϵ
)
。
由此可见,<我nline-formula>
x
,
y
,
z
∈
B
X
,
∥
y
−
z
∥
=
一个
∥
x
∥
和
(
d
+
ϵ
)
∥
x
+
y
∥
=
∥
(
1
+
1
+
一个
2
)
x
N
−
(
1
−
1
−
一个
2
)
x
米
∥
≥
(
1
+
1
+
一个
2
)
x
N
*
(
x
N
)
−
(
1
−
1
−
一个
2
)
x
N
*
(
x
米
)
≥
1
+
1
+
一个
2
−
ϵ
。
也
(
d
+
ϵ
)
∥
x
−
z
∥
=
∥
(
1
+
1
+
一个
2
)
x
米
−
(
1
−
1
−
一个
2
)
x
N
∥
≥
(
1
+
1
+
一个
2
)
x
米
*
(
x
米
)
−
(
1
−
1
−
一个
2
)
x
米
*
(
x
N
)
≥
1
+
1
+
一个
2
−
ϵ
。
这一起的定义<我nline-formula>
J
(
一个
,
X
)
给了,
(
d
+
ϵ
)
J
(
一个
,
X
)
≥
1
+
1
+
一个
2
−
ϵ
。
由于序列<我nline-formula>
{
x
n
}
和<我nline-formula>
ϵ
是任意的,我们得到了什么
WCS
(
X
)
≥
3
+
一个
2
J
(
一个
,
X
)
。
(加起来
2.11)和(
2.16)收益率(
2.3根据需要)。
推论2.2。
让<我nline-formula>
X
巴拿赫空间
J
(
一个
,
X
)
<
1
+
1
+
一个
最小值
(
2
,
μ
(
X
)
+
一个
)
,
对于一些<我nline-formula>
0
≤
一个
≤
1。
然后<我nline-formula>
X
结构正常。
推论2.3。
让<我nline-formula>
X
巴拿赫空间
J
(
X
)
<
1
+
1
最小值
(
2
,
μ
(
X
)
)
。
然后<我nline-formula>
X
结构正常。
2.4的话。
必然的结果
2.3包括(
5定理2]。
3所示。广义冯Neumann-Jordan常数
冯·克拉克森Neumann-Jordan常数是由(
12),新配方的加藤et al。
6在以下方式:
C
新泽西
(
X
)
=
吃晚饭
{
∥
x
+
y
∥
2
+
∥
x
−
y
∥
2
2
(
∥
x
∥
2
+
∥
y
∥
2
)
:
x
,
y
∈
X
,
∥
x
∥
+
∥
y
∥
≠
0
}
。
这个常数的广义版本是由Dhompongsa et al。
3]
C
新泽西
(
一个
,
X
)
=
吃晚饭
{
∥
x
+
y
∥
2
+
∥
x
−
z
∥
2
2
∥
x
∥
2
+
∥
y
∥
2
+
∥
z
∥
2
:
∥
x
∥
+
∥
y
∥
+
∥
z
∥
≠
0
,
∥
y
−
z
∥
≤
一个
∥
x
∥
}
,
在哪里<我nline-formula>
一个
是一个非负参数。很明显,<我nline-formula>
C
新泽西
(
X
)
=
C
新泽西
(
0
,
X
)
。
定理3.1。
让<我nline-formula>
0
≤
一个
≤
1
,让<我nline-formula>
X
是没有舒尔的巴拿赫空间属性。然后
(
W
C
年代
(
X
)
]
2
≥
1
+
(
1
+
一个
)
2
/
米
我
n
(
μ
(
X
)
+
一个
,2
)
2
C
N
J
(
一个
,
X
)
。
证明。。
如果<我nline-formula>
C
新泽西
(
一个
,
X
)
=
2
,然后(
3.3)是微不足道的。
假设<我nline-formula>
C
新泽西
(
一个
,
X
)
<
2
。然后<我nline-formula>
X
是均匀nonsquare因此反身(见[
3])。让<我nline-formula>
{
x
n
}
是一种弱空序列<我nline-formula>
年代
X
和假设<我nline-formula>
d
=
lim
n
,
米
,
n
≠
米
∥
x
n
−
x
米
∥
存在,让<我nline-formula>
x
N
,
x
米
,
x
N
*
,
x
米
*
被选为定理
2.1。
现在让我们把<我nline-formula>
x
=
(
x
N
−
x
米
)
/
(
d
+
ϵ
)
,
y
=
(
1
+
一个
)
(
(
1
+
一个
)
x
N
+
x
米
)
(
d
+
ϵ
)
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
,
z
=
(
1
+
一个
)
(
x
N
+
(
1
+
一个
)
x
米
)
(
d
+
ϵ
)
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
(简称<我nline-formula>
μ
=
μ
(
X
)
)。很容易检查<我nline-formula>
∥
y
−
z
∥
≤
一个
∥
x
∥
,
x
∈
B
X
:
∥
y
∥
≤
(
1
+
一个
)
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
,
∥
z
∥
≤
(
1
+
一个
)
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
,
而且
(
d
+
ϵ
)
∥
x
+
y
∥
=
∥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
N
−
(
1
−
1
+
一个
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
米
∥
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
N
*
(
x
N
)
−
(
1
−
1
+
一个
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
N
*
(
x
米
)
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
(
1
−
ϵ
)
,
(
d
+
ϵ
)
∥
x
−
z
∥
=
∥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
米
−
(
1
−
1
+
一个
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
N
∥
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
米
*
(
x
米
)
−
(
1
−
1
+
一个
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
x
米
*
(
x
N
)
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
(
1
−
ϵ
)
。
的定义<我nline-formula>
C
新泽西
(
一个
,
X
)
,
C
新泽西
(
一个
,
X
)
≥
(
1
−
ϵ
d
+
ϵ
)
2
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
(
μ
+
一个
+
ϵ
)
2
)
。
由于序列<我nline-formula>
{
x
n
}
和<我nline-formula>
ϵ
是任意的,我们得到了什么
(
WCS
(
X
)
]
2
C
新泽西
(
一个
,
X
)
≥
1
+
(
1
+
一个
μ
+
一个
)
2
。
此外,如果我们把<我nline-formula>
x
=
(
x
N
−
x
米
)
/
(
d
+
ϵ
)
,
y
=
(
1
+
一个
)
(
(
1
+
一个
)
x
N
+
(
1
−
一个
)
x
米
)
4
(
d
+
ϵ
)
,
z
=
(
1
+
一个
)
(
(
1
−
一个
)
x
N
+
(
1
+
一个
)
x
米
)
4
(
d
+
ϵ
)
,
由此可见,<我nline-formula>
x
∈
B
X
,
∥
y
−
z
∥
≤
一个
∥
x
∥
和
∥
y
∥
≤
1
+
一个
2
(
d
+
ϵ
)
≤
1
+
一个
2
,
∥
z
∥
≤
1
+
一个
2
(
d
+
ϵ
)
≤
1
+
一个
2
,
而且
(
d
+
ϵ
)
∥
x
+
y
∥
=
∥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
x
N
−
(
1
−
1
−
一个
2
4
)
x
米
∥
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
x
N
*
(
x
N
)
−
(
1
−
1
−
一个
2
4
)
x
N
*
(
x
米
)
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
(
1
−
ϵ
)
,
(
d
+
ϵ
)
∥
x
−
z
∥
=
∥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
x
米
−
(
1
−
1
−
一个
2
4
)
x
N
∥
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
x
米
*
(
x
米
)
−
(
1
−
1
−
一个
2
4
)
x
米
*
(
x
N
)
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
(
1
−
ϵ
)
。
这一起的定义<我nline-formula>
C
新泽西
(
一个
,
X
)
给了,
C
新泽西
(
一个
,
X
)
≥
(
1
+
(
1
+
一个
)
2
4
)
(
1
−
ϵ
d
+
ϵ
)
2
。
由于序列<我nline-formula>
{
x
n
}
和<我nline-formula>
ϵ
是任意的,我们得到了什么
(
WCS
(
X
)
]
2
C
新泽西
(
一个
,
X
)
≥
1
+
(
1
+
一个
2
)
2
。
(加起来
3.8)和(
3.13)收益率不平等(
3.3根据需要)。
推论3.2。
让<我nline-formula>
X
巴拿赫空间
C
N
J
(
一个
,
X
)
<
1
+
(
1
+
一个
)
2
最小值
(
μ
(
X
)
+
一个
,
2
)
)
2
对于一些<我nline-formula>
一个
∈
(
0
,
1
]
。
然后<我nline-formula>
X
结构正常。
推论3.3。
让<我nline-formula>
X
巴拿赫空间
C
N
J
(
X
)
<
1
+
1
最小值
(
2
,
μ
(
X
)
)
2
。
然后<我nline-formula>
X
结构正常。