流体流动和传热机制与磁流体动力因素发挥着重要的作用在许多天体物理过程、空间物理、工程( 1, 2]。结果,有相当大的兴趣将准确和可靠的数值方法等有关传热传质现象。在这方面,一些数值方法被开发在过去的五十年来解决这些类型的流问题( 3- - - - - - 5]。在工业和工程制造业务和技术的应用程序和在许多分支如纸生产、聚合物过程,反应器流化,退火镀锡铜线,和金属旋压 6- - - - - - 9),改善传热设备的热力性能的机制往往是理想的。提高热机制的性能的一种方法是调查一些潜在的重要的物理过程,实际上影响传热表面( 10, 11]。流体流动模型的泛化有关非定常流中可以找到( 12- - - - - - 17]。另一个重要的现象,可以影响热过程机制是热通量。许多研究[ 18- - - - - - 20.]因此介绍这些主题,它已经表明,流体流动与热通量的制造过程是很重要的。刘等人。 21)是创新的先锋变量热流模型,非定常流模型在不同的条件下是一致的。然而,我们的知识的确切性质的传热机制仍然是不完整的。

当前研究的目标之一是引入一个精化,尽可能完整,变量的流体性质的层流牛顿流体流动和传热过去一个不稳定的磁流体动力拉伸板嵌入多孔介质,特别是热通量的变量。

本节的基本思想是引入一个适当的描述,尽可能完整,所有方程管理层流边界层流体的流动为不可压缩粘性流和二维传热过程由于不稳定拉伸板。

细研究更容易描述即使可以考虑的物理性质,如表面速度 U w x , t ,流体粘度 μ ,流体导热系数 κ ,因为他们被认为是通用的。该模型涉及到变量热流 问 x , t ,这是以前由刘et al。[详细介绍 21),给出了如下: (1) 问 x , t = − κ ∂ T ∂ y = T 0 d x r 1 − 一个 t 米 + 1 / 2 , 在哪里 T 0 是一个参考温度, 一个 是一个积极的常数, d 是一个常数,然后呢 r 和 米 分别是空间和时间指标。此外,应用横向磁场可以介绍如下 22]: (2) B = B 0 1 − 一个 t − 1 / 2 , 在哪里 B 0 是一个常数。这种特殊形式的应用横向磁场将允许无量纲的存在磁场参数控制边界层内的流速。在此,我们必须提到磁流体动力现象由于目前的广泛适用性至关重要考虑其他领域如医学科学。这是一个众所周知的事实,人类的血液流量可以减少施加外部磁场。因此,磁场可以用来调节血液流动,特别是,在手术过程中( 22]。此外,我们必须提到,这种形式的选择也被研究了马哈茂德和Megahed [ 23和普拉萨德等。 24]。

据刘et al。 21),描述物理情况的控制方程表示如下: (3) ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 , (4) ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = 1 ρ ∞ ∂ ∂ y μ ∂ u ∂ y − σ B 2 ρ ∞ u − μ ρ ∞ k u , (5) ∂ T ∂ t + u ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = 1 ρ ∞ c p ∂ ∂ y κ ∂ T ∂ y − 1 ρ ∞ c p ∂ 问 r ∂ y , 在哪里 u 和 v 速度分量沿吗 x 和 y 方向,分别。 t 是时间, ρ ∞ 是流体密度表, σ 导电性, k 多孔介质的渗透率, T 是流体的温度, c p 定压比热容, 问 r 表明辐射热流密度表示的 T 正如前面介绍的普拉萨德et al。 24)如下: (6) 问 r = − 4 σ ∗ 3 k ∗ ∂ T 4 ∂ y , 在哪里 σ ∗ 斯蒂芬玻尔兹曼常数和吗 k ∗ 是Rosseland意味着吸收系数。应该注意的是,通过使用Rosseland近似,目前的分析仅限于光学厚的液体。如果流内的温差是足够小,那么方程( 5)可以通过扩展线性化 T 4 在泰勒级数 T 忽略高阶项,我们得到的 (7) T 4 ≈ 4 T ∞ 3 T − 3 T ∞ 4 。

方程( 3)- ( 5)受如下边界条件: (8) u = U w , v = 0 , − κ ∂ T ∂ y = 问 x , t 在 y = 0 , u ⟶ 0 , T ⟶ T ∞ 作为 y ⟶ ∞ , 在哪里 T ∞ 环境和流体温度吗 U w 是表面的速度可以被定义为哪一个 (9) U w = b x 1 − 一个 t 。

保持速度的维度 U 同时,我们观察到正的常数 一个 和 b 有尺寸 t − 1 。

控制方程( 3)- ( 5)可以改写形式通过以下变量: (10) η = b ν ∞ 1 / 2 1 − 一个 t − 1 / 2 y , ψ = ν ∞ b 1 / 2 1 − 一个 t − 1 / 2 x f η , (11) θ η = T − T ∞ 问 x , t / κ ∞ ν ∞ / b 1 − 一个 t 1 / 2 , 在哪里 ψ x , y 的流函数吗 u = ∂ ψ / ∂ y 和 v = − ∂ ψ / ∂ x 。同时, ν ∞ 是环境的运动粘度, θ η 是无量纲温度, f η 是无量纲的流函数。

此外,流体粘度 μ 和流体导热系数 κ 被认为是改变作为温度的函数,如下所示( 23, 25]: (12) μ μ ∞ = e − α θ , κ κ ∞ = 1 + ϵ θ , 在哪里 μ ∞ 是环境的粘度, α 粘度的无量纲参数 α > 0 液体和 α < 0 为气体, κ ∞ 热导率远离表面, ϵ 是热导率参数。

使用方程( 10)和( 11),连续性方程( 3)自动满足,但方程( 4)和( 5)然后减少系统的高度非线性耦合常微分方程如下: (13) e − α θ f ‴ − α θ ′ f ” + f f ” − f ′ 2 − 年代 η 2 f ” + f ′ − 米 f ′ − γ e − α θ f ′ = 0 , (14) 1 公关 1 + R + ε θ θ ” + ε θ ′ 2 + f θ ′ − r f ′ θ − 年代 η 2 θ ′ + 米 θ = 0。

同时,转换后的边界条件 (15) f 0 = 0 , f ′ 0 = 1 , θ ′ 0 = − 1 1 + R + ϵ θ 0 , (16) f ′ ⟶ 0 , θ ⟶ 0 作为 η ⟶ ∞ 。

的最后一部分方程( 15)是由于热通量,基本上取决于 R 和 ε 他们作为辐射参数和电导率参数,分别。在这里, 米 = σ B 0 2 / b ρ ∞ 是磁性的数字, 年代 = 一个 / b 是不稳定的参数, γ = μ ∞ 1 − 一个 t / ρ ∞ k b 是当地的达西数, R = 16 σ ∗ T ∞ 3 / 3 κ ∞ k ∗ 是辐射参数, 公关 = μ ∞ c p / κ ∞ 普朗特数。在此,值得一提的是,速度场和温度场相互耦合的,我们可以观察到从方程( 13)和( 14)。另一方面,它是指出,稳定问题( 年代 = 0 ),没有热辐射( R = 0 )、磁场和多孔参数( 米 = γ = 0 )和粘度没有温度的函数( α = 0 由起重机),解决了速度场分析( 26)与 f = 1 − e − η 。

流体流动的最重要的特征,可以出现在部分阻力或拉伸板之间的摩擦阻力和移动液体是无量纲的本地表面摩擦( C f x )或摩擦阻力系数定义为( 21] (17) C f x = 2 τ w ρ U w 2 , 在哪里 τ w = − μ ∂ u / ∂ y y = 0 。

此外,冷却过程是最重要的一个工程应用程序从食品的冷却热固体金属的处理。数学上,可以测量这一重要过程的因素是当地努塞尔特数( N u x )定义如下 21]: (18) N u x = x 问 x , t κ ∞ T w − T ∞ , 在哪里 T w = T ∞ + T 0 d x r / κ ∞ b / ν ∞ 1 − 一个 t − 米 θ 0 。

使用无量纲方程( 10)和( 11),当地表面摩擦系数和努塞尔特数可以写成 (19) C f x 再保险 x 1 / 2 2 = − e − α θ 0 f ” 0 , N u x 再保险 x − 1 / 2 = 1 θ 0 , 在哪里 再保险 x = U w x / ν ∞ 是当地的雷诺数。很明显从上面的方程( 17),当地的努塞尔特数 N u x 是互惠的 θ 0 。另一方面,从相同的方程,很明显,当地的表面摩擦系数成正比 f ′ ′ 0 它还依赖于表面温度 θ 0 和粘度参数 α 。

求解边值问题的常见技术是线性和非线性射击方法( 27- - - - - - 29日]。因此,在本节中,我们主要是感兴趣的射击技术。拍摄方法用来解决方程定义的牛顿流体流模型( 13)和( 14)和边界条件( 15)和( 16)。数值积分,我们用四阶龙格-库塔方法。继续,我们定义如下: (20) y 1 = f , y 2 = y 1 ′ , y 3 = y 2 ′ , y 4 = θ , y 5 = y 4 ′ 。

方程( 13)和( 14)然后减少到一个一阶常微分方程系统,也就是说, (21) y 1 ′ = y 2 , y 1 0 = 0 y 2 ′ = y 3 , y 2 0 = 1 y 3 ′ = α y 5 y 3 + e α y 4 y 2 2 − y 1 y 3 + 年代 η 2 y 3 + y 2 + 米 y 2 + γ y 2 , y 3 0 = ε 1 , y 4 ′ = y 5 , y 5 0 = − 1 1 + R + ϵ y 4 0 , y 5 ′ = 1 1 + R + ϵ y 4 公关 r y 2 y 4 − y 1 y 5 + 年代 η 2 y 5 + 米 y 4 − ϵ y 5 2 , y 5 0 = ε 2 , 在哪里 ε 1 和 ε 2 确定的外边界条件 y 2 ∞ 和 y 4 ∞ 感到满意。拍摄方法用于猜测 ε 1 和 ε 2 通过迭代,直到满足外边界条件。由此产生的微分方程可以通过四阶龙格-库塔一体化集成方案。重复上述过程,直到我们获得结果所需的精确度, 10 − 5 。

评估目前的数值方案的有效性和准确性,一些壁温值 θ 0 对于一些导热系数的值参数和普朗特数的同期相比普拉萨德的稳态问题等。 30.)和比较的结果表 1。显然我们的结果是在良好的协议与普拉萨德et al。 30.]。

有潜在的广泛的参数域侦察,但我们观察到更大的管理值参数的计算非常复杂,因为数值收敛的能力。因此,在本节中,我们提出的结果非常有限域的物理参数,选择解释的主要趋势。磁参数的影响,不稳定参数,辐射参数,粘度参数,达西数,普朗特数和可变导热系数将在本节中讨论。流参数值 α = ϵ = r = 米 = 0.4 , R = 1.0 , 年代 = 0.5 , 米 = 0.5 , 公关 = 0.71 作为输入获得的结果完成生产。结果与数据枚举 1- - - - - - 10。数据 2(一个)和 2 (b)在速度和温度显示磁参数的偏差。从这些数据,很明显,温度曲线上升提高价值 米 。图 2(一个)显示速度减慢,通货膨胀在磁参数。一般来说,哈特曼数的增加产生洛伦兹力称为阻力。

不同的值的影响 R 温度和速度概要图所示 3(一个)和 3 (b)。这表明热边界层厚度和温度分布是提高增加的值 R 。更高的值 R 承受更多的温度来生成一个增量的流体温度和热边界层厚度和相反的效果如图 3 (b)。

速度和温度资料对各种参数的值 γ 如数据所示 4(一)和 4 (b),分别。一个大的价值 γ 参数对应于一个较低的速度分布和高温度分布数据。

数值结果给出了数据 5(一个)和 5 (b)显示增强的速度分布减少 α ,而表温度 θ 0 和无量纲温度增加而增加粘度参数 α 。

数据 6(一)和 6 (b)描述了速度剖面 f ′ η 和温度曲线 θ η 不同的不稳定参数 年代 。有趣的是,温度提出了最大分布在小不稳定参数 年代 通过对热边界条件。速度资料显示类似的趋势。

不同的热导率参数值的影响 ϵ 速度和温度资料数据所示 7(一)和 7 (b)。这是显示在图 7(一),速度 f ′ η 增强当我们升级的值 ϵ 。此外,从图 7 (b),它可以推断,一个高导电率参数 ϵ 引起相当大的增加表旁边的温度。

得到一个清晰的流场,绘制流水线模式的数据 8- - - - - - 10不同的磁参数值 米不稳定参数 年代和达西号码。数据 8(一个)和 8 (b)显示的效果 米在流水线的模式。库存过剩的流线条是观察 米减少了。数据 9(一个)和 9 (b)展览的影响 年代在流水线的模式。显然,流型是观察到的缺陷 年代增强。数据 10 ()和 10 (b)显示的效果 γ在流水线的模式。相同的流水线模式的行为改变参数类似于磁参数 米。

表 2提出了说明当地的表面摩擦系数的行为吗 C f x 再保险 x 1 / 2 / 2 和当地的努塞尔特数 N u x 再保险 x − 1 / 2 与热导率参数的变化 ϵ 粘度参数 α 不稳定参数 年代 ,辐射参数 R 和磁性号码 米 。我们可以从表中 2当地表面摩擦系数增加而不稳定参数的增加,辐射参数,达西数,磁性号码,和热导率参数,而当地努塞尔特数增加而不稳定参数的增加,热导率参数,和辐射参数。同时,当地的努塞尔特数随粘度增加参数,达西数,和磁参数。

数字解决方案取得了研究变量属性和变量的影响热通量在不可压缩流体的层流过去一个不稳定的拉伸表面嵌入多孔介质。获得相似的数值求解常微分方程通过射击方法。所有参数的值对应于占主导地位的流体流动和传热的剪切应力是不同的物理参数的列表。获得高度非线性常微分方程描述我们的物理问题被使用射击方法数值求解。我们发现当地努塞尔特数强烈依赖于不稳定的值参数,辐射参数,和热导率参数,并在较小程度上依赖磁性参数的值,达西数,粘度参数。同时,随着粘度参数和磁参数的增加,传热率被发现减少。此外,表面的冷却速率被发现增加导热系数参数,增加不稳定参数,和辐射参数。